توزيعات السرعة والمجموعات الإحصائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | كثافة الاحتمال |
| partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | دالة التوزيع |
قرار قبل الإجابة
- يمكن للغاز أن يكون له متوسط سرعة صفر بينما تمتلك جسيماته سرعة متوسطة كبيرة. الاتجاهات المتعاكسة تلغي بعضها في المتوسط الشعاعي؛ السرعة ليس لها إشارة.
- هدفك: تطبيع كثافات السرعة المستمرة وتفسير وحداتها.
اقرأ العلاقة
- لكثافة احتمال سرعة مستمرة f(v)، f(v)dv تقريب الاحتمال في فترة ضيقة و∫from0to∞ f(v)dv=1. الكثافة لها وحدات عكس السرعة وليست احتمالا بحد ذاتها. إذا كان P(v)dv يعد الجسيمات في تلك الفترة، فإن مساحتها هي عدد الجسيمات N وf=P/N. شبه منحرف يرتفع على عرض v0، يبقى مسطحاً على عرض 2v0، ثم ينخفض على عرض v0 له مساحة 3av0 لارتفاع a. طبع بالمساحة قبل حساب متوسط أو تفسير ارتفاع مرسوم بيانياً.
- فرّق بين المتوسطات الشعاعية، ومتوسطات السرعة، وأسرعة الاحتمال.
For an isotropic equilibrium ideal gas without bulk flow, which is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Velocity directions cancel, while speed is nonnegative and its equilibrium mean is positive.
استخدم القاعدة المحددة
- في غاز متوازن متجانس دون تدفق جماعي، تكون توزيعات كل مركبة من السرعة متماثلة، لذا ⟨v_vector⟩=0. السرعة v=|v_vector| غير سالبة ولها متوسط موجب. بالنسبة لغاز مثالي كلاسيكي، يكون كثافة ت_distribution Maxwell للسرعة متناسباً مع v²exp[−mv²/(2kBT)]. وقيمته الأكثر تكراراً (mode) هو sqrt(2kBT/m)، ومتوسطه هو sqrt(8kBT/(πm))، وسرعته الجذرية التربيعية هي sqrt(3kBT/m). هذه كميات مختلفة. عامل v² يجعل كثافة السرعة صفراً عند v=0، على الرغم من أن كثافة متجه السرعة تكون أكبر عند المتجه صفر.
- استخدم أوزان Boltzmann مع الانحلال ودالة التقسيم.
Ground degeneracy 1, excited degeneracy 3, gap kBT ln3. The excited-level probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Excited total weight 3e^(−ln3)=1 equals ground weight 1; Z=2.
تحقق من الشروط
- لتوزيع مستمر، فإن احتمال سرعة محددة تماماً يساوي صفراً؛ الاحتمالات غير الصفرية تتعلق بفترات. لا يفيد هذا أنه لا توجد جسيمات بسرعات صغيرة جداً، أو أن كاشف ذو دقة محدودة لا يمكنه تسجيل خانة صفر. يغير درجة الحرارة مقياس توزيع Maxwell: السرعات المميزة تتناسب مع sqrt(T/m). مضاعفة درجة الحرارة لا تضاعف السرعة، والجسيمات الأثقل أبطأ متوسطاً عند نفس درجة الحرارة.
- استخدم أوزان Boltzmann مع الانحلال ودالة التقسيم.
شبه منحرف لكثافة العدد لديه N=90 جسيمات، v0=2 م/ث وعرض مستوى 2v0. مساحته 3av0، مما يعطي a=15 جسيم لكل وحدة سرعة. لمجموعة المستويين مع الانحلال 1 و2 والفارق kBT ln2، Z=2 واحتمال المستوى المثار هو 1/2. كل حالة مثارة فردية لها احتمال 1/4.
A count-density trapezoid has area 3av0, N=60 and v0=4 m/s. Its height a is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a=N/(3v0)=60/12=5 particles per unit speed.
طبق صيغة المهمة
- في مجموعة قنونية عند درجة حرارة T، الحالة ذات الطاقة E_i وزنها exp(−E_i/(kBT)). اقسم على دالة التقسيم Z=Σexp(−E_i/(kBT)) للحصول على الاحتمالات. إذا كان لمستوى طاقة انحلال g_i، فإن احتمال المستوى هو g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. تساوي الطاقة للحالة لا يعني تساوي الاحتمال للمستوى عندما تختلف الانحلالات. لمستوى أرضي بانحلال 1 ومستوى مثار بانحلال 2 عند Δ=kBT ln2، الوزن الكلي للمستوى المثار هو 2e^(−ln2)=1: كل من المستويين له احتمال 1/2. افتراضات Maxwell–Boltzmann الكلاسيكية تختلف عن اشغالات Bose–Einstein وFermi–Dirac الكمومية.
- استخدم أوزان Boltzmann مع الانحلال ودالة التقسيم.
ارتفاع الكثافة ليس احتمالا. متوسط السرعة، ومتوسط السرعة القياسية، والقيمة الأكثر تكراراً تختلف؛ يجب تضمين الانحلال قبل تطبيع احتمالات المستويات.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
طبيعية كثافات السرعة المستمرة وتفسير وحداتها
A continuous speed distribution assigns nonzero probability to exactly one specified speed.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only an interval has nonzero probability; a single point has zero measure.
احتفظ بالتميّزات
- كثافة الاحتمال — الاحتمال لكل وحدة من متغير مستمر، تكامله يعطي احتمال الفترة.
- دالة التقسيم — مجموع الأوزان الإحصائية المستخدمة لتطبيع احتمالات الحالة المتوازنة.
- طبع densities السرعة المستمرة وفسر وحداتها.
- فرّق بين المتوسطات الشعاعية، ومتوسطات السرعة، وأسرعة الاحتمال.
- استخدم أوزان Boltzmann مع الانحلال ودالة التقسيم.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.