النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- حوّل الإحداثيات مع التمييز بين التحولات الصلبة والتوسع
- استخدم المسافة والنقطة الوسطى والميل كدليل هندسي
- استخدم علاقات التطابق والزوايا الصالحة بدلاً من مظهر الرسم البياني
المتطلبات المسبقة: الفروق الإحداثية؛ تطابق المثلثات؛ الزوايا على الخطوط المتوازية.
شرح واختيار الطريقة
الإزاحة تضيف إزاحة لكل نقطة؛ الانعكاس عبر محور x يرسل (x,y) إلى (x,-y). دوران 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل يرسل (x,y) إلى (-y,x). تحافظ هذه الحركات الصلبة على الأطوال والزوايا. التوسع بمعامل k حول نقطة الأصل يقيس الإحداثيات والأطوال بـk عندما يكون k موجباً، مع الحفاظ على الشكل ولكن تغيير الحجم بشكل عام.
المسافة بين نقطتين تتبع نظرية فيثاغورس: تربيع فروق الإحداثيات، اجمعها وخذ الجذر. النقطة الوسطى هي متوسط كل إحداثي. الميل يقارن التغير الرأسي والأفقي؛ ميلان عموديان غير رأسيين حاصل ضربهما -1. الخطوط الرأسية والأفقية تتطلب معالجة منفصلة بدلاً من القسمة على الصفر.
يبدأ الحجة الهندسية من الشروط المعلنة أو الموضحة. الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية؛ تعطي الخطوط المتوازية علاقات الزوايا المتناظرة والمتبادلة. مجموع زوايا المثلث 180°. يمكن لـ SSS و SAS و ASA/AAS إثبات التطابق مع التناظر الصحيح، بينما يثبت تساوي زاويتين التشابه وليس المساواة في الحجم.
استدعاء البناء يستخدم الفرجار لنقل الأطوار ورسم أقواس نصف قطر متساوي. تقاطع الأقواس ذات المسافة المتساوية يمكن أن يحدد عمودياً المنصف؛ إنه ليس منتصف تخميني من رسم توضيحي. يمكن للدليل الإحداثي دعم البرهان، لكن صورة واحدة مختارة خصيصاً لا establishes statement عامة لكل مثلث.
التحويلات الصلبة تحافظ على الأطوال والزوايا. تدوير 90° عكس عقارب الساعة يرسل $(x,y)$ إلى $(-y,x)$ حول نقطة الأصل. المسافة هي $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. تساوي الزوايا ي establishes similarity, but congruence also fixes size.
مثال محلل. النقطة (2,-1) تُزاح بـ (3,4) لتصبح (5,3)؛ ثم تُدار 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل لتصبح (1,2). بين (1,2) و (7,10)، المسافة هي √(6²+8²)=10 والنقطة الوسطى (4,6). مثلثان بطول أضلاع مطابقة 3,4,5 هما متطابقان حسب SSS؛ أما المثلثات المتساوية الزوايا فقد تختلف بحجمها بسبب مقياس الرسم.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
أدر A = $(2,-3)$ بمقدار 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل، ثم أزح بمقدار $(4,1)$. عكس الترتيب وقارن النقاط النهائية.
التعليل. أدر أولاً إلى $(3,2)$، ثم أزح إلى $(7,3)$. أزح أولاً إلى $(6,-2)$، ثم أدر إلى $(2,6)$. تختلف النقاط النهائية، لذا فإن ترتيب التحويلات مهم.
تدريب 2
A = $(-1,2)$ و B = $(5,10)$ هما طرفا قطعة مستقيمة. أوجد طولها ونقطة وسطها ومعادلة عموديا لمنتصفها.
التعليل. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. النقطة الوسطى $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. ميل القطعة هو $8/6=4/3$، لذا الميل العمودي هو $-3/4$. عموديا المنتصف هو $y-6=-(3/4)(x-2)$.
تدريب 3
مثلثان لهما زوايا 40°،60°،80°. أحدهما له أطول ضلع 9 سم؛ والآخر 15 سم. حدد ما تم إثباته ونسبة مساحتيهما.
استنتاج. المثلثان متشابهان بزاويتين متساويتين، وليس متطابقين لأن أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا الكبيرة غير متساوية. نسبة الطول هي $15/9=5/3$ ونسبة المساحة من الأكبر إلى الأصغر هي $25/9$.
تمرين 4
صف بناءً باستخدام الفرجار والمسطرة لمماس المتعامد على القطعة AB. قدم سببًا صالحًا لكل نقطة مبنية، وميزه عن قياس الرسم التخطيطي. ثم اشرح ما يثبت SSS للمثلثات بأطوال أضلاع مقابلة 3,4,5 سم.
استنتاج. استخدم نفس نصف قطر الفرجار، أكبر من نصف AB، لرسم قوسين مركزهما A وB يتقاطعان في P وQ على جانبي القطعة. ارسم PQ. PA=PB وQA=QB بسبب تساوي نصف القطر. إذن كل من P وQ يقعان على المحل الهندسي للنقاط البعيدة بالتساوي عن A وB؛ PQ هو المماس المتعامد. وبالمثل يمكن استخدام المثلثات المتطابقة والوتر المشترك لإثبات التعامد والنصف. قراءة المسطرة في رسم واحد لا تثبت المحل الهندسي العام. يثبت SSS تطابق المثلثين المذكورين، مما يحدد الحجم والشكل معًا؛ كما يوضح الثالوث الإقليدي أن هذه المثلثات المحددة قائمة الزاوية.
تمرين 5
قطرا مستقيم متوازيان مقطوعان بقاطع. أحد الزاويتين المتناظرتين يساوي 68°. أوجد الزاوية المتناظرة المقابلة لها والزاوية المجاورة على الخط الثاني. اشرح أي شرط معطى يبرر كل خطوة.
استنتاج. التوازي يعطي زاوية مقابلة متساوية 68°. الزاويتان المجاورتان تشكلان زاوية مستقيمة، لذا فإن الأخرى هي 180°−68°=112°. تتطلب الزوايا المقابلة المتساوية التوازي المذكور؛ بينما يعتمد مجموع الزاوية المستقيمة على الجوار على خط واحد. رسم تخطيطي مشابه الشكل بدون توازي لن يبرر المساواة الأولى.
الحدود والاستخدام التالي
اتبع المركز والترتيب المحددين للتحويلات. لا تستخدم زوجًا يبدو موازيًا أو متعامدًا بصريًا كشرط مذكور.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.