التشابه، التقييس ومواقع المسافة المخروطية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| focus/ˈfəʊkəs/ | بؤرة |
| similarity/ˌsɪmɪˈlærɪti/ | تشابه |
قرار قبل الإجابة
- تكبر الخريطة كل مسافة بمقدار 30%. تزداد المساحة المظللة بمقدار 69%، بينما يمكن لفرق مُعلَّم في المسافات إلى معلمين جغرافيين أن يختار فرعًا واحدًا فقط من منحنى.
- هدفك: مطابقة رؤوس المثلث بناءً على الزوايا المتساوية قبل تكوين نسبة الأضلاع.
اقرأ العلاقة
- تكون المثلثات متشابهة عندما تتوافق زواياها؛ وتكون نسبتا أضلاعها المتناظرة حينئذٍ متساويتين. اكتب تطابق الرؤوس صراحةً. إذا كان للمثلث APQ زاوية A تساوي زاوية A في ABC وزاوية P تساوي زاوية C، فإن التطابق المرتب هو A↔A، P↔C، Q↔B. وبالتالي AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. الضلع AP يقع على AB لكنه يماثل AC؛ المطابقة بناءً على موقع الضلع أو بحرف P قد تعطي نسبة خاطئة.
- طبق معاملات مقياس الطول والمساحة والحجم على التغيرات الهندسية.
Correspondence is A↔A, P↔C, Q↔B. If AP=6, AC=15 and CB=20, what is PQ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AP corresponds to AC, not AB. The common scale is 6/15=2/5; multiply CB=20 by it.
استخدم القاعدة المحددة
- مع معامل مقياس طول مشترك k>0، تُضرب الأطوال في k، والمساحات في k²، والحجوم في k³. يعني زيادة طول بنسبة 30% أن k=1.30، ومنه زيادة مساحة قدرها 1.30²−1=0.69، أي 69%; وهي ليست 60%. للأجسام المتشابهة ذات نسبة حجوم 27، تكون نسبة الأطوال 3 ونسبة مساحات السطح 9. التغيرات النسبية والاختلافات المطلقة كميات مختلفة؛ اكتب نسبة الجديد إلى القديم قبل تحويلها إلى نسبة مئوية.
- حدد شروط المسافة للقطع المخروطي احتفظ بفرع هذلول مُعلَّم.
A circle radius grows by 30%. What is the area increase?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The new area is 1.3²=1.69 times the old area, so the increase is 69%, not the full new ratio 169%.
تحقق من الشروط
- الدائرة تثبت المسافة إلى نقطة واحدة. القطع البيضاوي يثبت مجموع المسافتين إلى بؤرتين. الهذلول يثبت القيمة المطلقة لفرق تلك المسافات؛ والقطع المكافئ يثبت مساواة المسافة إلى بؤرة وبُعد مباشرة. هذه تعريفات لمجموعات نقاط وليست رسومات لتتذكرها. للبؤرتين (−c,0) و(c,0)، يستخدم القطع البيضاوي مجموعاً 2a حيث a>c. يستخدم الهذلول غير المتدهور قيمة مطلقة لفرق 2a حيث 0<a<c؛ والفرق المُعلَّم يُميز فركيه.
- حدد شروط المسافة للقطع المخروطي احتفظ بفرع هذلول مُعلَّم.
ليكن AB=10، AC=15 وBC=20. النقطة P على AB يكون لها AP=6، والنقطة Q على AC تجعل زاوية APQ تساوي زاوية ACB. إذن AP/AC=6/15=2/5، لذا PQ=8 وAQ=4. منفصلاً، البؤرتان عند (−5,0),(5,0) وفرق المسافة إلى اليسار ناقص المسافة إلى اليمين يساوي 6 يعطي a=3، b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 مع x≥3. النقطة (−3,0) تحقق المعادلة المربعة لكنها تفشل الشرط المُعلَّم.
For foci (−5,0),(5,0) and a hyperbola difference magnitude 6, the value of b² is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
c=5 and a=3; b²=c²−a²=25−9=16.
طبق صيغة المهمة
- للهذلول ذي المحور الممتد الأفقي، c²=a²+b² والمعادلة هي x²/a²−y²/b²=1. ليكن r_A هو المسافة إلى (−c,0) وr_B هو المسافة إلى (c,0). الشرط r_A−r_B=2a>0 يختار الفرع الأيمن x≥a؛ والشرط السالب يختار الفرع الأيسر. التربيع قد يفقد هذا الإشارة، لذا تحقق من شرط المسافة الأصلي بعد الحصول على المعادلة. الفرق الصفري يعطي المنصف العمودي بدلاً من الهذلول؛ والفرق الذي يتجاوز الفصل البؤري مستحيل بسبب متراجحة المثلث.
- حدد شروط المسافة للقطع المخروطي احتفظ بفرع هذلول مُعلَّم.
طابق الزوايا قبل الأضلاع. نسب المساحة تستخدم مربع عامل الطول. قد تصف معادلة المسافة المربعة كلا الفرعين حتى عندما يطلب السؤال الأصلي فرعاً واحداً فقط.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
مطابقة رؤوس المثلث من خلال الزوايا المتساوية قبل تكوين نسبة الأضلاع
The signed condition distance to (−5,0) minus distance to (5,0) equals 6 includes both hyperbola branches.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The positive signed difference selects the right branch. At the left vertex the difference is −6.
احتفظ بالتميّزات
- التشابه — تساوي الزوايا المتناظرة ونسبة مشتركة للأطوال المتناظرة.
- البؤرة — نقطة ثابتة تُستخدم في تعريف المسافة للقطع المخروطي.
- طابِق رؤوس المثلث بناءً على الزوايا المتساوية قبل تكوين نسبة الأضلاع.
- طبق معاملات مقياس الطول والمساحة والحجم على التغيرات الهندسية.
- حدد شروط المسافة للقطع المخروطي احتفظ بفرع هذلول مُعلَّم.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.