الحركة الدائرية

الرنديان هو الزاوية التي تُصنع عند مركز الدائرة بواسطة قوس طوله يساوي نصف القطر. بالنسبة لقوس طوله $s$ في دائرة نصف قطرها $r$، تكون الزاوية بالرنديان هي

الراديان ليس له وحدة (هو نسبة أطوال). الدائرة الكاملة تساوي $s = 2\pi r$، أي $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. والنصف دائرة يساوي $\pi\ \text{rad}$؛ والربع يساوي $\pi/2\ \text{rad}$.

للتحويل: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. اضبط الآلة الحاسبة على الراديان لهذا الموضوع؛ وضع "الدرجة" سيعطي إجابات خاطئة.

تعريف الدرجة الواحدة. الراديان هو الزاوية المحصورة عند مركز الدائرة بقوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. قدّمها بكلمات — فالرمز $\theta = s/r$ وحده ليس تعريفاً — واحتفظ ب$s = r\theta$ جاهزاً لتحويل مسافة على القوس إلى زاوية، أو العكس.

جسم يتحرك في دائرة نصف قطرها $r$ بسرعة ثابتة $v$. عرّف:

• الإزاحة الزاوية $\theta$ — الزاوية (بالراديان) التي دار بها نصف القطر من خط بداية مختار.
• السرعة الزاوية $\omega$ — معدل تغير الإزاحة الزاوية.

في الحركة المنتظمة $\omega$ ثابتة وتكون

Unit: $\text{rad s}^{-1}$.

ما يبقى ثابتاً وما يتغير. في الحركة الدائرية المنتظمة السرعة (المقدار)، والسرعة الزاوية، والدور، ومقدار التسارع ثوابت؛ بينما السرعة المتجهة، والإزاحة عن المركز، والتسارع تتغير باستمرار لأن اتجاهها يتغير. عند طلب "ذكر كميتين تتغيران"، اذكر اثنين من السرعة المتجهة، والتسارع، والإزاحة، والزخم — وأشر إلى أن الاتجاه هو ما يتغير.

الدور والتردد

إذا دار الجسم دورة واحدة كاملة ($2\pi\ \text{rad}$، أي دورة واحدة) في زمن $T$ (وهو الدور)، فإن

حيث $f = 1/T$ هو التردد للدوران (هرتز).

السرعة الخطية والزاوية

في دور واحد $T$ يقطع الجسم مسافة $2\pi r$ (وهي محيط الدائرة) بسرعة ثابتة، لذا

هذا يربط بين السرعة الخطية (المماسية) $v$ والسرعة الزاوية $\omega$. عند نصف قطر أكبر (بنفس السرعة الزاوية) تكون السرعة الخطية أكبر — طفل على حافة المنصة الدوارة يتحرك أسرع من child near the center، رغم أن كليهما يكمل دورة واحدة في نفس الزمن.

مثال محلول. منصة لعبة نصف قطرها $4.0\ \text{m}$ تكمل دورة واحدة كل $8.0\ \text{s}$. أوجد سرعتها الزاوية والسرعة الخطية لراكب على الحافة.

مثال محلول. عقرب دقائق ساعة يدور دورة واحدة كل ساعة. قطعة من الطين modeller على العقرب تقطع مسافة كلية قدرها $0.44\ \text{m}$ في $1400\ \text{s}$. أوجد السرعة الزاوية للعقرب، والزاوية التي دار بها الطين في ذلك الزمن، ومسافته عن مركز الساعة.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. الإزاحة الزاوية $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. المسافة على طول القوس $s = r\theta$، لذا $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. تحقق: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ و$r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — هما نفس الشيء. فخ شائع في هذه الأسئلة هو قياس نصف القطر من الحافة: كتلة $1.2\ \text{cm}$ داخل حافة قرص قطره $9.3\ \text{cm}$ تتحرك في دائرة نصف قطرها $8.1\ \text{cm}$.

مثال محلول. تمر سلسلة دراجة هوائية حول تروس دواسة نصف قطره $0.095\ \text{m}$ وتروس عجلة خلفية نصف قطره $0.038\ \text{m}$. تدور الدواسات بسرعة $1.2$ دورة في الثانية. أوجد سرعة السلسلة والسرعة الزاوية للتروس الخلفية. ثم تُنقل السلسلة إلى تروس خلفية أصغر مع بقاء سرعة الدراجة ثابتة؛ اشرح، بدون إجراء حسابات، ماذا يحدث للسرعة الزاوية للدواسات.

