Fixed-point iteration
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | تكرار |
ما مدى موثوقية التقريب؟
- المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
- تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.
اختر البنية الرياضية
- أعد صياغة المعادلة على صورة x=g(x)، واختر قيمة ابتدائية وأعد التكرار. يجب أن يحقق الحد الفاصل L=L=g(L). بالقرب من نقطة ثابتة، يوفر |g'(L)|<1 فحص تقارب محلي؛ ويمكن لتظليل الإشارة التحقق من الجذر المقرب المبلغ عنه.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
f(x)=1/x changes sign between -1 and 1. Why does this NOT prove a root in [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The intermediate value reasoning requires continuity on the whole interval. At the asymptote x=0 the function jumps from negative to positive with no root existing.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ x²-x-2=0، اختر x_next=√(2+x)، بدءًا من x₀=1. بعد ذلك x₁=√3≈1.73205، وx₂≈1.93185 والنقطة الثابتة الموجبة هي 2. عند 2، g'=1/(2√4)=1/4، لذا تتقلص الأخطاء المحلية الصغيرة. تسعى إعادة الصياورة بالجذر التربيعي إلى الجذر الموجب؛ ولا تعطي الجذر السالب -1.
Fixed-point iteration
Rearrange the equation as x=g(x), choose a starting value and iterate
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find x₁ from x next=√(2+x), x₀=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitute x₀=1: x₁=√(2+1)=√3.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- يمكن أن يكون لإعادة الصياغة المختلفة سلوك تقارب مختلف. تحقق من التكرارات والمجال والمعادلة الأصلية؛ لا يمكن لتحديث الجذر التربيعي الوصول إلى نقطة ثابتة سالبة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل إعادة صياغة لمعادلة تتقارب نحو نفس الجذر من كل قيمة ابتدائية. هذه العبارة خاطئة. اشرح التعريف أو الافتراض الذي تنتهكه.
Find the positive fixed point.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At a positive fixed point L=√(2+L), so L²-L-2=0 and L=2.
Every rearrangement of an equation converges to the same root from every starting value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Different rearrangements can have different convergence behaviour. Check the iterates, domain and original equation; a square-root update cannot reach a negative fixed point.
تفسير موقف جديد
- يستخدم P3 إعادة صياغة المعادلات والتكرار العددي. يستبعد هذا الدرس طريقة نيوتن والتكامل العددي، التي تتبع وحدات أخرى.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
For x=2, evaluate x²-x-2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The residual is 2²-2-2=0.
Match each numerical method to its update or rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each method has its own conditions: bisection needs a continuous sign change, Newton needs a nonzero derivative, and the trapezium rule needs equal strip widths.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- رياضيات edexcel IAL؛ الوحدة الرسمية P3. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ ولا يعتبر شرطًا إضافيًا للدفع.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.