R · Forces and Newton's laws

AQA A-level Mathematics 7357، القسم R (القوى وقوانين نيوتن)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

الشروط السابقة: المتجهات من القسم J والحركة من القسم Q.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• يشعر راكب المصعد بزيادة الوزن بينما يتسارع المصعد للأعلى، وبانخفاض الوزن بينما يبطئ — ومع ذلك فإن كتلة الراكب لا تتغير أبدًا. ما الذي يتغير فعليًا؟
• قبل القراءة، اذكر القوى المؤثرة على الراكب، والقوة التي تقيسها ميزان الأرضية حقًا.

الطريقة

• القوة هي دفع أو سحب يغير الحركة، بالنيوتن. قانون نيوتن الأول: مع صفر محصلة القوى، تظل السرعة ثابتة — إما السكون، أو خط مستقيم بسرعة منتظمة. قانون نيوتن الثاني: محصلة القوى تساوي الكتلة × التسارع، F = ma، لذا يجب جمع القوى كمتجهات قَبْل استخدام المعادلة.
• قانون نيوتن الثالث: القوى المتزاوجة متساوية ومعاكسة لكنها تؤثر على أجسام مختلفة، لذا فهي لا تلغي بعضها البعض على رسم جسم حر واحد. على منحدر، يُحلل الوزن mg إلى mg sin θ موازٍ للمسطح وmg cos θ عموديًا عليه؛ رد الفعل يوازن الجزء العمودي فقط، واحتكاك يقاوم الانزلاق حتى حد أقصى قدره μR.
• قوة: دفع أو سحب يغير الحركة، بالنيوتن؛ محصلة القوى: مجموع المتجهات الوحيد لكل القوى المؤثرة على جسم، وتساوي ma؛ احتكاك: قوة التلامس المقاومة للانزلاق النسبي، ولا تتجاوز μR.

التحقق من عملك

• ارسم رسم الجسم الحر قبل أي حساب جبري: سهم واحد لكل قوة، يلمس الجسم، ولا شيء آخر. إذا لم يستطع السهم تحديد مصدره (وزن، رد فعل، شد، احتكاك، دفع)، فهو لا ينتمي هنا.
• قراءة ميزان المصعد تمثل رد الفعل R، وليست الوزن: بالتسارع للأعلى، R − mg = ma يعطي R = m(g + a) > mg — شعور "الثقل" الأكبر هو رد فعل أكبر، مما يطابق الملاحظة.

حالة محلولة

• Known: a 3 kg block sits on a 30° slope held by friction, g = 9.8 m/s². Along the plane: mg sin θ = F, so F = 3 × 9.8 × 0.5 = 14.7 N. Perpendicular: R = mg cos θ = 3 × 9.8 × (√3/2) ≈ 25.5 N. The block needs a friction coefficient of at least F/R = tan 30° ≈ 0.577 to stay put.

مثال:

راكب وزنه 60 kg يقف في مصعد يتسارع للأعلى بمقدار 1.2 m/s². أوجد قراءة الميزان، باستخدام نفس التسلسل: مخطط القوى الحرة ← R − mg = ma ← التعويض. (الإجابة: R = 60 × (9.8 + 1.2) = 660 N.)

حدود ومخاطر

• يجب أن يحدد كل خط F = ma اتجاهه ويكون متسقاً مع إشارات الرسم؛ إذا كان محصلة القوى في الاتجاه الخطأ، فإن اتجاه التسارع ينقلب. تحقق من المقادير: إذا كانت قوة رد الفعل أقل من الصفر، فهذا يعني أن الجسم قد انفصل عن السطح — أي أن النموذج وليس الحساب هو الذي تعطل.

تحذير:

قوة رد الفعل العمودية تساوي دائماً الوزن. هذا الادعاء غير صحيح: على سطح مائل تكون R = mg cos θ < mg، وفي مصعد متسارع تكون R = m(g + a). لا تتساوى قوة رد الفعل مع الوزن إلا على سطح أفقي بدون تسارع عمودي — بافتراض ذلك في كل مكان يكسر صامتاً كل حسابات الأسطح المائلة والمصاعد.

المفتاح:

القوانين والقوى وقوانين نيوتن: ارسم جسماً حراً أولاً؛ محصلة جميع القوى تساوي ma؛ أزواج التفاعل تؤثر على أجسام مختلفة؛ على سطح مائل حلل الوزن إلى مركباته mg sin θ وmg cos θ، وقوة رد الفعل ليست بالضرورة مساوية للوزن.