GRE Subject Test · GRE Mathematics · الموضوع 21
تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.
المواصفات المسبقة: جداول الاحتمالات، والتوقع، والتباين، والعينة المستقلة.
الاحتمال اللاحق: احتمال مشروط على الدليل الملاحظ بعد مراعاة النسب الأولية.
الخطأ المعياري: الانحراف المعياري لإحصاء عبر عينات متكررة.
| English | العربية |
|---|---|
| posterior probability/pɒˈstɪərɪə ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | احتمال بيزي |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | الخطأ المعياري |
بالنسبة لـ P(B)>0، P(A|B)=P(A∩B)/P(B): اقتصار المجتمع على B قبل حساب الكسر في A. الاستقلال يعني P(A∩B)=P(A)P(B)، مكافئاً لـ P(A|B)=P(A) عندما يكون المقام غير صفري. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة لا يمكن أن تكون مستقلة، لأن احتمالها المشترك صفر. العينات بدون إرجاع تغير عادةً الاحتمالات اللاحقة؛ مقام ثابت للسحب المتتالية سيصف تجربة مختلفة.
بني احتمالات مشتركة بضرب نسبة الفئة الأولية في الاحتمال الشرطي المعني. إذا كانت D هي الشرط و+ نتيجة إيجابية، P(D∩+)=P(D)P(+|D). الاحتمال الإجمالي للإيجابية هو P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D)، لأنها منفصلة وتغطي كل النتائج الإيجابية. يقسم بايز الاحتمال المشترك الأول على هذا المجموع. الحساسية هي P(+|D)، بينما النوعية هي P(−|not D)؛ معدل الإيجابية الخاطئة هو واحد ناقص النوعية.
اختبار افتراضي مع انتشار 2%، حساسية 90% ونوعية 95%، استخدم مجتمعاً 10,000 للتوضيح. من بين 200 أشخاص مصابين، 180 يعطون نتيجة إيجابية. من بين 9,800 غير المصابين، 490 يعطون نتيجة إيجابية. لذلك 180 من بين 670 نتائج إيجابية لديهم المرض: الاحتمال اللاحق 18/67، حوالي 26.9%. عكس الشرطية سيعطي 90%، مما يجيب عن سؤال مختلف. هذا نموذج رياضي، وليس توصية بشأن القرارات السريرية.
لملاحظات مستقلة وموزعة بشكل متطابق مع تباين محدود σ²، متوسط العينة له توقع μ وتباين σ²/n؛ خطأه المعياري هو σ/√n. هذا هو انتشار متوسطات العينات المتكررة، ليس انتشار الملاحظات الفردية. مضاعفة n بأربع ضعف تقلل الخطأ المعياري للنصف، بدلاً من ربعه. بيانات المجتمع الطبيعي تعطي وسطاً طبيعياً تماماً؛ وإلا فإن تقريب الحد المركزي يحتاج شروطاً كافية وحجم عينة مناسب. الارتباط يفسر الحساب البسيط لتباين الاستقلال.
$P(A\mid B)=n(A\cap B)/n(B),\quad n(B)>0$
Use the lesson’s table to compare a conditional probability, its reverse and a whole-cohort probability. The highlighted group is the denominator.
ليكن P(A)=0.4، P(B)=0.5 و P(A∩B)=0.3. إذن P(A|B)=0.6، لذا A و B ليستا مستقلتين، لأن 0.3≠0.4·0.5. إذا كان للمتغير انحراف معياري 12، فإن عينة مستقلة بحجم 36 لها خطأ معياري للمتوسط 2. زيادة حجم العينة إلى 144 تعطي 1؛ ويبقى الانحراف المعياري للملاحظة الفردية ثابتاً عند 12.
$\mathrm{SD}(\bar X)=\sigma/\sqrt n$
Changing n changes the standard error, not the population standard deviation. Normal probabilities require an explicit distribution model.
لا تعكس P(+|D) إلى P(D|+). قم بتضمين النتائج الإيجابية الكاذبة في مقام البعدية. الانحراف المعياري للملاحظات الفردية وخطؤها المعياري لمتوسطها له سلوك مختلف مع حجم العينة.
في نموذج مذكور، 10% من الأجهزة بها عيب. الاختبار إيجابي لـ 80% من الأجهزة المعيبة و5% من الأجهزة غير المعيبة. أوجد احتمال وجود عيب بناءً على نتيجة إيجابية باستخدام 1000 أجهزة متوقعة.
الأعداد المتوقعة هي 100 معيبة و900 غير معيبة. الأعداد الإيجابية هي $100(0.8)=80$ و$900(0.05)=45$ على التوالي. المجموعة المشروطة تحتوي على 125 إيجابيات، وبالتالي
الملاحظات المستقلة لها تباين 25. أوجد الخطأ المعياري لمتوسطها لـ n=100. إذا كان بدلاً من ذلك كل زوج متميز له تباعد 1، أوجد تباين المتوسط. هل مضاعفة n بأربع ضعف بالضرورة تقلل الخطأ المعياري للنصف في النموذج الثاني؟
الاستقلال يعطي $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ وعند 100 الخطأ المعياري $5/10=0.5$. مع تباعد واحد،
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
جار تحميل المواضيع…