سرعة دواسة الرافعة $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. كل حلقة من السلسلة تتحرك بسرعة حافة ترس دواسة الرافعة: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. حافة ترس الخلفية تتحرك بنفس السرعة، لذا $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. مع ثبات سرعة الدراجة، تحافظ العجلة الخلفية على نفس السرعة الزاوية؛ لذلك تتحرك حافة الترس الأصغر أبطأ ($v = r\omega$ مع $r$ أصغر)، فتتحرك السلسلة أبطأ، وتدور دواسة الرافعة، المدفوعة بنفس السلسلة، بسرعة زاوية أقل.

الجسم المتحرك في دائرة بسرعة ثابتة لا يزال لديه تغير في السرعة — لأن اتجاهه يستمر في التغير، حتى لو بقي مقدارها ثابتاً. يتطلب تغير السرعة وجود تسارع. هذا التسارع يتجه نحو المركز ويسمى التسارع المركزي.

وصف علامتين. في الحركة الدائرية المنتظمة تكون السرعة ثابتة لكن السرعة متغيرة باستمرار، لأن اتجاهها يتغير؛ والتسارع ثابت المقدار وموجه دائماً نحو مركز الدائرة، عمودياً على السرعة. "أذكر ما يعنيه التسارع المركزي": تسارع جسم يتحرك على مسار دائري، موجه نحو مركز الدائرة.

الحجم

الصورتان متساويتان لأن $v = r\omega$. اختر الصيغة التي تحتوي على الكميات المعطاة لديك.

التسارع المركزي عمودي على السرعة في كل لحظة — ولا يكون أبداً على طول اتجاه الحركة. (لو كان جزء منه على طول الحركة، لتغيرت السرعة.) الوحدة: $\text{m s}^{-2}$.

لماذا لا تتغير السرعة. قوة الجذب المركزي عمودية على الإزاحة في كل لحظة، لذا فهي لا تبذل شغلاً على الجسم؛ وطاقة حركته، وبالتالي سرعته، تظل ثابتة. يتغير فقط اتجاه السرعة — وهو بالضبط ما تفعله قوة تسارع عمودية على السرعة.

مثال محلول. الأرض كرة نصف قطرها $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ تدور دورة واحدة كل $24$ ساعات. كامبريدج تقع عند خط العرض $52.2°$ شمالاً. أوجد نصف قطر الدائرة التي تتحرك فيها كامبريدج، وسرعته، وتسارعه المركزي. طالب كتلته $58.6\ \text{kg}$ يقف على ميزان حمام هناك؛ أذكر واشرح تأثير الدوران على القراءة.

الدائرة تدور حول المحور، لذا $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$، لذا $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ و$a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. يحتاج الطالب لقوة محصلة $ma = 1.2\ \text{N}$ نحو المحور، وهذا لا يمكن أن يأتي إلا من أن يكون الوزن أكبر من قوة التلامس للأعلى؛ لذا يقرأ الميزان أقل من الوزن $mg = 575\ \text{N}$ — بحوالي نيوتن واحد (للتسارع مركبة $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ على طول الرأسي، أي $0.7\ \text{N}$ من $1.2\ \text{N}$). صغير، لكن الإشارة والسبب هما اللتان يمنحان الدرجات.

وفقاً لقانون نيوتن الثاني، القوة المحصلة القوة المؤثرة على جسم في حركة دائرية بسرعة ثابتة هي

هذه هي قوة الجذب المركزي. إنها دائماً تتجه نحو المركز — عمودية على السرعة.

قوة الجذب المركزي ليست نوعاً جديداً من القوى — بل هي النتيجة الصافية للقوى الحقيقية المؤثرة (الشد، الجاذبية، الاحتكاك، التجاذب الكهربائي، قوة التلامس العمودية، …). في المسألة، حدد أي قوة حقيقية (أو قوى) توفرها.

مثال محلول. كرة كتلتها $0.20\ \text{kg}$ مربوط بخيط تدور في دائرة أفقية نصف قطرها $0.50\ \text{m}$ بسرعة $3.0\ \text{m s}^{-1}$. أوجد قوة الجذب المركزي (وهي شد الخيط).

