عوامل التكامل والمعادلات التفاضلية غير المتجانسة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | عامل التكامل |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | حل خاص |
قرار قبل الإجابة
- المدخل المؤثر يُغيّر استجابة النظام. حل معادلة عدم التأثير فقط يستبعد المساهمة المستمرة؛ كما أن القسمة على y قد تؤدي إلى فقدان حل صالح.
- هدفك: حل المعادلات الخطية من الرتبة الأولى باستخدام عامل التكامل.
اقرأ العلاقة
- المعادلة الخطية من الرتبة الأولى تكون على الصورة y′+p(x)y=q(x) على فترة تكون فيها معاملاتها متصلة. لا يشترط أن تكون قابلة للفصل. ضع μ(x)=exp(∫p(x)dx). بما أن μ′=pμ، فإن الضرب يعطي (μy)′=μq، ومنه y=μ⁻¹(∫μq dx+C). اختر أي مشتق عكسي مناسب لـ p؛ فإن ثابت تكامله merely يعيد مقياس μ ويختفي من الحل. طبق البيانات الابتدائية بعد التكامل، واحفظ نقاط المعاملات المفردة خارج الفترة المختارة.
- بنِ الجزء المتجانس والجزء الخاص لحلول ثوابت المعاملات.
Which integrating factor works for y′+3y=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(x)=3, so μ=exp(∫3 dx)=e^(3x). Its derivative is 3μ.
استخدم القاعدة المحددة
- بالنسبة لـ y′+2xy=x و y(0)=1، لدينا μ=e^(x²). إذن (e^(x²)y)′=x e^(x²)، ومكافئته هي e^(x²)/2+C. بالتالي y=1/2+C e^(−x²)، ويعطي الشرط الأولي C=1/2. التحقق بالتعويض المباشر يتحقق من y′+2xy=x. عامل التكامل يجعل الطرف الأيسر مشتق حاصل ضرب؛ فهو ليس عاملاً إضافياً يبقى مضروباً للطرف الأيمن الأصلي في الإجابة النهائية.
- تعامل مع الرنين وتحقق من النتيجة في المعادلة الأصلية.
For y″−3y′+2y=4, which constant is a particular solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both derivatives vanish for a constant. The equation reduces to 2y=4, so y=2.
تحقق من الشروط
- بالنسبة لـ ay″+by′+cy=r(x) حيث a غير صفري، حل المعادلة المميزة aλ²+bλ+c=0 للجزء المتجانس. الجذور الحقيقية المختلفة تعطي دالتين أسيتين؛ جذر مكرر λ يعطي (C₁+C₂x)e^(λx)؛ جذور α±iβ تعطي e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). الحل الكامل هو y_h+y_p. إلهام متعدد الحدود يقترح تجربة خاصة متعددة حدود؛ إلهام أسّي أو جيب/جيب تمام يقترح العائلة المقابلة، مع عدد كافٍ من المعاملات لحساب التفاضل.
- تعامل مع الرنين وتحقق من النتيجة في المعادلة الأصلية.
بالنسبة لـ y″−3y′+2y=4، الجذور المميزة هي 1 و 2. حل خاص ثابت y_p=2 يعطي 2y_p=4، إذن y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. بالنسبة لـ y′+2xy=x و y(0)=1، الحل المنفرد من الرتبة الأولى هو y=(1+e^(−x²))/2. هذه أمثلة لطرق مختلفة؛ لا تصبح أي من المعادلات متجانسة لمجرد أن طرفها الأيسر خطي.
For y′+2xy=x with y(0)=1, y=1/2+C e^(−x²). Give C as a decimal: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x=0 the exponential is 1, so 1=1/2+C gives C=1/2.
طبق صيغة المهمة
- إذا تكرر اختبار خاص مع حل متجانس، فلا يمكنه إنتاج الإلهام: اضربه في x مرة للجذر البسيط، مرتين للجذر المكرر. بالنسبة لـ y″−3y′+2y=e^x، فإن Ke^x العادي يُحيد. تجربة Kxe^x تعطي −Ke^x، إذن y_p=−xe^x. الشروط الأولية تحدد ثوابت الجزء المتجانس فقط بعد إضافة y_p. عوض الدالة النهائية في المعادلة الأصلية للتحقق من الإشارات والإلهام؛ فحص القيمة الابتدائية وحده لا يمكنه التحقق من المعادلة التفاضلية.
- تعامل مع الرنين وتحقق من النتيجة في المعادلة الأصلية.
احتفظ بالحل الخاص. تحتاج التجربة الرنّية لعامل x. اشتقاق عامل التكامل ينطبق على فترة معامل صالحة ولا ينبغي القسمة على y أو تجاهل الحلول الصفراء بصمت.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى باستخدام عامل التكامل ⟦number⟧
Ke^x can be a particular solution of y″−3y′+2y=e^x for a suitable constant K.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x is homogeneous, so the differential operator sends every Ke^x to zero. A resonant trial requires an extra x factor.
احتفظ بالتميّزات
- عامل التكامل — مُعدّل يحوّل المعادلة الخطية من الرتبة الأولى إلى مشتق حاصل ضرب.
- الحل الخاص — حل واحد يزود الإلهام غير المتجانس المحدد.
- حل المعادلات الخطية من الرتبة الأولى باستخدام عامل التكامل.
- بنِ الجزء المتجانس والجزء الخاص لحلول ثوابت المعاملات.
- تعامل مع الرنين وتحقق من النتيجة في المعادلة الأصلية.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.