ج.8 · الطور المثلثي والمنحنيات البارامترية

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: حساب المثلثات بالراديان، والمشتقات، وتمثيل المنحنيات بارامترياً.

• تمييز السعة، والتردد الزاوي، وزاوية الطور، والإزاحة الأفقية
• إزالة معلم مع الاحتفاظ بمجاله واتجاه التتبع
• استخدام المشتقات البارامترية دون افتراض أن المماس الرأسي ثابت

زاوية الطور: الزاوية المزاحة داخل حجة الدالة الدورية، معرفة بدورة كاملة.

منحنى بارامتر: منحنى تُحدد إحداثياته بدوال في معلم مشترك.

بالنسبة لـ y=A cos(ωx−φ) حيث A>0 و ω>0، السعة هي A، والدورة هي 2π/ω، والإزاحة الأفقية هي φ/ω. يُقاس زاوية الطور φ داخل حجة جيب التمام؛ ولا تمثل الإزاحة الأفقية إلا إذا كان ω=1. ابدأ بمسافة الذروة إلى الذروة لتحديد الدورة والمسافة من خط المنتصف إلى الذروة للسعة. لإيجاد الطور، عوض بنقطة معروفة وتحقق من اتجاه الحركة هناك. تتباين الأطوار المتكافئة بمقدار 2π.

بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، أعد كتابة النموذج بسعة موجبة على شكل 2 cos(3x−π). سعته هي 2، ودورته 2π/3، وطوره π؛ والإزاحة اليمنى المكافئة هي π/3. تحدث القمم عندما يكون 3x−π مضاعفًا لـ 2π. لا يمكن لنقطة واحدة على الرسم البياني عند x=0 و y=0 أن تحدد الطور بشكل فريد: يجب استخدام المشتقات أو نقطة أخرى لتمييز الزوايا الممكنة. الوحدات ومعايير الزوايا مهمة؛ مشتقات التفاضل والتكامل العادية لدوال الجيوب تستخدم الراديان.

تحديد منحنى بارامترية يحدد x=x(t)، y=y(t). استبعاد t يصف مجموعة نقاط ولكن قد يفقد القيود والاتجاه. بالنسبة لـ x=cos³t، y=sin³t، تعطي الجذور التكعيبية الحقيقية |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1، وهي منحنى النجمة ذات الحواف على المحاور. عندما يتغير t من 0 إلى 2π يبدأ من (1,0)، يمر بـ (0,1) عند π/2 ويتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة. تقييد t في [0,π/2] يعطي فقط قوس الربع الأول، وليس الموقع الضمني الكامل.

عندما dx/dt≠0، فإن dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). يتطلب المماس أفقيًا عمومًا dy/dt=0 و dx/dt≠0؛ ويقلب المماس العمودي تلك الشروط. إذا اختفت كلاهما، افحص النهاية أو التوسع المحلي بدلاً من اعتبار 0/0 كميل. بالنسبة لـ x=t², y=t³ عند t=0، الكسر لـ t≠0 هو 3t/2 ويميل إلى الصفر: القمة لها مماس أفقي. سرعة المعلم الصفري ليست بحد ذاتها حدًا أقصى محليًا أو أدنى لـ y كدالة لـ x.

بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، تشمل القيم الصغرى x=0 وتشمل القيم العظمى x=π/3. يعطي تمثيل الطور 2 cos(3x−π) نفس القيم. بالنسبة لـ x=2 cos t وy=sin t، يؤدي الإزالة إلى x²/4+y²=1؛ عند t=π/4، يكون dx/dt=−√2 وdy/dt=√2/2، وبالتالي الميل هو −1/2. يحدد الفترة المعيارية الكاملة [0,2π] القطر مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة.

زاوية الطور والإزاحة الأفقية تختلف عن طريق عامل التردد. المعادلة الضمنية يمكن أن تضيف أجزاء غير مرسومة من المنحنى. إذا اختفى كلا المشتقَين البارامتريين، استخدم الاستدلال المحلي بدلاً من تسمية كل مثل هذه النقاط كقيمة حدية.

بالنسبة لـ $y=-3\cos(2x)$، حدد السعة، والدورة، وتمثيل الطور بسعة موجبة والإزاحة الأفقية المقابلة. عَمِّق بيضاوي $x^2/9+y^2/4=1$ عكس عقارب الساعة.

حل نموذجي

السعة تساوي ثلاثة والدورة $2\pi/2=\pi$. اكتب $y=3\cos(2x-\pi)$، مع إزاحة طورية $\pi$ وإزاحة نحو اليمين $\pi/2$. الإزاحة الطورية والإزاحة ليستا متطابقتين. أحد التحديدات البارامترية هو $x=3\cos t,y=2\sin t$، $0\le t\le2\pi$، والذي يبدأ من $(3,0)$ ويتحرك للأعلى في البداية. استبعاد t يتحقق من معادلة القطع البيضاوي.

بالنسبة لـ $x=t^2,y=t^3$ على $-1\le t\le1$، حدد الموقع المتتبع والمماس عند t=0. هل انعدام سرعة البارامتر يثبت عدم وجود مماس؟ هل المعادلة الضمنية وحدها تحتفظ بكامل قيد البارامتر؟

تحقق بعد المحاولة

الاستبعاد يعطي $y^2=x^3$، مع $0\le x\le1$ وكلا علامتي y. بالنسبة لـ t لا يساوي صفرًا، $dy/dx=3t/2\to0$. ميل القاطع من نقطة الأصل هو $y/x=t\to0$ أيضًا، لذا المماس عند الحافة أفقي. كلا المشتقات البارامترية تنعدم عند الصفر، مما يجعل الكسر الخام $0/0$ غير حاسم، ولا يثبت غياب المماس. المعادلة الضمنية غير المقيدة تحتوي أيضًا على نقاط مع x>1؛ يجب حمل قيد الفترة بشكل منفصل.