الطاقة والزخم للأنظمة الدوارة

الهدف التعليمي 6.1.A: وصف الطاقة الحركية الدورانية لنظام صبل بدلالة القصور الذاتي الدوراني والسرعة الزاوية لذلك النظام الصلب.

• 6.1.A.1 ترتبط الطاقة الحركية الدورانية لجسم أو نظام صلب بالقصور الذاتي الدوراني والسرعة الزاوية للنظام الصلب وتُعطى بالمعادلة $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$.
  • المعادلة: $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
  • 6.1.A.1.i يمكن استخدام القصور الذاتي الدوراني لجسم حول محور ثابت لإظهار أن الطاقة الحركية الدورانية لذلك الجسم تكافئ طاقتها الحركية الانتقالية، وهي طاقتها الحركية الكلية.
  • 6.1.A.1.ii الطاقة الحركية الكلية لنظام صبل هي مجموع طاقتها الحركية الدورانية الناتجة عن دورانها حول مركز كتلتها والطاقة الحركية الانتقالية الناتجة عن الحركة الخطية لمركز كتلتها.
• 6.1.A.2 يمكن أن يمتلك النظام الصلب طاقة حركية دورانية بينما يكون مركز كتلته ساكناً بسبب امتلاك النقاط الفردية داخل النظام الصلب سرعة خطية وبالتالي طاقة حركية.
• 6.1.A.3 الطاقة الحركية الدورانية كمية قياسية.

هدف التعلم 6.2.A: وصف الشغل المبذول على نظام صلب بواسطة عزم معطى أو مجموعة من العزوم.

• 6.2.A.1 يمكن للعزم نقل الطاقة إلى جسم أو نظام صلب أو إخراجها إذا تم تطبيق العزم خلال إزاحة زاوية.
• 6.2.A.2 يرتبط مقدار الشغل المبذول على نظام صلب بعزم معين بمقدار ذلك العزم والإزاحة الزاوية التي يدور خلالها النظام الصب خلال الفترة التي يُطبق فيها العزم.
  • المعادلة: $W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$
• 6.2.A.3 يمكن إيجاد الشغل المبذول على نظام صلب بواسطة عزم قوة معين من خلال مساحة تحت منحنى رسم بياني لعزم القوة بدلالة الموضع الزاوي.

هدف التعلم 6.3.A: وصف الزخم الزاوي لجسم أو نظام صلب.

• 6.3.A.1 يمكن وصف مقدار الزخم الزاوي لنظام صلب حول محور محدد بالمعادلة $L = I\omega$.
  • المعادلة: $L = I\omega$
• 6.3.A.2 الزخم الزاوي لجسم حول نقطة معينة هو $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
  • المعادلة: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
  • 6.3.A.2.i يؤثر اختيار المحور الذي يُعتبر الجسم يدور حوله على تحديد الزخم الزاوي لذلك الجسم.
  • 6.3.A.2.ii يعتمد الزخم الزاوي المقاس لجسم يتحرك في خط مستقيم على المسافة بين نقطة المرجع والجسم، وكتلة الجسم، وسرعة الجسم، والزاوية بين المسافة الشعاعية وسرعة الجسم.

هدف التعلم 6.3.B: وصف الدفع الزاوي المُقدَّم لجسم أو نظام صلب بواسطة عزم.

• 6.3.B.1 يُعرَّف الدفع الزاوي بأنه حاصل ضرب العزم المؤثر على جسم أو نظام صلب في فترة زمنية يتم فيها تطبيق العزم.
  • المعادلة: $\text{angular impulse} = \displaystyle\int \tau \, dt$
• 6.3.B.2 للزخم القسري الزاوي نفس اتجاه عزم القوة الذي أُتيح به.
• 6.3.B.3 يمكن إيجاد الدفع الزاوي المُقدَّم لجسم أو نظام صلب بواسطة عزم من خلال المساحة تحت منحنى رسم بياني للعزم بدلالة الزمن.

