النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- قوّم وحوّل بين قواعد الدوال والجداول والرسوم البيانية
- تتبع ترتيب المدخلات والمجال خلال التركيب
- اقيد مجال الدالة حتى تصبح دالة تقابلية، ثم أوجد دالتها العكسية
المواصفات المسبقة: رموز الدوال؛ التعويض؛ حل المعادلات.
شرح واختيار الطريقة
تعطي الدالة مخرجا واحدا لكل مدخل مسموح به. الرسم البياني الذي يمر بخط عمودي عند نقطتي إخراج مختلفتين ليس دالة في x. المجال يسرد المدخلات المسموحة؛ والمدى يسرد المخرجات المحققة. حول الجدول إلى قاعدة فقط عندما يدعم العلاقة، وفسد دور كل متغير.
في f(g(x))، تعمل الدالة الداخلية g أولاً ويجب أن يكون مخرجها ضمن مجال f. بالنسبة لـ f(u)=1/(u-1) وg(x)=x²+1، يعطي التركيب 1/x² ويستبعد x=0. التحقق من المجال ينتمي للدوال الأصلية بالإضافة إلى النتيجة المبسطة.
تغيير المخرجات f(x)+k يحركه رأسياً بمقدار k؛ بينما f(x-h) يحركه يميناً بمقدار h. المعامل الخارجي يغير مقياس المخرجات، بينما المعامل الداخلي يغير سرعة وصول المدخل للنقاط القديمة. حدد نقطة معروفة للتحقق من التحويل بدلاً من تخمين الاتجاه من الإشارة.
يعكس المعكوس المدخل والمخرج ويتطلب علاقة واحد لواحد على المجال المختار. حل y=f(x) من أجل x، ثم تبادل الأسماء. يجب عادة تقييد الدالة التربيعية على أحد جانبي قمتها. الدالة العكسية f⁻¹ ليست المقلوب 1/f. تحقق من التركيب في كلا الاتجاهين على المجال المسموح به.
التركيب يطبق القاعدة الداخلية أولاً. إذا كانت $f(u)=1/(u-2)$ و$g(x)=x^2+2$، $f(g(x))=1/x^2$، مع $x\ne0$. يعكس المعكوس المدخل والمخرج على مجال واحد لواحد. قيّد $h(x)=(x-1)^2$ على $x\ge1$ قبل أخذ $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
مثال محلول. f(x)=2x+3 وg(x)=x² تعطي f(g(x))=2x²+3، لكن g(f(x))=(2x+3)². بالنسبة لـ h(x)=(x-2)² مقيدة بـ x≥2، المعكوس هو 2+√x مع مجال x≥0. الإزاحة الرأسية لـ h بمقدار 4 لها قمة (2,4)؛ أما الدالة التربيعية غير المقيدة فللها معكوس متعدد القيم.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
ليكن $f(u)=1/(u-3)$ و$g(x)=x^2+3$. أوجد $f(g(x))$ مع المجال. أوجد $g(f(4))$ واشرح لماذا differs هذان التركيبان.
استنتاج. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$، باستثناء $x=0$. بالنسبة للترتيب الآخر، $f(4)=1$ و$g(1)=4$. ترتيب التركيب يغير كل من العملية وقد يغير المجال؛ $f(g(4))=1/16$ مختلف.
تدريب 2
قيّد $h(x)=(x+2)^2$ على $x\le-2$. أوجد معكوسها، بما في ذلك المجال والمدى. اشرح لماذا فرع الجذر الموجب خاطئ.
استنتاج. حل $y=(x+2)^2$ مع $x+2\le0$ للحصول على $x=-2-\sqrt y$. وبالتالي $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$، المجال $x\ge0$، المدى $y\le-2$. يعيد فرع الزائد قيمًا خارج المجال الأصلي المختار.
تدريب 3
تم تغيير الرسم البياني لـ $f(x)=x^2$ إلى $g(x)=3f(x+4)-2$. أوجد قمته ومداه، وتحقق من نقطة واحدة مشفرة.
استنتاج. $g(x)=3(x+4)^2-2$ لها قمة $(-4,-2)$ ومدى $y\ge-2$. النقطة القديمة $(1,1)$ تتحول إلى $(-3,1)$ لأن $3(1)-2=1$؛ والتعويض يؤكد $g(-3)=1$.
الحدود والاستخدام التالي
احفظ ترتيب التركيب وفرع العكسي المقيد. الأس -1 في تدوين الدوال لا يعني مقلوباً.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.