M2 · Mechanics 2

الإحصاء 1 (S1، ورقة WST01/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 درجات، أول امتحان يونيو 2019) هو الشريك الإحصائي لـ M1 في الرياضيات AS الدولية؛ يُفترض knowledge P1 و P2. هذا كتاب الصيغ يحتوي على الجداول الإحصائية؛ الصيغ أدناه يجب أن تكون معلومة لك. يغطي هذا المرجع تمثيل البيانات وتلخيصها، والاحتمالات، والارتباط والانحدار، والمتغيرات العشوائية المتقطعة والتوزيع الطبيعي.

ما يجب معرفته لـ S1 (غير موجود في كتاب الصيغ):

النموذج الإحصائي هو وصف مبسط لحالة حقيقية يستخدم لتمثيل وتحليل وتنبؤ. أسباب استخدامه: فهو أسرع وأرخص من التجربة الحقيقية، يمكن تكراره وتطويره، ويكشف عن العلاقات. اعرف الأسباب القياسية — "للقيام بـ التنبؤات" وحدها لا تكفي للحصول على الدرجة.

في المدرج التكراري، المساحة هي التكرار: ارتفاع العمود هو كثافة التكرار $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, so unequal classes get unequal widths, and مقارنة الأعمدة هي مقارنة الكثافات. يحافظ الساق والورقة على القيم الأصلية (المقارنة بين مجموعتين متتاليتين). يُظهر مخطط الصندوق القيمة الدنيا، والربيع الأول، والوسيط، والربيع الثالث، والقيمة القصوى، مع تحديد القيم الشاذة كعبارات مستقلة تحت أي قاعدة تنص عليها السؤال.

مثال محلول — ارتفاعات الموزونات الكروية بنسبة (WST01 يونيو 2025 Q5a). سرعات 225 سيارة في فئات بأطوال 5، 5، 10، 15، 15 وتكرارات 54، 90، 60، 15، 6: الكثافات هي 10.8، 18، 6، 1، 0.4. العمود الأطول (25–30، كثافة 18) مرسوم بطول 10 سم، لذا فإن ثاني أطول (20–25، كثافة 10.8) يقيس $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ سم. احذر: أن العمود (30–40) له أيضاً كثافة 6 — فقط حجة النسبة تحقق الدرجات، وليس "60 ÷ 10".

لبيانات مجمعة، قدر الوسيط أو الربوع بالتداخل الخطي داخل الفئة الحاوية: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. مدى الربوع هو $Q_3 - Q_1$؛ التباين هو $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (أو $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). دمج المجموعات: إجمالي $\sum x = \sum n_i\bar x_i$، إجمالي $\sum x^2$ يُضاف مباشرة، ثم أعد تطبيق الصيغ. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. الترميز يعكس: إذا $w = 11.5d$، فإن $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ و$S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

مثال محلول — دمج صفين (WST01 يونيو 2025 Q2). الصف أ: $n = 24$، $\bar x = 47$، $\sum x^2 = 66876$؛ الصف ب: $n = 30$، $\bar x = b$، $\sum x^2 = 73826$؛ متوسط 54 الطلاب المدمجين هو 45. إذن $\sum x = 54(45) = 2430$، لذلك $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ و$b = 43.4$. الانحراف المعياري المشترك: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. إذا ارتفع كل علامة B بمقدار 2: فإن تباين B يبقى دون تغيير (لأن الإزاحة لا تغير التشتت)، بينما يزداد المتوسط المشترك، ويقل الانحراف المعياري المشترك — لأن B أصبحت أقرب إلى A، مما يجعل التشتت الكلي للمجموعة أقل.

مثال محلول — الربيعيات بالتدريج (WST01 يونيو 2025 Q5ج–د). مع التكرارات التراكمية 54، 144، 204، 219، 225: الوسيط هو القيمة 112.5، وتقع داخل 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ هي الرتبة 168.75، داخل 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$، لذا مع المعطى $Q_1 = 25.14$، $IQR = 8.985$.

قارن المسافات: $(Q_3 - Q_2)$ مقابل $(Q_2 - Q_1)$، أو المتوسط مقابل الوسيط. بالأعلى، $5.875 > 3.11$ ( والمتوسط $30.6 >$ والوسيط $28.25$)، لذا السرعات مائلة إيجابياً اعمل من فضاء العينة: فعد النتائج أفضل من حفظ القوانين. لأي حدثين،

اعمل من فضاء العينة: سرد النتائج أفضل من التقاط الصيغ. لأي حدثين، $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ و $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$؛ الاستقلال يعكس الشجرة: $P(B\mid A) = P(B)$. بدون إرجاع، تنخفض يعكس الشجرة: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. بدون إعادة، فإن كسرات الطبقة الثانية تنخفض بمقدار واحد في البسط والمقام.

مثال محلول — من فين إلى الشرطي (WST01 يونيو 2025 سؤال4). $P(C\cup D) = 0.59$، $P(D) = 0.45$، $P(C\mid D) = 0.2$. ثم $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ و $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — املأ مخطط فين وإجابات كلاهما ستظهر.

