ت.9 · التشابه، التوسع ومواقع المسافة المخروطية

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: المثلثات المتشابهة، وقانون المسافة، والمعادلات التربيعية.

• طابق رؤوس المثلث بناءً على الزوايا المتساوية قبل تكوين نسبة الأضلاع
• طبق عوامل مقياس الطول والمساحة والحجم على التغيرات الهندسية
• حدد شروط المسافة للقطع المخروطي واحتفظ بفرع الهذلولون الموجب الإشاري

التشابه: تساوي الزوايا المقابلة ونسبة مشتركة للأطوال المقابلة.

البؤرة: نقطة ثابتة تُستخدم في تعريف القطع المخروطي.

تكون المثلثات متشابهة عندما تتطابق زواياها المقابلة؛ وتكون نسب أضلاعها المقابلة مساوية. اكتب تطابق الرؤوس صراحةً. إذا كان في مثلث APQ الزاوية A تساوي الزاوية A في ABC والزاوية P تساوي الزاوية C، فإن التطابق المرتب هو A↔A, P↔C, Q↔B. بالتالي AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. الضلع AP يقع على AB لكنه يقابل AC؛ المطابقة حسب موقع الضلع أو بحرف P قد تعطي نسبة خاطئة.

مع عامل مقياس طول مشترك k>0، تُضرب الأطوال في k، والمساحات في k²، والحجوم في k³. زيادة 30% في الطول تعني k=1.30، وبالتالي زيادة مساحة قدرها 1.30²−1=0.69، أي 69%؛ وهي ليست 60%. بالنسبة للأجسام المشابهة ذات نسبة حجم 27، تكون نسبة الطول 3 ونسبة مساحة السطح 9. التغير النسبي والاختلاف المطلق كميات مختلفة؛ اكتب نسبة الجديد إلى القديم قبل تحويله إلى نسبة مئوية.

الدائرة تثبت المسافة لنقطة واحدة. البيضاوي يثبت مجموع المسافتين لبؤرتين. الهذلولون يثبت الفرق المطلق لتلك المسافات؛ والمتجه يثبت تساوي المسافة إلى البؤرة مع المسافة إلى المماس. هذه تعريفات لمجموعات نقاط وليست رسومات للحفظ. بالنسبة للبؤرتين (−c,0) و(c,0)، يستخدم البيضاوي مجموعاً 2a حيث a>c. يستخدم الهذلولون غير المنحلل فرقاً مطلقاً 2a حيث 0<a<c؛ والفرق الإشاري يميز فرعيه.

بالنسبة للهذلولون ذو المحور المستعرض الأفقي، c²=a²+b² والمعادلة هي x²/a²−y²/b²=1. ليكن r_A هو المسافة إلى (−c,0) وr_B المسافة إلى (c,0). الشرط r_A−r_B=2a>0 يختار الفرع الأيمن x≥a؛ والشرط السلبي يختار الفرع الأيسر. التربيع قد يفقد الإشارة، لذا تحقق من شرط المسافة الأصلي بعد الحصول على المعادلة. الفرق صفر يعطي العمود المنصف بدلاً من الهذلولون؛ والفرق الذي يتجاوز الفصل البؤري مستحيل بسبب عدم المساواة المثلثية.

ليكن AB=10، AC=15 وBC=20. النقطة P على AB يكون لها AP=6، والنقطة Q على AC تجعل زاوية APQ تساوي زاوية ACB. إذن AP/AC=6/15=2/5، لذا PQ=8 وAQ=4. منفصلاً، البؤرتان عند (−5,0),(5,0) وفرق المسافة إلى اليسار ناقص المسافة إلى اليمين يساوي 6 يعطي a=3، b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 مع x≥3. النقطة (−3,0) تحقق المعادلة المربعة لكنها تفشل الشرط المُعلَّم.

طابق الزوايا قبل الأضلاع. نسب المساحة تستخدم مربع عامل الطول. قد تصف معادلة المسافة المربعة كلا الفرعين حتى عندما يطلب السؤال الأصلي فرعاً واحداً فقط.

الأجسام المشابهة لها نسبة مساحة سطح 9:25. أوجد نسب أطوالها وحجومها المقابلة. اشرح لماذا يهم مطابقة الرؤوس قبل تكوين نسبة المثلث.

حل نموذجي

أخذ الجذور التربيعية الموجبة يعطي نسبة الطول 3:5. التكعب يعطي نسبة الحجم 27:125. نسبة المساحة ليست نفسها عامل مقياس الطول. يجب مطابقة الرؤوس المقابلة بالزوايا المتساوية؛ وإلا فقد تقارن النسبة أضلاعاً غير مرتبطة. التشابه هنا افتراض؛ ولا تثبت نسب المساحة فقط أن الأجسام العشوائية متشابهة.

بالنسبة للبؤرتين $A=(-5,0)$ و$B=(5,0)$، أوجد الموقع $|PA|-|PB|=6$. اشتق معادلته القياسية، اختر فرعك وتحقق من الرأس في العلاقة غير المربعة. ماذا يحدث إذا كان الفرق المطلوب 12؟

تحقق بعد المحاولة

اكتب $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ و$r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. الشرط الأصلي هو $r_A-r_B=6$. وبما أن $r_A^2-r_B^2=20x$، فإن ضرب فرق المسافة في مجموعهما يعطي $r_A+r_B=10x/3$. ومنه $r_B=5x/3-3$، والذي يجب أن يكون غير سالب. بتربيع هذه المساواة نحصل على $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. بالتوسيع والتجميع نحصل على $16x^2/9-y^2=16$. وبالتالي نصف البعد البؤري هو c=5، ونصف الفرق هو a=3، ومعادلة القطع الزائد هي $x^2/9-y^2/16=1$، باستخدام $b^2=c^2-a^2=16$. يختار الفرق الموجب الأصلي الفرع الأيمن $x\ge3$. عند $(3,0)$ تكون المسافات 8 و2، والفرق ستة؛ عند $(-3,0)$ يكون الفرق سالب ستة. التربيع وحده يحتفظ بهذا الفرع غير الصالح. الفرق 12 يتجاوز $|AB|=10$ وهو مستحيل وفق متراجحة المثلث العكسية.