S1 · Statistics 1

الميكانيكا 2 (M2، ورقة WME02/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 علامات، أول تقييم يونيو 2020) هو وحدة IAL التطبيقية التي تستند إلى M1: يُفترض أن P1–P4 وM1 معروفتان. خذ $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ إلا إذا نصت نموذج السؤال على غير ذلك (استخدم نموذج يونيو 2025 واحد 10). هذه المرجعية يغطي ديناميات التسارع المتغير، ومراكز الكتلة، والشغل والطاقة والقدرة، والتصادمات مع معامل الاستعادة، واستاتيكا الأجسام الصلبة.

ما يجب معرفته لـ M2 (غير موجود في الكتيب):

عندما يكون التسارع دالة للزمن، أعد التكامل: $v = \int a\,dt$ و$s = \int v\,dt$، مع ثبات الثوابت بفعل ظروف البداية ("ساكن عند O" يلغي الاثنين). للمسافة الكلية عندما يعكس الجسيم اتجاهه، أوجد زمن التوقف ($v = 0$) وأضف كلا المسارين. متجهات الموضع تُشتق مركباً بمركب: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$، $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

مثال محلول — تكامل مع مصيدة (WME02 يونيو 2025 Q1). مع $a = k(3 - t^2)$ ساكن من O و$v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (صفر ثابت بسبب السكون)، و$k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ يُعطي $k = 4$. ثم $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. بالنسبة للمسافة الكلية العودة إلى O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ عند $t = 3$، $s(3) = 27$، لذا يقطع الجسيم $27 + 27 = 54$ م — المسار العود هو 27 ثانية، وليس طرحاً.

مثال محلول — سرعة متجهية ثم دفعة (WME02 يونيو 2025 سؤال2). مع $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (أمتار، $t$ ثوانٍ)، كتلة 3 كجم: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$، لذا عند $t = 4$ تكون السرعة $\mathbf i - 3\mathbf j$. تعطي دافع $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ نيوتن·ثانية $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$، لذا $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$ وتكون السرعة $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — قم بالاشتقاق أولاً، وطبّق الدافع عند اللحظة المحددة ثانياً.

بالنسبة للجسيمات: مركز الثقل هو $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$. للأجسام المنتظمة استخدم طريقة الجدول — قسّمها إلى أجزاء يكون لديك مركز ثقل معروف لها (الدليل: سلك نصف دائري $\tfrac{2r}\pi$، غشاء نصف دائري $\tfrac{4r}{3\pi}$، قطاع، قوس)، ووزن كل جزء بالكتلة (للغشاء: المساحة؛ للسلك: الطول)، وأخذ العزوم حول خط مناسب. الأجزاء على جانبي مختلفين من الخط تحمل إشارات متقابلة. الأغشية المركبة تطرح الثقوب كمساحات سالبة.

مثال محلول — إطار سلكي على شكل S (WME02 يونيو 2025 سؤال3).** قوسان نصف دائريان من السلك، AB نصف قطره $2a$ وCD نصف قطره $a$، كلاهما مركزهما O على جانبي مختلفين من السلك المستقيم ACDB ($AC = DB = a$). جدول (حول خط AB):

الطول الكلي $(3\pi + 2)a$؛ العزوم $6a^2$؛ لذا فإن مركز الثقل هو $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ من AB. معلق من A مع E على القوس حيث $\angle AOE = 90°$: خط التماثل OE يمر عبر G، لذا $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$، وبما أن $OA = OE$ يُكوّن $\angle OAE = 45°$، فإن الزاوية $\theta$ لـ AE تحت العمودي تحقق $\theta = 45° - \angle OAG$، مما يعطي $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

يتدلى الجسم المعلق بحرية بحيث يكون مركز كتلته عمودياً أسفل نقطة التعليق. الزاوية المطلوبة تكون عادة بين وتر مرسوم للجسم والعمودي: أوجد الزاوية عند نقطة التعليق باستخدام حساب المثلثات الزاوية القائمة مع مسافة مركز الكتلة، ثم عدّلها بأي زاوية هندسية (المثلثات المتساوية الساقين هي المصدر القياسي لـ 45°، 60°).

الشغل الذي تبذله قوة ثابتة: $Fs$ في اتجاه الحركة (سالب ضدها); الجاذبية تقوم $\pm mgh$. مبدأ الشغل والطاقة: إجمالي الشغل = التغير في الطاقة الحركية. حفظ الطاقة الميكانيكية: الطاقة تُحفظ عندما تقوم بها الجاذبية فقط؛ يدخل الاحتكاك كعمل $-Rs$. القدرة $P = Fv$: عند سرعة ثابتة، تتوازن القوة الدافعة مع مقاومة $v = \tfrac PF$؛ وعند سرعة معينة، تزياد القوة يُسرّع الجسم.

مثال محلول — سيارة على منحدر (WME02 يونيو 2025 سؤال4). سيارة كتلتها 750 kg تصعد منحدر بـ $\sin\alpha = \tfrac17$، مقاومة 200 N، المحرك يعمل بـ 20 kW. سرعة ثابتة: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$، لذا $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. عند $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$، لذا $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. انطفأ المحرك عند A عند $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: مبدأ الشغل والطاقة يعطي $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$، أي $37500 = 1250d$ و$d = 30$ m — المقاومة تعمل على طول المسافة $d$ للمِنْحَر، والجاذبية على الارتفاع $d\sin\alpha$.