مثال محلول — شجرة مع عكس (WST01 يونيو 2025 Q7). الحقيبة: 3 بيضاء، 6 صفراء؛ تم سحب قطعتين بدون إرجاع. الشجرة: $\tfrac69, \tfrac39$، ثم $\tfrac58, \tfrac38$ بعد الصفراء و$\tfrac68, \tfrac28$ بعد البيضاء. أصفر واحد بالضبط: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. أبيض واحد على الأقل: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. بافتراض وجود أبيض واحد على الأقل، كلاهما أبيض: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

معامل الارتباط العيني $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ يقياس العلاقة الخطية ($-1 \le r \le 1$)؛ فسر في السياق. خط الانحدار بأقل مربعات خط الانحدار لـ $y$ على $x$ هو $y = a + bx$ مع $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ و $a = \bar y - b\bar x$ — يُستخدم فقط للتنبؤ بـ $y$ مِنْ $x$، وفي نطاق البيانات فقط (التنبؤ الخارجي هو الخطر المُميَّز). تبديل $x$ و$y$ يعطي خطًا مختلفًا.

مثال محلول — انحدار مشفر (WST01 يونيو 2025 Q3). مع $w = 11.5d$، $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ على 12 أيام: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$؛ الـ pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — أيام أكثر دفئًا، غاز أقل. الـ انحدار $w$ على $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$، $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$، لذا $w = -3.46t + 30.9$؛ قسمة عبره بـ 11.5 لـ $d$ على $t$: $d = -0.301t + 2.69$. عند $t = 2$: $d = 2.09$ م³، وكل زيادة درجة تعني حوالي $0.3$ م³ غاز أقل.

المتغير العشوائي المتقطع يأخذ قيمًا معزولةً احتمالاتها $p(x) = P(X = x)$ مجموعها 1؛ جدول دالة الاحتمال هو الكيان. التوقع $E(X) = \sum xp(x)$، $E(X^2) = \sum x^2p(x)$، التباين $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. الدالة التراكمية $F(x_0) = P(X \le x_0)$ تجمع الاحتمالات حتى $x_0$. التوزيع المنتظم المتقطع على $1, \dots, n$ له $E(X) = \tfrac{n+1}2$ و$\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

مثال محلول — الروتين الكامل (WST01 يونيو 2025 Q1). X باحتمالات 0.3، 0.2، 0.35، 0.15 على 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. المتباينة $3X - 3 < X + 2$ تحل إلى $X < 2.5$، إذن $P = 0.5$ — أوجد قيمة $X$ أولاً، ثم أضف. $E(X) = 2.35$، $E(X^2) = 6.65$، $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$؛ و $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ بقاعدة الترميز.

لتوزيع الطبيعي $X\sim N(\mu, \sigma^2)$، قوّم: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ ثم اقرأ الجدول. التماثل يقوم بنصف العمل: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ و $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. المسائل العكسية تعطي $z$ من الجدول، ثم $x = \mu + z\sigma$؛ شرطان على نفس $k$ يعطيان معادلات متزامنة.

مثال محلول — أكياس الدقيق (WST01 يونيو 2025 Q6). الأكياس الصغيرة $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. من 4 كيس، بالضبط 2 فوق 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Large bags $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ with 85th percentile 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$، إذن $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. إذا $P(X > k) = P(Y < 2k)$، إذن $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$، إذن $14k - 7028 = 3072 - 6k$، $k = 505$، و$p = P(Z > 1) = 0.159$.

• اذكر عدداً من الأسباب لاستخدام النماذج الإحصائية؛ احتفظ بعبارة "رخيصة وسريعة" بالإضافة إلى سبب آخر.
• احسب كثافات التكرار للفئات غير المتساوية؛ قارن أعمدة المدرج التكراري بالنسبة المئوية؛ قم بالتداخل لحساب الربيع داخل الفئة الحاوية؛ حدد القيم الشاذة وفقاً للقاعدة المحددة.
• اجمع مجموعات البيانات عبر $\sum x$ و$\sum x^2$؛ عكس الترميز في إحصائيات $S$؛ تنبأ بتأثير الإزاحة أو القياس على المتوسط والتباين والانحراف المعياري.
• حل مسائل الاحتمالات باستخدام مخططات فون ومخططات الأشجار، مع الاستبدال وبدونه؛ عكس الشروط الشرطية باستخدام $P(A\cap B)/P(A)$.
• احسب $r$ من إحصائيات $S$ وفسرها؛ قم بملاءمة $y = a + bx$؛ تنبأ فقط ضمن النطاق؛ أعد البيانات المرمزة إلى المتغير الأصلي.
• نفذ برنامج متغير عشوائي متقطع (DRV): مجموع الاحتمالات يساوي 1، حل المتباينات أولاً لـ $X$، ثم $E(X)$، ثم $E(X^2)$، والتباين، والترميز الخطي؛ استشهد بنتائج التوزيع المنتظم.
• قم بالتقييس في كلا الاتجاهين لمسائل التوزيع الطبيعي؛ استخدم التناظر؛ أنهِ المسائل ذات الشرطين المعادلتين المتزامنتين.