كاشف بكفاءة百分之十 لا يسجل بالضبط عشرة فوتونات من كل مائة. يتذبذب العد حتى مع كفاءة ثابتة.
المتطلبات المسبقة: 47.
- استخدام متوسطات وتقلبات عد ذاتي وبولي
- نشر عدم اليقين الصغير بافتراضات ارتباط محددة
- حل قيود الأسس البعدية والتحقق من وحدات النموذج
LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models
GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · الموضوع 21
21.1
إحصاء العد، عدم اليقين والنماذج البعدية
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| standard uncertainty/ˈstændəd ʌnˈsɜːtənti/ | عدم اليقين القياسي |
| Poisson approximation/ˈpɔɪsn əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | تقريب بواسون |
21.2
اختر النظام والنموذج
بالنسبة لـ N جسيم ساقط مستقل يتم اكتشاف كل منها باحتمال p، يكون العد X ذاتياً: المتوسط Np والتباين Np(1−p). الانحراف المعياري هو sqrt[Np(1−p)] وليس التباين نفسه. مع N كبيرة وp صغيرة، تقريب بولي له mean λ=Np وتباين λ، لذا الانحراف sqrt(λ). بالنسبة لـ N=200 وp=0.05، المتوسط الدقيق هو 10 والانحراف sqrt(9.5)≈3.08، بينما يعطي بولي sqrt(10)≈3.16. لا يضمن أي نموذج عدًا ثابتًا. الاكتشافات المترابطة أو وقت العجز يمكن أن تلغي الاستقلالية.
21.3
استخدم العلاقة الحاكمة
بالنسبة لدالة مقاسة ناعمة y(x1،...)، قم بتقريب التغيرات باستخدام مشتقاتها الجزئية. تتجمع عدم اليقين القياسي المستقلة الصغيرة في التربيع: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². تتطلب المدخلات المترابطة حدود تباين مشترك. بالنسبة لـ y=x^a، عدم اليقين النسبي القياسي هو تقريباً |a|σ_x/|x|. وبالتالي الطاقة الحركية K=½mv² مع عدم يقين كتلة ضئيل لديه عدم يقين نسبي ضعف ذلك للسرعة. مع عدم يقين الكتلة المستقل، اجمع (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². تحتاج هذه التقديرات إلى أخطاء صغيرة ونموذج خطي محلي مناسب.
21.4
طبق الشروط
التشتت العشوائي يقيس الدقة؛ يؤثر تحيز معايرة شائع على الدقة ولا يختفي عن طريق تكرار القراءات. بالنسبة للقراءات المتكررة المستقلة، ينخفض عدم اليقين للمعنى بمقدار 1/sqrt(n)، لكن الخطأ المنهجي المشترك لا ينخفض. عدم اليقين للانتشار الفيزيائي وعدم اليقين لمعناه المقدر هما كميتان مختلفتان. حدد ما إذا كان النسبة المئوية المذكورة هي عدم يقين قياسي أو فترة ثقة أو حد أسوأ. جمع المساهمات المطلقة هو حد محافظ، وليس قاعدة التربيع لخطأ المعنى المستقل.
21.5
تحقق من النتيجة
التحليل البعدي يساوي أسس الكتلة والطول والزمن، بدلاً من الأحجام الرقمية. بالنسبة لصيغة طول بلانك G^a $\hbar$^b c^d، الوحدات هي [G]=L³/(MT²)، [$\hbar$]=ML²/T و[c]=L/T. يتطلب الطول −a+b=0، 3a+2b+d=1 و−2a−b−d=0. ومن ثم a=b=1/2 وd=−3/2، لذا الطول هو sqrt(G$\hbar$/c³). لا يمكن التحليل البعدي تحديد معامل لا بعدي عشوائي أو إثبات أن الثوابت المختارة كافية فيزيائياً. ارفض صيغة ذات وحدات خاطئة قبل إدخال الأرقام.
21.6
طريقة محلولة
بالنسبة لعدم اليقين القياسي المستقلة الصغيرة في $K=mv^2/2$، قم بالاشتقاق أولاً.
$$\left(\frac{\sigma_K}K\right)^2=\left(\frac{\sigma_m}m\right)^2+ \left(2\frac{\sigma_v}v\right)^2.$$
مع عدم اليقين النسبية 3% في الكتلة و2% في السرعة،
$$\sigma_K/K=\sqrt{0.03^2+(2\times0.02)^2}=0.05.$$
سيستخدم حد أسوأ مجموعاً، وليس هذا التربيع. تتطلب الارتباطات حدود التباين المشترك.
21.7
تحقق من الشروط والمصطلحات
لا تخلط بين المتوسط الحسابي والعدد المضمون، أو التباين والانحراف المعياري، أو الخطأ المعياري العشوائي وانحياز المعايرة. الاتساق البعدي ضروري ولكنه غير كافٍ.
عدم اليقين القياسي: عدم اليقين مُعبَّر عنه بانحراف قياسي ضمن نموذج قياس محدد.
تقريب بولي: نموذج عد لأحداث مستقلة نادرة يكون فيه التباين مساوياً للمتوسط.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.