مصدر قوة الجذب المركزي

• كرة مربوط بخيط في دائرة أفقية: الشد في الخيط.
• سيارة تنحني في منعطف مستوٍ: الاحتكاك بين الإطارات والطريق ($F = m v^{2}/r$). إذا سارت السيارة بسرعة كبيرة جداً، فلن يكون الاحتكاك كافياً وتنزلق للخارج.
• منعطف مائل (بدون احتكاك): الجزء الأفقي من قوة التلامس العمودية؛ $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ للزاوية التي لا تحتاج فيها إلى احتكاك.
• كوكب أو قمر صناعي في مدار: الجاذبية، $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• إلكترون في مدار دائري (نموذج بور): التجاذب الكهروستاتيكي بين الإلكترون والنواة الموجبة:

حيث $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ و$Z$ هو شحنة النواة. حل لإيجاد $v$ للحصول على سرعة المدار؛ ثم $T = 2\pi r/v$.

القوة المائلة: البندول المخروطي، المخروط وركوب الأرجوحة

كرة على خيط تُدور في دائرة أفقية (بندول مخروطي)، كرة تدور داخل سطح مخروط أملس، كرسي في لعبة الملاهي الدوارة، وسيارة على مسار مائل — جميعها تمثل نفس المسألة: قوة واحدة (إما الشد أو القوة العمودية) تكون مائلة بزاوية $\theta$ بالنسبة للرأسي. نحللها. مركبتها الرأسية توازن الوزن؛ ومركبتها الأفقية تمثل قوة الجذب المركزية كاملةً:

لا تضيف قوة جذب مركزية منفصلة إلى الرسم البياني: القوتان الحقيقيتان هما الوزن والقوة المائلة، ومحصلة هاتين القوتين تكون أفقية، نحو المركز.

مثال محلول. تتحرك كرة فولاذية في دائرة أفقية نصف قطرها $0.12\ \text{m}$ على السطح الأملس الداخلي لمخروط يكون سطحه زاوية $52°$ مع الأفق. اذكر القوتين المؤثرتين على الكرة، وأشر إلى اتجاه محصلتهما، وأوجد سرعة الكرة ودوره.

القوتان هما الوزن (رأسيًا لأسفل) والقوة العمودية من سطح المخروط (عموديًا على السطح، أي بزاوية $52°$ مع الرأسي)؛ محصلتهما أفقية، نحو مركز الدائرة. رأسيًا $N\cos 52° = mg$؛ أفقيًا $N\sin 52° = mv^{2}/r$. بالقسمة: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$، إذن $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$، و$T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. تختزل الكتلة — السرعة لا تعتمد عليها.

مثال محلول. كرة كتلتها $0.29\ \text{kg}$ معلّقة بنابض ثابته $40\ \text{N m}^{-1}$ وطوله غير المشدود $6.0\ \text{cm}$. حُركت في دائرة أفقية بحيث يصنع النابض زاوية $30°$ مع الرأسي. أوجد الشد، ونصف قطر الدائرة، والسرعة.

عموديًا $T\cos 30° = mg$، إذن $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. الامتداد هو $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$، لذا طول الزنبرك هو $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ و$r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. أفقيًا $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$، $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. قانون هوك يوفر الطول؛ الدائرة توفر الباقي.

دوائر رأسية

عندما تكون الدائرة عمودية، فإن السرعة ليست ثابتة (الجاذبية تبذل شغلًا) — لكن في كل لحظة لا تزال المحصلة نحو المركز تساوي $m v^{2}/r$:

• عند أسفل الحلقة: الشد لأعلى، الوزن لأسفل، إذن $T - mg = m v^{2}/r$ — الشد يكون أكبر هنا.
• عند أعلى الحلقة: الشد والوزن كلاهما يتجهان لأسفل (نحو المركز)، إذن $T + mg = m v^{2}/r$ — الشد يكون الأصغر. للسرعة الأدنى عند الأعلى مع انبساط الخيط فقط، ضع $T = 0$: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$، مما يعطي $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

مثال محلول. سيارة تدور حول حلقة رأسية نصف قطرها $2.0\ \text{m}$. أوجد السرعة الدنيا عند الأعلى لتبقى السيارة متصلة بالمسار (استخدم $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

عند أقل سرعة، تكون قوة المسار صفرًا، لذا توفر الجاذبية وحدها قوة الجذب المركزي: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$، مما يعطي $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

نتيجة السرعة الثابتة ($v = r\omega$، $\omega$ ثابتة) تنطبق على الدوائر الأفقية، أو حيث القوة تحني المسار فقط (مدارات في مجال جاذبي، شحنات في مجال مغناطيسي).

