النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- سجل قيود المقام والجذر قبل الحل
- تحقق من مرشحات المعادلة المُحوّلة في الأصلية
- أوجد الحلول المشتركة أو المناطق المسموحة وفسرها
المسبقات: التحليل إلى عوامل؛ التعويض؛ قيود المجال.
شرح واختيار الطريقة
بالنسبة للتعبيرات الكسرية، حدد أصفار المقام قبل اختصار العوامل أو ضرب معادلة في مقام. قد يُزيل التبسيط عاملاً ظاهراً بينما تظل قيداته الأصلية سارية. اختصر عوامل كاملة، وليس حدوداً مختارة في عملية جمع.
عزّل الجذر التربيعي واحترم قيمته غير السالبة قبل التربيع. يحفظ التربيع الحلول لكن قد يضيف مرشحين، لذا عوض كل مرشح في المعادلة الأصلية. ينطبق نفس الحذر عند الضرب في تعبير قد يكون صفراً. القيمة التي تحقق كثير حدود مُحوّل لكنها تفشل المصدر هي قيمة زائدة.
يتطلب النظام زوجاً مرتباً واحداً يحقق جميع المعادلات. عوض خطاً في دائرة أو قطع مكافئ، حل تربيعي الناتج واستعد الإحداثي الثاني. قد يكون للنظام الخطي نقطة تقاطع واحدة، أو لا تقاطع، أو خطوط متطابقة. لا تخلط بين جذرين جبريين ونظامين منفصلين.
بالنسبة لأنظمة المتباينات، تزود كل شرط بمنطقة مسموحة والحل هو تقاطعها. النقطة على حد حاد مستبعد حتى لو حققت المتباينة الأخرى. تحقق من نقطة مقترحة بالتعويض في كل متباينة أصلية، بما في ذلك علامة التساوي.
يجب أن يحقق الجذر المرشح المعادلة الأصلية. في $\sqrt{x+6}=x$، يجب أن تكون الطرف الأيمن غير سالبة. التربيع يعطي $x^2-x-6=0$، لذا المرشحون هم $3,-2$. يُبقى فقط $3$ بعد التحقق الأصلي: $\sqrt9=3$.
مثال محلول. √(x+6)=x يفرض x≥0. التربيع يعطي x²-x-6=0 مع مرشحين 3 و-2؛ يعمل فقط 3. بالنسبة لـ x²+y²=25 وy=x+1، يعطي التعويض x²+x-12=0، ومنه (3,4) و(-4,-3). (x²-4)/(x-2) تبسط إلى x+2 من أجل x≠2، مع الحفاظ على قيد عدم المساواة.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
حل $x^2+y^2=25$ و$y=x-1$ معاً. تحقق من كل زوج مرتب في كلا المعادلتي ن.
استنتاج. عوض للحصول على $x^2+(x-1)^2=25$، أو $x^2-x-12=0$. الجذور هي $4,-3$، مما يعطي $(4,3)$ و$(-3,-4)$. كلاهما يعطي مجموع مربعات 25 ويحقق $y=x-1$.
تدريب 2
حل $\sqrt{3x+4}=x$ وصف جميع النقاط التي تحقق $y\ge x+1$ و$y<4-x$.
استنتاج. التربيع مع $x\ge0$ يعطي $(x-4)(x+1)=0$؛ يعمل فقط $x=4$. المنطقة تكون على/أعلى $y=x+1$ وتحت $y=4-x$. توجد فقط عندما $x+1<4-x$، لذا $x<3/2$؛ نقطة التلاقى مستبعدة.
تدريب 3
بسّط $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. اذكر كل قيد أصلي واشرح لماذا $F$ ليست مطابقة لـ $x/(x+4)$ على كامل مجال الصيغة الأخيرة.
Reasoning. Factor numerator $x(x-4)$ and denominator $(x-4)(x+4)$. The original domain excludes $x=4,-4$. Cancellation gives $F(x)=x/(x+4)$ for $x\ne4,-4$. The latter formula alone permits $4$, where it gives $1/2$, while $F(4)$ is undefined.
الحدود والاستخدام التالي
تبقى القيود قائمة بعد التبسيط. في النظام المتزامن، تحقق من كلا الإحداثيين في كل علاقة أصلية.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.