النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- قراءة المركز والتوزيع والشكل من عرض البيانات المسمى
- تفسير نموذج طبيعي باستخدام المتوسط والانحراف المعياري
- التمييز بين ارتباط ثنائي المتغيرات والأدلة السببية
المتطلبات المسبقة: بيانات مرتبة؛ تكرار؛ المتوسط والوسيط.
شرح واختيار الطريقة
المتوسط يوزن جميع الملاحظات؛ الوسيط يستخدم الوسط المرتب منها. المدرج التكراري يجمع القيم العددية في فترات، وعرض الصندوق يعرض الربيعيات، والمخطط الشريطي يقارن الفئات. افحص الوحدات والمقياس والتكرارات قبل مقارنة العرض أو الارتفاع الظاهري. استخدم اصطلاح الربيعيات المذكور في المهمة عند الحاجة إلى الحساب.
إضافة ثابت يحرك المتوسط والوسيط لكن لا يغير الانحراف المعياري؛ ضرب القيم في عامل موجب يقيس كل من المركز والتوزيع. بالنسبة لنموذج طبيعي، يكون المتوسط في المركز المتماثل؛ حوالي 68% تقع ضمن انحراف معياري واحد و95% ضمن اثنين. هذه التقديرات تتعلق بنموذج طبيعي محدد، وليس لكل مجموعة بيانات متماثلة بشكل عام.
المخطط الانتثاري يربط قياسات كمية. الخط الملائم يتنبأ باستجابة؛ الباقية هي الملاحظة مطروحًا منها المتوقع. جدول ثنائي الأبعاد بدلاً من ذلك يقارن الفئات والنسب الشرطية. يمكن أن يظهر الاتجاه ارتباطًا دون إثبات السبب، لأن متغيرات أخرى أو الاختيار قد يفسران العلاقة.
يجب أن يتبع الخط الملائم غير الرسمي الاتجاه الرئيسي، ولا يربط كل نقطة. صف الاتجاه والشكل والنقاط غير المعتادة. الاستيفاء داخل النطاق المرصد أفضل أساسًا من الاستقراء البعيد. يمكن أن تجعل التغييرات في المقياس البياني العلاقة الثابتة تبدو أقوى أو أضعف، لذا اقرأ الإحداثيات والمحاور الفعلية.
التكرار يعد عدد المشاهدات المكررة. القيم 1، 3، 7 بتكرارات 2، 1، 1 تمثل أربع مشاهدات: 1، 1، 3، 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. الوسيط هو $(1+3)/2=2$؛ ولا يشترط أن يساوي المتوسط الحسابي.
مثال محلول. توزيع درجات نموذج طبيعي بمتوسط 50 وانحراف معياري 5 يحتوي على نحو 68% بين 45 و55، ونحو 95% بين 40 و60. إضافة 10 تنقل المتوسط إلى 60 لكنها تحافظ على الانحراف المعياري 5. بالنسبة للمعادلة y=2x+4 عند x=3، تكون القيمة المتوقعة لـy هي 10؛ والقيمة المرصودة 12 تعطي باقياً قدره +2. هذه نماذج تعليمية افتراضية.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
النموذج الطبيعي له متوسط 80 وانحراف معياري 6. أعطِ تقديرات لفترات 68% و95% المركزية. تم تغيير كل درجة إلى $z=2x+5$؛ أعطِ المتوسط والانحراف المعياري المحولين.
استنتاج. تحت النموذج الطبيعي المعني، تقع نحو 68% في الفترة 74–86 ونحو 95% في 68–92. المتوسط المحول هو $2(80)+5=165$ والانحراف المعياري $2(6)=12$. هذه نسب نمذجة وليست ضمانات لعينة محدودة.
تدريب 2
النموذج الملائم هو $y=4x+3$. عند $x=5$ رُصدت $y=20$. أوجد المخرج المتوقع والباقي. هل يمكن لميل إيجابي وحده أن يثبت السببية؟
استنتاج. التوقع هو $4(5)+3=23$. الباقٍ $e=y_{obs}-y_{pred}=20-23=-3$. يعطي الميل الإيجابي ارتباطاً ضمن النموذج المناسب؛ وقد يفسر الخلط أو الاختيار ذلك دون وجود سببية مباشرة.
تدريب 3
البيانات هي 2,4,4,6,9,11,12,16. باستخدام وسطي النصفين الأدنى والأعلى، أوجد ملخص الخمسة أرقام والمدى الربيعي. أي عرض يحفظ هذا الملخص: عرض صندوق، مخطط شريطي للفئات أم مخطط انتثاري؟
استنتاج. الوسيط $Q_2=(6+9)/2=7.5$. النصف الأدنى 2,4,4,6 يحتوي على $Q_1=4$؛ والنصف الأعلى 9,11,12,16 يحتوي على $Q_3=11.5$. ملخص الخمس أرقام هو $(2,4,7.5,11.5,16)$ و$IQR=Q_3-Q_1=7.5$. يعرض الرسم الصندقي هذه القيم. بينما يقارن رسم الأعمدة الفئات العددياً، ويحتاج مخطط التشتت إلى قياسات كمية مزدوجة. لا يعرض أي منهما مباشرة هذا الملخص أحادي المتغير بخمس أرقام. يمنع约定 الربيع المذكورة الخلاف مع约定 الربيع الأخرى الصالحة.
تمرين 4
تحتوي مدرجة تكرارية افتراضية على حزم متساوية العرض [0,10)، [10,20)، [20,30] بتكرارات 2,6,2. حدد النسبة المئوية أقل من 20 وما إذا كان المتوسط الدقيق محددًا. يرتفع مخطط التشتق للساعات والإنتاج باتجاه منحني مع شاذ واحد مرتفع: اشرح لماذا لا يصلح خط مستقيم يربط كل نقطة.
استنتاج. أسفل 20 يوجد 2+6=8 من أصل 10 مشاهدات، أي 80%. بما أن المشاهدات الدقيقة داخل الفئات غير معروفة، فلا يمكن استنتاج متوسط دقيق؛ ويجب تسمية تقديرات المنتصف كتقديرات. يمثل مخطط التشتت أزواجاً، ويجب أن تصف العلاقة الملائمة شكله الرئيسي مع اعتبار النقطة الشاذة. ربط كل مشاهدة يرسم مساراً بين حالات منفصلة ويتجاهل الاتجاه المنحني. راقب مقاييس المحاور الفعلية والنقطة الشاذة قبل ملائمة أو استنباط.
الحدود والاستخدام التالي
لا تستخدم النسب المئوية العادية دون تحقق شرط النموذج الطبيعي، ولا تفسر ميل مخطط التشتت كسببية تلقائية.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.