الطور المثلثي والمنحنيات البارامترية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| phase angle/feɪz ˈæŋɡl/ | زاوية الطور |
| parametric curve/ˌpærəˈmetrɪk kɜːv/ | منحنى بارامترية |
قرار قبل الإجابة
- يمكن للإشارة الدورية أن تبدأ من حد أدنى مع الحفاظ على نفس الدور والسعة لإشارة تبدأ من حد أقصى. يتغير طورها، وليس حجمها أو ترددها.
- هدفك: التمييز بين السعة والتردد الزاوي وزاوية الطور والإزاحة الأفقية.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لـ y=A cos(ωx−φ) مع A>0 وω>0، السعة هي A، والدور هو 2π/ω، والإزاحة الأفقية هي φ/ω. تُقاس زاوية الطور φ داخل حجة الجيب التمام؛ فهي ليست الإزاحة الأفقية نفسها إلا إذا كان ω=1. ابدأ بمسافة الذروة إلى الذروة للدور ومسافة خط الوسط إلى الذروة للسعة. لإيجاد الطور، عوض بنقطة معروفة وتحقق من اتجاه الحركة هناك. أطوار مكافئة تختلف بمقدار 2π.
- استبعد معلمًا مع الاحتفاظ بمجاله واتجاه التتبع.
For y=2 cos(3x−π), what is the rightward horizontal shift?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Factor the argument as 3(x−π/3). The phase π is divided by angular frequency 3.
استخدم القاعدة المحددة
- بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، أعد كتابة النموذج بسعة موجبة كـ 2 cos(3x−π). سعته هي 2، دوره 2π/3، وطوره π؛ الإزاحة اليمنى المكافئة هي π/3. تحدث القمم حيث 3x−π هو مضاعف لـ 2π. نقطة بيانية عند x=0 وy=0 وحدها لا يمكن أن تحدد الطور بشكل فريد: الانحدارات أو نقطة أخرى تميز الزوايا الممكنة. الوحدات واتفاقيات الزوايا مهمة؛ مشتقات التفاضل والتكامل العادية للدوال المثلثية تستخدم الراديان.
- استخدم المشتقات البارامترية دون افتراض أن المماس العمودي ثابت.
For x=cos³t,y=sin³t with t in [0,π/2], which set is traced?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The parameter interval keeps both coordinates nonnegative. Elimination gives the astroid relation, but does not remove this quadrant restriction.
تحقق من الشروط
- المنحنى البارامترية يحدد x=x(t), y=y(t). إزالة t تصف مجموعة نقاط ولكن قد تفقد القيود والاتجاه. بالنسبة لـ x=cos³t, y=sin³t، الجذور التكعيبية الحقيقية تعطي |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1، وهو منحنى نجمي به زوايا حادة على المحاور. عندما تتراوح t من 0 إلى 2π تبدأ عند (1,0)، تمر بـ (0,1) عند π/2 وتتحرك عكس عقارب الساعة. تقييد t في [0,π/2] يعطي فقط قوس الربع الأول، ليس الموقع الضمني الكامل.
- استخدم المشتقات البارامترية دون افتراض أن المماس العمودي ثابت.
بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، تشمل القيم الصغرى x=0 وتشمل القيم العظمى x=π/3. يعطي تمثيل الطور 2 cos(3x−π) نفس القيم. بالنسبة لـ x=2 cos t وy=sin t، يؤدي الإزالة إلى x²/4+y²=1؛ عند t=π/4، يكون dx/dt=−√2 وdy/dt=√2/2، وبالتالي الميل هو −1/2. يحدد الفترة المعيارية الكاملة [0,2π] القطر مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة.
For x=t²,y=t³ and t=2, the slope dy/dx is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=(3t²)/(2t)=3t/2 when t≠0; at t=2 this equals 3.
طبق صيغة المهمة
- عندما لا يساوي dx/dt0، يكون dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). يتطلب المماس الأفقي عموماً أن يكون dy/dt=0 وdx/dt≠0؛ بينما يعكس المماس الرأسي هذه الشروط عموماً. إذا اختفت كلتا القيمتين، فافحص النهاية أو التوسع المحلي بدلاً من اعتبار 0/0 مماساً. بالنسبة لـ x=t² وy=t³ عند t=0، يكون الكسر من أجل t≠0 هو 3t/2 ويميل إلى الصفر: للملمس أفقي. ليس سرعة المعيار صفر بحد ذاتها حداً أقصى محلياً أو حداً أدنى لـ y كدالة في x.
- استخدم المشتقات البارامترية دون افتراض أن المماس العمودي ثابت.
زاوية الطور والإزاحة الأفقية تختلف عن طريق عامل التردد. المعادلة الضمنية يمكن أن تضيف أجزاء غير مرسومة من المنحنى. إذا اختفى كلا المشتقَين البارامتريين، استخدم الاستدلال المحلي بدلاً من تسمية كل مثل هذه النقاط كقيمة حدية.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
التمييز بين السعة، والتردد الزاوي، وزاوية الطور، والإزاحة الأفقية
Phase angle φ and horizontal shift φ/ω are always the same number.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
They coincide numerically only in special cases, such as ω=1. Frequency rescales the horizontal coordinate.
احتفظ بالتميّزات
- زاوية الطور — الانزياح الزاوي داخل حجة الدالة الدورية، مُعرف modulo دورة كاملة.
- منحنى بارامتري — منحنى يتم تحديد إحداثياته كدوال لمعامل مشترك.
- افرق بين السعة، والتردد الزاوي، وزاوية الطور، والإزاحة الأفقية.
- استبعد معلمًا مع الاحتفاظ بمجاله واتجاه التتبع.
- استخدم المشتقات البارامترية دون افتراض أن المماس العمودي ثابت.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.