M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357، قسم M (الاحتمالات)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المتطلبات السابقة: أشجار الاحتمالات ومخططات فين في GCSE.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• يتم سحب قطعتين من كيس يحتوي على 3 حمراء و2 زرقاء، واحدة تلو الأخرى. احتمالات السحب الثاني مختلفة عن الأولى — هل هذا خطأ أم هو النقطة المقصودة؟
• قبل القراءة، قل ما الذي يتغير في "بدون إرجاع"، وكيف يظهر ذلك في الشجرة.

الطريقة

• اضرب على طول فرع شجرة وأضف الفروع المتقطعة لتكوين نتيجة واحدة. الاحتمال الشرطي يقيد فضاء العينة: P(A بشرط B) = P(A ∩ B)/P(B) عندما يكون P(B) > 0. بدون إرجاع، يتغير التركيب للسحب التالي.
• منفصلة تعني عدم وجود تداخل؛ مستقلة تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الآخر. حدثان منفصلان لهما احتمال موجب لا يمكن أن يكونا مستقلين أبداً: إذا وقع A، ينخفض احتمال B إلى 0.
• الاحتمال الشرطي: احتمال وقوع حدث ضمن المجموعة المحددة بالمعلومات المعطاة؛ منفصلة: أحداث لا يمكن أن تقع معاً؛ مستقلة: أحداث لا تتغير فيها احتمالات أحدهما بمعرفة الآخر\u2019.

التحقق من عملك

• املأ مخطط فين من التداخل للخارج: مع 18 ركوب، 12 سباحة و7 القيام بال الاثنين، المناطق الوحيدة المتبقية هي 11 و5، لذا فإن على الأقل واحد هو 23 ولا شيء منهما هو 7 من بين 30. إضافة 18 + 12 تحسب مرتين منطقة 7.
• يستخدم الاحتمال الشرطي مجموع المجموعة المشروطة كمقام له: P(سباحة بشرط ركوب) = 7/18، وليس 7/30. عكس الشرط عادة ما يغير القيمة.

حالة محلولة

• معلوم: 3 حمراء و2 زرقاء، سحبان بدون إرجاع. P(حمراوان) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(واحد من كل نوع) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. تتضاعف الفروع وتجمع الطرق المتقطعة.

مثال:

معطى P(A ∩ B) = 0.12 و P(B) = 0.3، أوجد P(A بشرط B) باستخدام نفس التسلسل: حدد المجموعة المشروطة → اقسم → فسّر. (الإجابة: P(A بشرط B) = 0.12/0.3 = 0.4. المقام هو احتمال B، وليس الفضاء الكامل.)

حدود ومخاطر

• الاستقلالية والانفصال تجيبان عن أسئلة مختلفة: الأحداث المنفصلة ذات الاحتمال الموجب تكون دائماً معتمدة. الأعداد المتوقعة (np) هي متوسطات طويلة المدى، وليست ضمانات لجولة واحدة.

تحذير:

الأحداث المتشككة مع احتمالات موجبة يجب أن تكون مستقلة. هذا الادعاء خاطئ: إذا كان A و B لا يمكن أن يحدثا معاً، فإن P(B given A) = 0 ≠ P(B) — معرفة وقوع A يغير احتمال B تماماً، وهو عكس الاستقلال.

المفتاح:

الاحتمالات: اضرب على طول الفروع، واجمع الطرق المتقطعة؛ الاحتمال الشرطي يقسم على المجموعة المشروطة؛ بدون إرجاع تتطور الاحتمالات؛ منفصلة ذات احتمال موجب تعني اعتماد، ليست مستقلة أبداً.