P3 · Pure Mathematics 3

رياضيات بحتة 3 (P3) توسّع P1 وP2: الدوال الكسرية والمقلوبات، القيمة المطلقة، التحويلات المركبة، والدوال المثلثية المقلوبة والشكل التوافقي، وتكييف نموذج الرسم البياني للأدوال، قواعد الاشتقاق الكاملة، والتكامل بالاعتراف، والطرق العددية. يُفترض معرفة P1 وP2 وقد يتم اختبارها في ورقة WMA13/01 (1 ساعة ⟨30 دقيقة، 75 درجات؛ نفس قواعد الآلة الحاسبة وكتيب القواعد).

القواعد التي يجب أن تعرفها لـ P3 (ليست في الكتيب):

تبسيط العبارات الكسرية عن طريق التحليل والاختصار؛ القسمة الجبرية تستعرض المقامات حتى التربيع. اختصر العوامل فقط، ولا تُلغَ الحدود أبداً.

الدالة هي تطابق واحد لواحد أو متعدد إلى واحد؛ مجالها هو المدخلات المسموحة ومدىها هو المخرجات. تركيب الدوال $fg$ يعني "نفذ $g$ أولاً، ثم $f$". المعكوس $f^{-1}$ يلغي عمل $f$ (يوجد حيث $f$ واحد لواحد)، و $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$؛ تمثيل بياني لـ $f^{-1}$ يعكس تمثيل بياني لـ $f$ عبر $y = x$.

مثال محلول — المعكوس والتركيب (معدّل من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 سؤال 1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(أ) مجال $f$.

• عند $x = 0$: $f(0) = 0$؛ عندما $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ من الأسفل، و$f$ متزايدة (كلما زاد $x$ زادت $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(ب) أوجد $f^{-1}(x)$.

• لنفترض $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ وحل لإيجاد $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Check: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(ج) حل $f^{-1}(x) = f(x)$.

• تحقق: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

الـ قيمة المطلقة $|x|$ هي $x$ لـ $x \ge 0$ و$-x$ لـ $x < 0$: $y = |ax + b|$ هو الخط الخط $y = ax + b$ مع الجزء السالب منه منعكسًا فوق المحور. بمعلومية $y = f(x)$، ارسم $y = |f(x)|$ (انعكس أي جزء تحت المحور) و$y = f(|x|)$ (احتفظ بالنصف الأيمن، وانعكسه إلى اليسار). حل معادلات القيمة المطلقة بيانياً أو بالحالات، واختبر كل حل.

التحويلات المركبة تطبق قواعد P1 معاً، على سبيل المثال $y = 2f(3x)$ أو $y = f(-x) + 1$: التمددات تضرب، والإزاحات ثم تنقل؛ الترتيب المعطى في المنهج هو $y = af(x)$، $y = f(x) + a$، $y = f(x+a)$، $y = f(ax)$ مدمجة في تعبير واحد ($y = f(ax+b)$ بشكل عام غير مطلوب).

مثال محلول — معادلة القيمة المطلقة (مثال المنهج الخاص). حل $|2x - 1| = x + 5$.

• الحالة $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (تحقق من $x \ge \tfrac12$).
• الحالة $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• كلا الحلين هما $x = 6$ و$x = -\tfrac43$. تحقق: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

الدوال المعكوسة (المقلوبة):

مع المتطابقات $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ و$\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. لها الرسوم البيانية مقارب حيث تكون دالة المقام صفراً. الدوال العكسية $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ need restricted domains: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

الصيغة التوافقية: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ مع $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ و$\tan\alpha = \dfrac ba$ — عدد واحد، زاوية واحدة، جاهزة للتعظيم أو الحل.

مثال محلول — الصيغة التوافقية (مستوحى من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 Q2). عبّر عن $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ بالصيغة $R\cos(x + \alpha)$، $R > 0$، $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• قم بفك $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ ومطابقة: $25\cos\alpha = 7$ و$25\sin\alpha = 24$، إذن $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ و
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• تحقق: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ و$-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

مثال محلول — إثبات المتطابقة (مستوحى من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 Q8a). أثبت أن $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• اكتب $3x = 2x + x$ واستخدم صيغة الزاوية المركبة:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• عوض:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ غير معرفة ✓ متسقة.

$y = e^x$ يمر عبر $(0, 1)$ وينمو بلا حدود؛ $\ln x$ هي دالتها العكسية ومجالها $x > 0$ ومحور $y$ كخط تقارب. حل $e^{ax+b} = p$ بأخذ $\ln$، و $\ln(ax + b) = q$ عن طريق الأس.

نماذج الرسم اللوغاريتمي: بالنسبة لـ $y = ax^n$، أخذ اللوغاريتم يعطي $\log y = n\log x + \log a$ — ارسم $\log y$ مقابل $\log x$ للحصول على خط مستقيم بميل $n$ وقطع $\log a$. وبالنسبة لـ $y = kb^x$، ارسم $\log y$ مقابل $x$: الميل $\log b$، القطع $\log k$.

مثال محلول — استعادة قانون القوة (مُعدّل من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 سؤال3). معادلة $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ تمر عبر $(-3.5, 0)$ و$(0, -2)$. عبّر عن $y$ بصيغة $px^q$.

• الميل: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$؛ القطع $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• التحويل: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$، إذن
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Check with a point on the line: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

مثال محلول — نموذج التناقص الأسي (مُعدّل من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 سؤال6). معالج يبرد عندما $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ بدرجة مئوية، $t$ بالدقائق)، بدءاً من 75 درجة مئوية، وتصل إلى 25 درجة مئوية بعد 5 دقائق؛ أوجد $A$، $k$، والوقت الذي تنخفض فيه درجة الحرارة عند 9 درجة مئوية في الدقيقة.

