هندسة المتجهات، الإسقاطات والمساحة الموجهة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | ضرب الاتجاه |
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | متعامد |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لمسارين أن يشيران إلى نفس الاتجاه العام، أو يلتقيان بزاوية قائمة، أو يعارض أحدهما الآخر. الضرب القياسي يميز هذه الحالات؛ الضرب الاتجاهي يقيس المساحة التي يحصران.
- هدفك: استخدام الضرب القياسي لتصنيف الزوايا وحساب الإسقاطات.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لمتجهات حقيقية u,v غير صفرية، u·v=|u||v| cos θ. الضرب القياسي الموجب أو الصفر أو السلبي يقابل زاوية حادة أو قائمة أو منفرجة أصغر. الإسقاط القياسي لـ v على طول u هو (v·u)/|u|؛ إسقاطه المتجهي هو ((v·u)/(u·u))u. الفرق عن هذا الإسقاط عمودي على u. لا تخلط بين متجه مسقط ومركوبته القياسية الموقعة. المتصففر عمودي على كل متجه لكن ليس له اتجاه زاوية محدد.
- احسب مساحة المثلث وتوجهه باستخدام الضرب الاتجاهي.
Triangle vertices are (0,0,0),(2,0,0),(0,3,0). What is its area?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The edge cross product has magnitude 6. Triangle area is half the spanned parallelogram area.
استخدم القاعدة المحددة
- بالنسبة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، يكون u×v عمودياً على كليهما بطول |u||v| sin θ. يعتمد الحساب الإحداثي على (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). يمثل هذا الطول مساحة متوازي الأضلاع، لذا فإن مثلثاً مكوناً من متجهين حدين له نصف تلك المساحة. قلب ترتيبهما يقلب الضرب الاتجاهي لكنه يحافظ على المساحة. بنِ كلا المتجهين الحدين من نفس الرأس؛ فالضرب الاتجاهي لمتجهي موضع غير مرتبطين يقيس عموماً مثلثاً خاطئاً.
- بنِ أو استبعد تخطيطات إشارة الضرب القياسي المستوي.
What is the vector projection of (3,4) onto the line spanned by (1,0)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply (1,0) by the coefficient ((3,4)·(1,0))/((1,0)·(1,0))=3.
تحقق من الشروط
- المستوى الذي يمر بنقطة p مع ناظم n غير صفري له المعادلة n·(x−p)=0. المسافة من q إلى المستوى هي |n·(q−p)|/|n|؛ المقام يطبيع مقياس المعادلة. حاصل الضرب الثلاثي القياسي u·(v×w) يعطي حجم متوازي السطوح الموجه؛ قيمته المطلقة هي الحجم الهندسي. حاصل الضرب الثلاثي الصفري يعني اعتماد المتجهات الثلاثة الحدية، ليس بالضرورة أن كل زوج عمودي أو موازٍ.
- بنِ أو استبعد تخطيطات إشارة الضرب القياسي المستوي.
مع p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0)، الحواف هي u=(2,0,0), v=(0,3,0). حاصل ضربهم الاتجاهي هو (0,0,6)، مما يعطي مساحة المثلث 3. بالنسبة لـ w=(3,4) وu=(1,0)، الإسقاط المتجهي هو (3,0) والباقي المتعامد هو (0,4). المستوى 2x−y+2z=6 له طول ناظم 3، لذا مسافته عن الأصل هي 6/3=2.
The distance from the origin to 2x−y+2z=6 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divide the absolute constant 6 by the normal length √(4+1+4)=3.
طبق صيغة المهمة
- بالنسبة لأربعة متجهات مستوية، توجد ستة ضربات نقطية غير مرتبة. التكوين e₁,−e₁,e₂,−e₂ يحتوي على حاصلين ضرب سلبيين وأصفار أربعة؛ أما e₁,e₁,e₂,e₂ فيحتوي على حاصلين ضرب موجبين وأصفار أربعة. لا يمكن لأربعة متجهات غير صفرية أن يكون كل حاصل ضرب زوجي فيها سالباً. رتب اتجاهاتها حول الدائرة: يجب أن يتجاوز كل فجوة زاوية متتالية 90°، مما يجبر مجموع الفجوات الأربع على تجاوز 360°. لا يمكن لمتجه صفر إنقاذ شرط السالب الصارم، لأن ضرباته النقطية تتلاشى.
- بنِ أو استبعد تخطيطات إشارة الضرب القياسي المستوي.
مقدار الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع، لذا قسّمه على نصف للحصول على مساحة المثلث. الصفر في الضرب القياسي هو بيان للتعامد الجبري حتى بالنسبة للمتصفّر. مسافة المستوى يجب أن تُقسم على طول المتجه العمودي.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استخدام الضرب القياسي لتصنيف الزوايا وحساب الإسقاطات
Four nonzero vectors in R² can have all six unordered pairwise dot products negative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Consecutive direction gaps would all exceed 90°, contradicting their total 360°. Zero vectors would produce zero products instead.
احتفظ بالتميّزات
- متعامد — يمتلك ضرباً قياسياً يساوي صفراً في فضاء ذاتي ضرب حقيقي.
- الضرب الاتجاهي — متجه عمودي موجه في ثلاثة أبعاد يكون مقداره مساوياً لمساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده.
- استخدم الضرب القياسي لتصنيف الزوايا وحساب الإسقاطات.
- احسب مساحة المثلث وتوجهه باستخدام الضرب الاتجاهي.
- بنِ أو استبعد تخطيطات إشارة الضرب القياسي المستوي.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.