النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- تحديد وتفسير الصيغ القياسية للدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والهذلول
- استخدام علاقات زاوية الدائرة والمماس والقاطع تحت شروطها
- حساب المساحة أو مساحة السطح أو الحجم مع البعد والوحدات الصحيحة
المتطلبات السابقة: إكمال المربع؛ نصف المحاور المربعة؛ هندسة الدائرة؛ وحدات الحجم.
شرح واختيار الطريقة
الدائرة صيغتها (x-h)²+(y-k)²=r². يستخدم القطع الناقص حدين مربعيين موجبين مقسومين على نصف محوريه المربعين؛ الهذلول يحتوي على فرق بين هذين الحدين. القطع المكافئ له إحداثي مربع واحد في صيغته القياسية المحاذاة. في y²=4px، الرأس هو نقطة الأصل والمركز (p,0)؛ اقرأ الإشارة والمحور قبل تفسير الاتجاه.
بالنسبة لـ (x-1)²/9+(y+2)²/4=1، المركز هو (1,-2)، نصف المحور الأفقي 3 ونصف المحور العمودي 2. أكمل المربع عندما يكون المركز مخفياً في دائرة موسعة. تميز معاملات المعادلة وإشاراتها أنواع المخروطيات؛ الرسم التقريبي لا يوفر المعلومات الجبرية الناقصة.
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس. الزاوية المحاطة تساوي نصف الزاوية المركزية التي تقابل نفس القوس. بالنسبة لقاطعين من نفس النقطة الخارجية، حاصل ضرب الجزء الخارجي في طول القاطع الكامل متساوي لكلا القاطعين؛ ومربع طول المماس يساوي هذا المنتج. الطول الكامل يشمل الجزء الخارجي، لذا لا تضرب الجزء الخارجي والداخلي وحدهما.
افصل بين مقاييس الحدود ومقاييس المساحة. محيط الدائرة هو 2πr ومساحتها πr²؛ حجم الأسطوانة هو πr²h؛ حجم المخروط هو πr²h/3؛ حجم الكرة هو 4πr³/3. مساحة السطح تجمع الأوجه المكشوفة. إذا كانت جميع الأطوال المقابلة تتغير بمقدار k، فإن المساحة تتغير بمقدار k² والحجم بمقدار k³؛ تغيير بُعد واحد فقط يتطلب الصيغة الأصلية.
قطع بيضاوي $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ له مركز $(h,k)$. نصفا المحور هما جذران تربيعيان للمقامات الموجبة. قطع مكافئ $y^2=4px$ له بؤرة $(p,0)$ ومحور directs $x=-p$. ميز هذه المعادلات عن قطع زائد له فرق مربعات.
مثال محلول. القطع البيضاوي (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 له أطراف أفقية (-2,-2) و(4,-2). y²=8x له p=2 وبؤرة (2,0). القاطعات بأطوال خارجية/كاملة 3/12 و4/9 كلاهما له حاصل ضرب 36، لذا طول المماس من نفس النقطة هو 6. مخروط نصف قطره 3، ارتفاعه 8 حجمه 24π.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
بالنسبة لـ $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$، حدد المركز ونصفي المحور الأفقي والعمودي وأطراف المحور الأربعة. بالنسبة لـ $y^2=-12x$، حدد الرأس والمركز.
استنتاج. المركز هو $(-2,1)$، نصفا المحور 5 و3، الأطراف $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. في القطع المكافئ، $4p=-12$، لذا $p=-3$؛ الرأس $(0,0)$، البؤرة $(-3,0)$.
تدريب 2
من نقطة خارجية واحدة، طول المماس هو 6 سم. القاطع له جزء خارجي طوله 4 سم. أوجد طوله الكلي وجزئه الداخلي.
استنتاج. استخدم علاقة المماس-القاطع $t^2=ew$. أعد ترتيب $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. الطول الداخلي هو $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. الحاصل الضربي يستخدم الطول الكامل، ليس الداخلي فقط.
تدريب 3
حاوية أسطوانية نصف قطرها 3 سم وارتفاعها 8 سم. أوجد حجمها ومساحة سطحها الكلية المغلقة. ماذا يحدث لكل منهما إذا تضاعفت كل الأطوال؟
استنتاج. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. مضاعفة جميع الأطوال تضرب الحجم في 8 والمساحة في 4.
تمرين 4
صنّف $x^2/16-y^2/9=1$ و$x^2+y^2=16$. أوجد محيط الدائرة ومساحتها. بالنسبة لقاطعين من نفس النقطة الخارجية، أحدهما له أطوال خارجي/كلي 3/12 سم والأخرى طوله الخارجي 4 سم: أوجد طوله الكلي والداخلي.
استنتاج. فرق المصطلحات المربعة يعرف قطعًا زائدًا مركزه نقطة الأصل. المجموع بمعاملات متساوية يعرف دائرة نصف قطرها 4. محيطها هو $C=2\pi r=8\pi$ ومساحتها $A=\pi r^2=16\pi$ بوحدات الطول الإحداثي ومربع الطول على التوالي. حاصل ضرب القاطعات متطابق: $e_1w_1=e_2w_2$. إذن $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$؛ الطول الداخلي هو $9-4=5\,\mathrm{cm}$. ضرب الخارجي في الداخل سيطبق العلاقة الخاطئة.
الحدود والاستخدام التالي
خذ الجذور التربيعية لنصف القطر ونصف المحاور؛ استخدم أطوال القطر الكاملة ووحدات التكعيب للحجم.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.