• عند $t = 0$: $75 = 21 + A$، إذن $A = 54$.
• عند $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• المعدل: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$؛ اجعله مساويًا لـ $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• القيمة الأولية هي 75 درجة مئوية والقاع طويل المدى هو 21 درجة مئوية.
• التحقق: عند $T = 2.19$، $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ درجة مئوية، تنخفض بمقدار $28.13 \times 0.320 = 9.0$ درجة مئوية/دقيقة ✓. قاع النموذج هو 21 درجة مئوية (درجة حرارة الغرفة) — معقول لقيم كبيرة من $t$.

اشتق $\sin kx$، $\cos kx$، $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$)، $e^{kx}$، $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$)، بالإضافة إلى المجموع والفرق.

ثلاث قواعد توسع نطاق الاشتقاق: قاعدة الضرب، قاعدة القسمة و قاعدة السلسلة.

يُستنتج $\sec x \to \sec x\tan x$، $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$، $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ من the quotient rule. Implicit differentiation uses $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

مثال محلول — قاعدة الضرب والسلسلة معاً (من الأمثلة الخاصة بالمواصفة). أوجد المشتقة لـ $e^{-x^2}\sin 3x$ (مستوحاة من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 السؤال7).

• قاعدة الضرب مع $u = e^{-x^2}$ (السلسلة: $u' = -2xe^{-x^2}$) و$v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• تحقق عند $x = 0$: المشتقة $= 1 \times (3 - 0) = 3$، وقريبة من $0$ يتصرف المنحنى مثل $\sin 3x$ بميل 3 ✓.

كامل الأشكال القياسية مباشرة، واستخدم أشكال التعرف (رصد $f'$ داخل التكامل):

تحويلات المتطابقات المثلثية $\sin^2 x$، $\cos^2 x$، $\tan^2 x$ إلى أشكال قابلة للتكامل ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

مثال محلول — المتطابقة أولاً (مُعدّل من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 سؤال5). أوجد $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• زاوية مضاعفة مع $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$، إذن $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• تحقق بالاشتقاق: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

مثال محلول — التعرف. أوجد $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• البسط هو مشتق المقام ($f' = 6x$، $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• التحقق: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. صيغة الأس تعمل بنفس الطريقة: مع $u = 3x^2 + 4$ و$du = 6x\,dx$،
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  and differentiating $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ gives $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• تغير الإشارة: إذا كانت $f$ متصلة على $[a, b]$ و$f(a)f(b) < 0$، فإن جذراً يقع بين $a$ و$b$. نصف الفترة لتحديد الجذر بدقة أي desired.
• التكرار: إعادة ترتيب $x_{n+1} = f(x_n)$ من قيمة ابتدائية يتقارب نحو نقطة ثابتة (أو لا — تحقق دائماً من حدود تغير الإشارة).

مثال محلول — تحديد التكرار (مُعدّل من Edexcel IAL WMA13 يونيو 2025 سؤال 7). النقطة الثابتة للدالة $y = e^{-x^2}\sin 3x$ القريبة من $x = 0.4$ تحقق $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(أ) مع $x_1 = 0.4$:

• تحقق من تقارب التكرار: $|x_3 - x_2|$ صغيرة والقيم تستقر نحو 0.43 ✓. (ب) أثبت أن الجذر هو 0.430 إلى 3 منازل عشرية: عرّف $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (أو تعبير المشتقة من المثال المحلول أعلاه):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ دالة متصلة، والتغير في الإشارة بين 0.4295 و 0.4305 يحصر جذرًا، لذا فإن الجذر يُقدَّر 0.430 إلى 3 من الدقة العشرية ✓.

• تبسيط الكسور الجبرية؛ التحليل قبل الاختصار؛ القسمة على قواسم خطية أو تربيعية القواسم.
• التعامل مع المجال، المدى، التركيب، والمقلوبات؛ التحقق من المقلوبات بتركيبها لتصبح $x$.
• ارسم وحل معادلات القيمة المطلقة بحالات مع التحقق؛ ادمج تحويلين على رسم بياني واحد الرسم البياني.
• استخدم التمام والجتا والتكامل ومُتطابقاتهما؛ تعرف مجالات تعريف الدوال العكسية المقيدة.
• حوّل $a\cos\theta + b\sin\theta$ إلى $R\cos(\theta \pm \alpha)$؛ استخرج القيم العظمى وحلها.
• أثبت متطابقات الزوايا المركبة والمضاعفة؛ استخدمها في كلا الاتجاهين.
• حل $e^{ax+b} = p$ و$\ln(ax+b) = q$؛ استنتج $y = ax^n$ و$y = kb^x$ من الرسوم البيانية اللوغاريتمية.
• اشتق باستخدام قواعد الضرب والقسمة والسلسلة، بما في ذلك $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$؛ استخدم $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• نمذجة النمو والتحلل؛ فسّر القيمة الابتدائية والأرضية الطويلة الأمد؛ ناقش الموديل.
• تكامل الأشكال القياسية؛ حدد $\int f'/f$ و$\int f'(f)^n$؛ استخدم المتطابقات على الدوال المثلثية المربعة الدوال المثلثية.
• حدد الجذور بتغير الإشارة معبيان الاستمرارية؛ نفذ وتحقق من طريقة التكرار.