النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- التمييز بين الفرق الحسابي والنسبة الهندسية
- إيجاد حد أو مجموع محدود مع الحفاظ على توافق الفهرسة
- تحويل المعادلات اللوغاريتمية إلى الصيغة الأسية على المجال السليم
المتطلبات المسبقة: رموز الفهارس؛ قواعد الأسس؛ المتتاليات المنتهية.
شرح واختيار الطريقة
An arithmetic sequence has constant difference d: aₙ=a₁+(n-1)d. Its finite sum is n(a₁+aₙ)/2. A geometric sequence has constant ratio r: aₙ=a₁r^(n-1). For r≠1, a finite sum is a₁(1-rⁿ)/(1-r); when r=1 it is simply n a₁. Match the requested term or total.
يمثل النموذج الأسي A b^t الضرب في b لكل وحدة زمن محددة. يستخدم نمو النسبة المئوية r عامل 1+r؛ التغيرات المتكررة تضرب العوامل بدلاً من جمع النسب المئوية. إذا استغرق مضاعفة عدة وحدات زمنية، اقسم t على تلك الفترة في الأس.
بالنسبة للأساس b>0 مع b≠1، يعني log_b(a)=c أن b^c=a ويتطلب a>0. حل المعادلة اللوغاريتمية عن طريق ترجمتها إلى علاقة أسية، ثم تحقق من حجة اللوغاريتم. لوغاريتمات المضروب تُجمع تحت حجوز موجبة صالحة؛ لا يتوزع اللوغاريتم على الجمع.
استخدم القوى الدقيقة عند توفرها. قد يختبر ACT علاقة لوغاريتمية بسيطة دون الحاجة لجداول لوغاريتمات عددية. يجب أن تحترم التقريب المحسوب تمثيل السؤال ومجاله. احتفظ بفهرس المتتالية ووقت النموذج الأسي وحجة اللوغاريتم منفصلين مفاهيمياً.
متتالية حسابية: $a_n=a_1+(n-1)d$. مجموعها هو $S_n=n(a_1+a_n)/2$. متتالية هندسية: $a_n=a_1r^{n-1}$ و $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ لـ $r\ne1$. اللوغاريتم يعكس الأس: $\log_b a=c$ يعني $b^c=a$، مع $a>0$، $b>0$، $b\ne1$.
مثال محلول. متتالية حسابية 4,7,10,… لها a₅=16 ومجموع الخمسة الأولى=5(4+16)/2=50. متتالية هندسية 3,6,12,24 لها مجموع أربعة حدود 45. log₂(x-1)=4 تعطي x-1=16، إذن x=17، وهو يحقق x>1. عدد سكان 50·2^(t/3) يصل إلى 200 بعد ستة وحدات زمنية.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
عدد المقاعد في الصفوف المتتالية هو 12,16,20,… . أوجد الصف الثامن والمجموع الكلي في أول ثمانية صفوف. حدد افتراض النموذج.
التبرير. الفرق الثابت هو 4 مقعد لكل صف. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ مقاعد. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ مقاعد. هذا يفترض نفس الزيادة بأربعة مقاعد عبر جميع الصفوف الثمانية.
تدريب 2
متتالية هندسية تبدأ 5,15,45,… . أوجد حدها الخامس ومجموع أول خمسة حدود. اشرح ما يتغير إذا كانت النسبة 1.
التبرير. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. عندما $r=1$، يكون للمقام صفر والمجموع الصحيح هو $na_1$، وهنا 25 لخمس حدود متطابقة.
تدريب 3
حل $\log_2(x-3)=5$ واشرح لماذا لا يمكن عادةً تفكيك $\log_2(x+3)$ إلى $\log_2x+\log_23$.
التبرير. المجال يتطلب $x>3$. الصيغة الأسية تعطي $x-3=32$، لذا $x=35$ والقيمة موجبة. مجموع اللوغاريتمات يوافق الضرب $3x$، وليس $x+3$؛ عند $x=1$، المساواة المقترحة ستساوي 2 بـ $\log_23$.
تمرين 4
نموذج مزرعة يبدأ بـ 120 خلايا وينمو بمعامل 1.5 كل ساعتين. اكتب $N(t)$ للساعات $t$، وأوجد $N(4)$، وفرق بين المعامل ونسبة النمو المئوية.
التبرير. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ خلية. $N(4)=120(1.5)^2=270$ خلايا. النمو هو 50% كل ساعتين، وليس 150%; معامل أربع ساعات هو 2.25. المعامل الساعبي سيكون $\sqrt{1.5}$.
الحدود والاستخدام التالي
لا تستخدم n بدلاً من n-1 للحد النوني، ولا تخلط بين مجموع محدود وحده الأخير، ولا قم بفك log(a+b) على أنه log a + log b.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.