دوائر في مجالات

مثال محلول. يُصمم ذرة الهيليوم كنواة شحنتها $+2e$ وإلكترونين في نفس المدار الدائري نصف قطره $170\ \text{pm}$، دائمًا على جانبي النواة المتقابلتين. أوجد المحصلة الكهربائية المؤثرة على أحد الإلكترونات وسرعته.

كل إلكترون يُجذبه النواة على مسافة $r$، ويُنافره الإلكترون الآخر على مسافة $2r$، على نفس الخط: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. هذه هي قوة الجذب المركزي: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

مثال محلول. بروتون (كتلته $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) يتحرك بسرعة $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ ويدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا كثافة تدفقه $0.50\ \text{T}$ بشكل عمودي على المجال. أوجد نصف قطر مساره والزمن لدورة واحدة.

القوة المغناطيسية $Bqv$ تكون دائمًا عمودية على السرعة، لذا فهي قوة جذب مركزي والسرعة ثابتة: $Bqv = mv^{2}/r$ يعطي $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$، و$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — مستقلة عن السرعة، ولهذا السبب يقوم بروتون أسرع بدوران دائرة أكبر في نفس الوقت. بالنسبة لقمر صناعي، تلعب قوة الجاذبية نفس الدور: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$، وتتبع السرعة المدارية والدورة من $r$ وحدها.

1. أوجد نصف القطر $r$ واختر $v$ أو $\omega$. استخدم $v = r\omega$ للتبديل بينهما.
2. أوجد التسارع المركزي باستخدام $a = v^{2}/r$ أو $r\omega^{2}$.
3. عدّد القوى الحقيقية واكتب قانون نيوتن الثاني في الاتجاه الشعاعي (نحو المركز موجب). اجعل المحصلة الداخلية مساوية لـ $m v^{2}/r$.
4. بالنسبة لـ الدورة أو التردد: استخدم $\omega = 2\pi/T$، أو $T = 2\pi r / v$.
5. تحقق من الاتجاهات: قوة الجذب المركزي والتسارع يشيران إلى المركز؛ والسرعة تكون على طول المماس.

تُصنّف أسئلة التعريف بناءً على صياغة ثابتة. احفظ هذه التعريفات بدقة، وقدم إجابة واحدة فقط.

• الشغل بـالدرجات المئوية (الراديان)؛ السرعة الزاوية $\omega = 2\pi/T = v/r$، وطول القوس $s = r\theta$ يحول مسافة على طول الدائرة إلى زاوية.
• التسارع المركزي $a = v^2/r = \omega^2 r$؛ محصلة القوى تؤثر نحو المركز — وتتمثل في الشد/الجاذبية/الاحتكاك/قوة التلامس، وليست قوة إضافية.
• يجب دائمًا ذكر ما يوفر القوة المركزية في الموقف المعطى، وفي حالة ميلان القوة يتم تفكيكها: المركبة الرأسية $= mg$، والمركبة الأفقية $= mv^{2}/r$.
• اقرأ نصف القطر بعناية: النقطة المقاسة من الحافة تتحرك في دائرة أصغر؛ النقطة على سطح الأرض الدوار تتحرك في دائرة حول المحور، ونصف قطرها $R\cos\lambda$.
• تروسان على نفس السلسلة يشاركان سرعة السلسلة؛ نقطتان على عجلة صلبة واحدة تشاركان سرعتها الزاوية.

أخطاء شائعة

• تعريف الراديان بأنه "$180/\pi$ درجة" أو أنه $\theta = s/r$. يتطلب التقييم أن يكون طول القوس مساويًا لطول نصف القطر.
• القول بأن السرعة ثابتة في الحركة الدائرية المنتظمة. السرعة القياسية ثابتة؛ لكن متجه السرعة يتغير اتجاهه، ولهذا يوجد تسارع.
• رسم سهم "قوة مركزية" كقوة إضافية جنبًا إلى جنب مع قوة الشد أو قوة التلامس. هي المحصلة، وليست قوة ثالثة.
• استخدام الدرجات في $\omega t$ أو $v = r\omega$. كل صيغة رياضية في هذا الموضوع تفترض استخدام الراديان.
• نسيان أن القوة لا تقوم بشغل: القوة العمودية على الحركة تغير الاتجاه فقط ولا تغير السرعة، لذا تبقى الطاقة الحركية ثابتة.
• اعتبار $r$ هو نصف قطر الأرض لنقطة عند خط عرض $\lambda$. الدائرة تدور حول المحور، لذا $r = R\cos\lambda$.