هدف التعلم 6.3.C: ربط التغير في الزخم الزاوي لجسم أو نظام صلب بالدفع الزاوي المُقدَّم لذلك الجسم أو النظام الصب.

• 6.3.C.1 يمكن وصف مقدار التغير في الزخم الزاوي بمقارنة مقادير الزخم النهائي والأولي للجسم أو النظام الصلب.
  • المعادلة: $\Delta L = L - L_0$
• 6.3.C.2 يوجد شكل دوار لقانون الدفع–الزخم يربط بين الدفع الزاوي المُقدَّم لجسم أو نظام صلب والتغير في الزخم الزاوي لذلك الجسم أو النظام الصب.
  • 6.3.C.2.i يساوي الدفع الزاوي المؤثر على جسم أو نظام صلب التغير في الزخم الزاوي لذلك الجسم أو النظام الصب.
    • معادلة: $\Delta L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \tau \, dt$
  • 6.3.C.2.ii الصيغة الدورانية لمبرهنة الزخم القسري–الزخم هي نتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثاني للحركة في الحالات التي يكون فيها العزم القصور الذاتي ثابتاً.
    • معادلة: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{dL}{dt} = I\dfrac{d\omega}{dt} = I\alpha$
• 6.3.C.3 عزم القوة المحصل المؤثر على جسم أو نظام صلب يساوي ميل الرسم البياني للزخم الزاوي لجسم بدلالة الزمن.
• 6.3.C.4 الزخم القسري الزاوي المُقدَّم لجسم أو نظام صلب يساوي مساحة تحت منحنى رسم بياني لعزم القوة الخارجي المحصل المؤثر على جسم بدلالة الزمن.

هدف التعلم 6.4.A: وصف سلوك نظام باستخدام مبدأ حفظ الزخم الزاوي.

• 6.4.A.1 الزخم الزاوي الكلي لنظام حول محور دوران هو مجموع الزخم الزاوي لمكونات ذلك النظام حول محور الدوران ذلك.
• 6.4.A.2 أي تغيير في الزخم الزاوي للنظام يجب أن يكون بسبب تفاعل بين النظام ومحيطه.
  • 6.4.A.2.i الدفع الزاوي الذي يبذله جسم أو نظام على جسم أو نظام آخر يساوي في المقدار وعكس في الاتجاه الدفع الزاوي الذي يبذله الجسم أو النظام الثاني على الأول. وهذا نتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثالث.
  • 6.4.A.2.ii يمكن اختيار نظام بحيث يكون الزخم الزاوي الكلي لذلك النظام ثابتاً.
  • 6.4.A.2.iii قد يتغير السرعة الزاوية لنظام غير صلب دون أن يتغير عزم الزاوية للنظام إذا تغير شكل النظام عن طريق تحريك كتل أقرب إلى أو أبعد من محور الدوران.
  • 6.4.A.2.iv إذا تغير الزخم الزاوي الكلي لنظام،那么这个变化将等于施加于该系统的角冲量。

هدف التعلم 6.4.B: وصف كيفية تحديد اختيار النظام مما إذا كان الزخم الزاوي لذلك النظام سيتغير.

• 6.4.B.1 يُحفظ الزخم الزاوي في جميع التفاعلات.
• 6.4.B.2 إذا كان العزم الخارجي الصافي المؤثر على جسم أو نظام صلب مختار يساوي صفراً، فإن الزخم الزاوي الكلي لذلك النظام يكون ثابتاً.
• 6.4.B.3 إذا كان العزم الخارجي الصافي المؤثر على جسم أو نظام صلب مختار لا يساوي صفراً، فإن الزخم الزاوي ينتقل بين النظام والمحيط.

هدف التعلم 6.5.A: وصف الطاقة الحركية لنظام يمتلك حركة انتقالية ودوارة.