مثال محلول — مقذوف يُغلق بالطاقة (WME02 يونيو 2025 سؤال7). المقذوف على مسار مكافئ يغادر O عند $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) هو 11 م ارتفاعًا عندما تكون مركبته العمودية $V$ ومركبته الأفقية $2V$. الطاقة: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$، لذا $V = 6$ (مركبات 6 و12). يلتقي بمستوى بزاوية $60°$ مع الأفقي عموديًا، لذا تكون السرعة في اتجاه $30°$ تحت الأفقي: السرعة $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$، والطاقة من O تعطي $200 = \tfrac12(192) + 10H$، لذا $H = 10.4 \to 10$ م (2 أرقام معنوية).

قانون نيوتن التجريبي، معامل الارتداد: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (سرعة الانفصال على سرعة الاقتراب, $0 \le e \le 1$؛ $e = 1$ مرنة، $e = 0$ يلتصقان). مع حفظ الزخم، معادلتان تحلان أي تصادم مباشر. فقدان الطاقة الحركية يحلل دائمًا مع $(1 - e^2)$: الفقدان $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — والدفع المؤثر على أي جسم يأتي من تغير زخمه الخاص. ارتداد من جدار ثابت يضرب السرعة بـ $e$ تمامًا.

مثال محلول — القصة الكاملة للتصادم (WME02 يونيو 2025 سؤال5). P (كتلة $2m$، سرعة $u$) تصطدم بـ Q (كتلة $m$) ساكنة، معامل الارتداد $e$. الزخم: $2u = 2v_P + v_Q$؛ الارتداد: $eu = v_Q - v_P$. بالحل: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$، $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. الطاقة الحركية afterward هي $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$، لذا الفقدان هو $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — المعامل $k = \tfrac13$. إذا كان الدفع المؤثر على Q هو $\tfrac89mu$: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ يعطي $e = \tfrac13$. تارتد Q من جدار بمعامل ارتداد $f$ لتصل إلى سرعة P $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$، إذن $f = \tfrac58$.

سلاسل الأجسام الثلاثة والجدران هي مجرد تسجيل للبيانات: احل التصادم الأول بالكامل، وحمل السرعات الباقية إلى الاصطدام التالي، وقم بمساواة الكميات التي تربط بينها السؤال فقط ("نفس السرعة"، "في السكون"). تعكس ارتدادات الجدار الاتجاه وتضرب السرعة في $e$؛ احتفظ بـ مخطط مُعلَّم بإشارات لكل مرحلة.

الجسم الصلب في حالة توازن يحتاج إلى محصلة قوى تساوي صفر AND محصلة عزم عزم تساوي صفر حول أي نقطة. اختر نقطة الدوران للتخلص من المجهولات (رد فعل واحد مجهول للقضيب الأملس هو السبب في أن عزوم حول نقطة تلامس الأرض مربحة). افكك أفقياً وعمودياً لتلامس مركبات؛ على أرض خشنة في الاتزان الحرج، الاحتكاك $F = \mu R$ مع $F$ أفقي.

مثال محلول — قضيب يستند إلى سكة ناعمة (WME02 يونيو 2025 سؤال6). قضيب منتظم AB (كتلة $m$، طول $2a$) مستقر بحيث يكون A على أرض خشنه تستند إلى سكة ناعمة عند C، $AC = 1.5a$، ميل $\theta$، رد الفعل العمودي $S$ للسكة، عموديًا على القضيب. عزم حول A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$، لذا $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. عموديًا: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. الاتزان الحرج مع $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$، لذا $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. بالقسمة على $\cos^2\theta$ واستخدام $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• قم بتكامل $a(t)$ من $v$ إلى $s$ باستخدام الثوابت المستخرجة من الشروط الابتدائية؛ احسب المسافة الكلية عبر نقطة الانعطاف؛ اشتق $\mathbf r(t)$ للحصول على متجه السرعة وطبّق الدفعات كـ $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• قم بإنشاء جداول لمركز الكتلة (بتحسين الكتلة/المساحة/الطول) مع مسافات ذات إشارات للأجزاء في الجانب المعاكس والثقوب السالبة؛ استخدم نتائج الأسلاك والأغشية المصمتة من الدليل؛ أوجد زوايا التعليق باستخدام حساب المثلثات عند نقطة التعليق مضافاً إليها أي زاوية للمثلث متساوي الساقين.
• طبّق مبدأ الشغل والطاقة والحفاظ على الطاقة الميكانيكية، مع حساب شغل مقاومة الحركة على طول المنحدرة و$P = Fv$ في كلا الاتجاهين.
• حل التصادمات المباشرة باستخدام الزخم ومعامل الاسترداد؛ حدد سرعتي الجسمين؛ احسب فقدان الطاقة $(1-e^2)$ والدفعات المؤثرة على كل جسم؛ اربط ارتدادات الجدران والتصادمات الثانية بمخطط ذي إشارات.
• للأجسام الصلبة: احسب العزوم حول محور الدوران المجهول الذي يُلغيه، وحلل المكونات، وحوّل مسائل الاتزان الحدي إلى معادلة بدلالة $\tan\theta$.