إحصاءات العد، عدم اليقين والنماذج البعدية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Poisson approximation/ˈpɔɪsn əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | تقريب بواسون |
| standard uncertainty/ˈstændəd ʌnˈsɜːtənti/ | عدم اليقين القياسي |
قرار قبل الإجابة
- كاشف بكفاءة عشرة بالمئة لا يسجل عشرون فوتوناً بالضبط من كل مئة. يتذبذب العد حتى مع ثبات الكفاءة.
- هدفك: استخدام المتوسطات والتقلبات لإحصاءات Binomial وPoisson.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لـN جسيم ساقط مستقل يتم كشفه باحتمال p، يكون العد X بتوزيع Binomial: متوسط Np وتباين Np(1−p). الانحراف المعياري هو sqrt[Np(1−p)]، وليس التباين نفسه. مع N كبيرة وp صغيرة، تقريب Poisson له متوسط λ=Np وتباين λ، إذن انحراف sqrt(λ). بالنسبة لـN=200 وp=0.05، المتوسط الدقيق هو 10 والانحراف sqrt(9.5)≈3.08، بينما Poisson يعطي sqrt(10)≈3.16. لا يضمن أي نموذج عداً ثابتاً. الاكتشافات المترابطة أو وقت الموت قد تلغي الاستقلالية.
- انتشر عدم اليقين الصغير مع افتراضات الارتباط المعلنة.
A binomial detector has N=100 and p=0.20. Its mean and standard deviation are:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean 20; variance 100·0.2·0.8=16, so standard deviation 4.
استخدم القاعدة المحددة
- لدالة مقاسة ناعمة y(x1،...)، قم بالتقريب الخطي للتغيرات باستخدام مشتقاتها الجزئية. تتجمع عدم اليقين الصغيرة المستقلة تربيعياً: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². المدخلات المترابطة تتطلب حدوداً متقاطعة للتغاير. بالنسبة لـy=x^a، عدم اليقين النسبية للانحراف المعياري هي تقريباً |a|σ_x/|x|. لذلك الطاقة الحركية K=½mv² مع عدم يقين كتلة مهمل يكون عدم اليقين النسبي ضعف ذلك الخاص بالسرعة. مع عدم يقين الكتلة المستقل، اجمع (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². تحتاج هذه التقديرات لأخطاء صغيرة ونموذج خطي محلي مناسب.
- حل قيود الأس البعدي وتحقق من وحدات النموذج.
With negligible mass uncertainty and speed uncertainty 3%, small kinetic-energy fractional uncertainty is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
K depends on v², so the fractional uncertainty doubles.
تحقق من الشروط
- التشتت العشوائي يقيس الدقة؛ تحيز معايرة شائع يؤثر على الدقة ولا يختفي بمتوسط التكرارات. للقراءات المكررة المستقلة، ينخفض عدم اليقين المعياري للمتوسط بمقدار 1/sqrt(n)، لكن الخطأ المنهجي المشترك لا. عدم اليقين للانتشار الفيزيائي وعدم اليقين لمتوسطه المقدر كميات مختلفة. حدد ما إذا كانت النسبة المئوية المذكورة هي عدم يقين معياري أو فترة ثقة أو حد أسوأ. جمع المساهمات المطلقة هو حد محافظ، وليس قاعدة التربيع لأخطاء المعيار المستقلة.
- حل قيود الأس البعدي وتحقق من وحدات النموذج.
بالنسبة لـN=200 وp=0.05، العد المتوقع للكاشف هو 10 مع انحراف معياري sqrt(9.5). إذا كانت السرعة بها 4% عدم يقين معياري صغير وعدم يقين الكتلة مهمل، فإن عدم يقين الطاقة الحركية هو تقريباً 8%. تعطي الأسس البعدية (1/2,1/2،−3/2) قوة كتلة صفر وطول واحد وقوة زمن صفر لجذر (Gℏ/c³).
A Poisson count has mean 25. Its standard deviation is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Poisson variance equals mean, and standard deviation is its square root.
طبق صيغة المهمة
- التحليل البعدي يساوي أسس الكتلة والطول والزمن، بدلاً من الأحجام العددية. بالنسبة لصيغة طول بلانك G^a ℏ^b c^d، الأبعاد هي [G]=L³/(MT²)، [ℏ]=ML²/T و[c]=L/T. بتطلب الطول نحصل على −a+b=0، 3a+2b+d=1 و−2a−b−d=0. ومنه a=b=1/2 وd=−3/2، لذا الطول هو sqrt(Gℏ/c³). لا يستطيع التحليل البعدي تحديد معامل بلا أبعاد عشوائي أو إثبات أن الثوابت المختارة كافية فيزيائياً. ارفض الصيغة ذات الوحدات الخاطئة قبل إدخال الأرقام.
- حل قيود الأس البعدي وتحقق من وحدات النموذج.
لا تخلط بين المتوسط الحسابي والعدد المضمون، أو التباين والانحراف المعياري، أو الخطأ المعياري العشوائي وانحياز المعايرة. الاتساق البعدي ضروري ولكنه غير كافٍ.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استخدام متوسطات عدّ ذاتي و بواسون والتقلبات
A dimensionally consistent formula necessarily has the correct numerical coefficient and physical assumptions.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Units do not determine dimensionless factors or validate the physical model.
احتفظ بالتميّزات
- عدم اليقين القياسي — عدم اليقين المعبر عنه بانحراف معياري تحت نموذج قياس محدد.
- تقريب بواسون — نموذج عد لأحداث نادرة ومستقلة يكون تباينه مساويًا لمتوسطه.
- استخدم متوسطات وتقلبات العد التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون.
- انتشر عدم اليقين الصغير مع افتراضات الارتباط المعلنة.
- حل قيود الأس البعدي وتحقق من وحدات النموذج.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.