• 6.5.A.1 الطاقة الحركية الكلية لنظام هي مجموع طاقته الحركية الانتقالية ودوره.
  • المعادلة: $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

هدف التعلم 6.5.B: وصف حركة نظام يتم تدحرجها دون انزلاق.

• 6.5.B.1 أثناء التدحرج دون انزلاق، يرتبط الحركة الانتقالية لمركز كتلة النظام بالحركة الدوورية للنظام نفسه بالمعادلات التالية:
  • المعادلة: $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
  • المعادلة: $v_{\text{cm}} = r\omega$
  • المعادلة: $a_{\text{cm}} = r\alpha$
• 6.5.B.2 بالنسبة للحالات المثالية، يعني الدوران دون انزلاق أن قوة الاحتكاك لا تبذيل أي طاقة من نظام الدوران.

الهدف التعليمي 6.5.C: وصف حركة نظام يدور مع انزلاق.

• 6.5.C.1 عند الانزلاق، لا يمكن ربط حركة مركز كتلة النظام والحركة الدوارية للنظام مباشرةً.
• 6.5.C.2 عندما يدور نظام وينزلق بالنسبة لسطح آخر، يتحرك نقطة تطبيق قوة الاحتكاك الحركي المؤثرة على النظام بالنسبة للسطح، لذا فإن قوة الاحتكاك الحركي ستبذيل طاقة من النظام.

عبارة حدودية: الاحتكاك في التدحرج خارج نطاق AP Physics C: Mechanics.

الهدف التعليمي 6.6.A: صف حركات نظام يتكون من جسمين أو نظامين يتفاعلان فقط عبر القوى الجاذبة.

• 6.6.A.1 في نظام يتكون فقط من جسم مركزي ضخم وقمر صناعي يدور كتلته مهملة مقارنة بكتلة الجسم المركزي، تكون حركة الجسم المركزي نفسه مهملة.
• 6.6.A.2 تُقيد حركة الأقمار الصناعية في مداراتها بقوانين الحفظ.
  • 6.6.A.2.i في المدارات الدائرية، تكون الطاقة الميكاني الكلية للنظام، وطاقة الجاذبية الكامنة للنظام، وعزم الزاوية للقمر الصناعي وطاقة حركته ثابتة.
  • 6.6.A.2.ii في المدارات الإهليلجية، تكون الطاقة الميكاني الكلية للنظام وعزم الزاوية للقمر الصناعي ثابتين، لكن طاقة الجاذبية الكامنة للنظام وطاقة حركته يمكن أن تتغير كل منهما.
  • 6.6.A.2.iii تُعرف طاقة الجاذبية الكامنة لنظام يتكون من قمر صناعي وجسم مركزي ضخم بأنها صفر عندما يكون القمر الصناعي على مسافة لا نهائية عن الجسم المركزي.
    • معادلة: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
• 6.6.A.3 يمكن كتابة الطاقة الكلية لنظام يتكون من قمر صناعي يدور حول جسم مركزي في مسار دائري بدلالة الطاقة الكامنة الجاذبة لذلك النظام أو الطاقة الحركية للقمر الصناعي.
  • المعادلة: $K = -\dfrac{1}{2}U$
  • المعادلة: $E_{total} = \dfrac{1}{2}U = -\dfrac{GMm}{2r}$
• 6.6.A.4 سرعة الهروب للقمر الصناعي هي السرعة التي تكون عندها الطاقة الميكانيكية لنظام القمر الصناعي-الجسم المركزي مساوية للصفر.
  • 6.6.A.4.i عندما يكون الجسم الوحيد المؤثر على قمر صناعي هو الجاذبية من جسم مركزي، فإن القمر الصناعي الذي يصل إلى سرعة الهروب سيبتعد عن الجسم المركزي حتى تصل سرعته إلى الصفر على مسافة لا نهائية من الجسم المركزي.
  • 6.6.A.4.ii يمكن اشتقاق سرعة الهروب لقمر صناعي من جسم مركزي كتلته $M$ باستخدام قوانين حفظ الطاقة.
    • معادلة: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$