S2 · Statistics 2

إحصاء 2 (S2، ورقة WST02/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 علامات، أول اختبار يونيو 2020) يتبع S1 في المسار التطبيقي: P1–P2 و S1 مفترضة. تحتوي الكتيبة على جداول التوزيع الثنائي، البوزون والتطبيقي. يغطي هذا المرجع التوزيع الثنائي وتوزيع بوزون مع تقريباتها، والمتغيرات العشوائية المستمرة، والتوزيع المنتظم، والعينة و البرنامج الكامل لاختبار الفرضيات.

معرفة ضرورية لـ S2 (غير موجودة في الكتيبة):

توزيع ذات الحدين: $n$ تجارب مستقلة، احتمال ثابت $p$ — هذان الافتراضان يجب ذكرهما في السياق. توزيع بواسون: تحدث الأحداث بشكل فردي ومستقل، بمعدل متوسط ثابت — معدل التوسع ($\mathrm{Po}(\lambda)$ في الدقيقة يعطي $\mathrm{Po}(5\lambda)$ في 5 دقائق). العزوم تأتي بصيغ: $np$ و$np(1-p)$؛ $\lambda$ و$\lambda$. عند إعطاء المتوسط والتباين لـ توزيع ذات الحدين، حل $n$ و$p$ معاً. تقريب بواسون لـ ذات الحدين يتطلب $n$ كبيراً و$p$ صغيراً (استخدم $\lambda = np$).

مثال محلول — العزوم ثم التقريبات (WST02 يونيو 2025 Q3). حلاوة زرقاء لكل كيس صغير لها متوسط 3 وتباين 2.55: $np = 3$ و$np(1-p) = 2.55$ تعطي $1 - p = 0.85$، لذا $p = 0.15$ و$n = 20$. كيس متوسط حجمه 40 بنسبة 20٪ خضراء: $X\sim B(40, 0.2)$، $E(X) = 8$، و$P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. كيس كبير حجمه 80 بنسبة 10٪ صفراء: مع $n = 80$ كبير و$p = 0.1$ صغير، $X\approx\mathrm{Po}(8)$ و$P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$.

المتغير العشوائي المستمر له دالة كثافة احتمالية $f$ بمساحة كلية 1 و$P(X = x) = 0$ عند كل نقطة؛ دالة التوزيع التراكمية $F(x) = P(X \le x)$ تحقق $f = F'$ و$F(a) = \int_{-\infty}^a f$. الكثافات المتقطعة: طبيعياً $\int f = 1$ (والذي يحدد الثابت المجهول)، ثم استنتج الوسيط ($F = \tfrac12$)، الربيعيات، والمنوال من ذروة $f$ (ضع $f' = 0$، أو تفحص الزوايا). $E(X) = \int xf\,dx$، $E(X^2) = \int x^2f\,dx$، $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$؛ الانحراف يقارن بين المتوسط والوسيط والمنوال.

مثال محلول — دالة توزيع تراكمي تم حلها خطوة بخطوة (WST02 يونيو 2025 سؤال1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ على $[0, 1]$: $F(1) = 1$ يعطي $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. الوسيط: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$، أي $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$، لذا $m = 0.671$. القيمة الأكثر تكراراً: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ و$f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ تعطي $x = 1$ (نرفض $-1$ لأنها خارج نطاق الدعم). الانحراف: الوسط الحسابي $0.64 <$ الوسيط $0.671 <$ القيمة الأكثر تكراراً $1$ — انحراف سالب.

مثال محلول — كثة احتمالية خطية مجزأة بدون آلة حاسبة (WST02 يونيو 2025 سؤال5). مع $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ على $[0, k]$ و$f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ على $(k, 6]$: للتطبيع،

إذن $k = 3.5$ (الكثافة الاحتمالية متصلة هناك، كلا الجزأين يساويان $\tfrac13$). ثم $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, ومع $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ مُعطى، $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.

التوزيع المنتظم المستمر على $[a, b]$ منتظم على $[a, b]$: الكثافة $\tfrac1{b-a}$، دالة توزيع تراكمي مستقيمة، الوسط الحسابي $\tfrac{a+b}2$، التباين $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. حقيقتان تحددان $a$ و$b$ (احتمال فترة يعطي $b - a$؛ أن الوسط الحسابي يعطي $a + b$). مقياس التشفير يُضرب الوسط الحسابي؛ الاحتمالات هي أطوال مقسومة على $b - a$.

Worked example — uniform on a wide interval (WST02 June 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ يناسبان أيضًا — لكن يُحفظ جذر واحد للسؤال بأكمله). يُعطِي $E(cX + 1) = 3$ $c = \tfrac13$؛ $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$، $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.

التعداد يقيس الجميع (كامل لكنه مكلف وبطيء، وقد يكون مدمرًا)؛ عينة تقيس جزءًا (أرخص وأسرع، لكنها تحتوي على خطأ العينة). إطار العينة يسرد وحدات العينة. الإحصاء هو دالة لقيم العينة فقط (بدون معلمات غير معروفة) — $\bar X$ هو إحصاء، بينما $\bar X - \mu$ ليس كذلك؛ وتوزيعه عبر العينات المتكررة هو توزيع العينة.

مثال محلول — توزيع العينة (WST02 يونيو 2025 سؤال4). ثلاث خرز من حقيبة بنسبة 2:5 أسود:أبيض، بحساب 4 لكل أسود و1 لكل أبيض: مع $P(\text{black}) = \tfrac27$، فإن النقاط $X$ تأخذ 3، 6، 9، 12 باحتمالات $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ يحسب عدد مجموعات 9-نقاطية ضمن $n$ محاولات مستقلة، $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ و $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ تحتاج إلى $n > 15.6$، لذا $n = 16$.

اختبار الفرضية يقارن البيانات بنموذج فارغ.

صاغ الفرضية الصفرية $H_0$ (لا تغيير، المعامل المقتبس) و$H_1$ (ذيل واحد أو ذيلين حسب المطلوب). حدد منطقة الحرجة عند المستوى المذكور عن طريق تجميع احتمالات الذيل حتى تجاوز $\alpha$؛ وأبلغ عن مستوى الدلالة الفعلي كإجمالي احتمال الذيل. أحادي الذيل تضع الاختبارات المستوى الكامل في ذيل واحد؛ وتجزئه الاختبارات ثنائية الذيل. استنتج في السياق: "لا يوجد دليل كافٍ على أن … قد تغير". التقريب الطبيعي للتوزيع الثنائي: المتوسط $np$، التباين $np(1-p)$، مع تصحيح الاستمرارية (على الأقل $t$ تعني $t - 0.5$).

مثال محلول — اختبار معدل بواسون (WST02 يونيو 2025 سؤال 2). متوسط العملاء 20/ساعة؛ بعد التعديلات، رُصد فترة زمنية مدتها 30 دقيقة: $X\sim\mathrm{Po}(10)$، $H_0\colon\lambda = 10$، $H_1\colon\lambda \ne 10$. عند 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$ لكن $P(X \le 4) = 0.0293$ (كبير جداً)؛ $P(X \ge 17) = 0.0270$ but $P(X \ge 18) = 0.0143$ — critical region $X \le 3$ or $X \ge 18$, المستوى الفعلي $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. القيمة المرصودة 16 تقع خارجها → لا نرفض $H_0$.

مثال محلول — اختبار ثنائي مع تقارب طبيعي (WST02 يونيو 2025 سؤال 7). 30% من العملاء يأخذون التأمين؛ عينة حجمها 40 أعطت $X\sim B(40, 0.3)$. أكبر $r$ مع $P(X < r) < 0.05$ (fewer than $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ but $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. عند 200 العملاء، $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ تعني $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$، إذن $t = 50$. بعد عرض خاص، 11 من 25 اشتروا: $H_0\colon p = 0.3$، $H_1\colon p > 0.3$؛ $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$، إذن نرفض $H_0$ — دليل على أن النسبة قد زادت.

• نص افتراضات التوزيع الثنائي/بواسون في السياق؛ حل أزواج المتوسط/التباين لـ $n$، $p$؛ قسّم معدلات بواسون حسب الوقت.
• عيّن كثافات مجزأة (ثوابت، k مربع كامل)؛ اشتق F لإيجاد f؛ أوجد الوسيط/الربيعيات من F، والوضع من f' أو الزوايا؛ احسب E(X)، E(X²)، Var؛ استنتج الانحراف من المتوسط-الوسيط-الوضع.
• استشهد واستنتج الحقائق المتجانسة؛ حدد a وb من فترة بالإضافة إلى المتوسط؛ احتفظ باحتمالات كأطوال.
• ميّز بين التعداد والعينة مع مزايا وعيوبها؛ تعرّف على الإحصاءات؛ بِنِ توزيعات عينات صغيرة بالعدّ؛ غلِّ العدادات في B(n, p) للمتابعات.
• قم باختبارات أحادية وثنائية الذيل: صيغ الفرضيات بالرموز والكلمات، المنطقة الحرجة بالتجميع، مستوى الدلالة الفعلي، استنتاج في السياق؛ التقريب الطبيعي مع تصحيح الاستمرارية عندما يكون n كبيراً.