A-Level Further Mathematics · A-Level رياضيات متقدمة · Topic 3 · الموضوع 3
8:04
ميكانيكا متقدمة
رمِ كرة، أطلق تدفق ماء، أو أطلّق أي شيء في الهواء — وتتبع نفس المنحنى الأنيق: القطع المكافئ. السر يكمن في تقسيم الحركة إلى قسمين…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
This handout covers Topic 3: Further Mechanics 进阶力学. It extends mechanics to projectiles, rigid bodies, circular motion, elastic strings, variable forces and collisions. Take $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
يغطي هذه الورقة الموضوع 3: ميكانيكا متقدمة. يتم توسيع نطاق الميكانيكا لتشمل المقذوفات، الأجسام الصلبة، الحركة الدائرية، الخيوط المرنة، القوى المتغيرة، والتصادمات. خذ $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • model the motion of a projectile as a particle moving with constant acceleration and understand any limitations of the model | Vector methods are not required |
| • use horizontal and vertical equations of motion to solve problems on the motion of projectiles, including finding the magnitude and direction of the velocity at a given time or position, the range on a horizontal plane and the greatest height reached | |
| • derive and use the Cartesian equation of the trajectory of a projectile, including problems in which the initial speed and/or angle of projection may be unknown. | Knowledge of the 'bounding parabola' for accessible points is not included. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • نمذجة حركة المقذوف كجسيم يتحرك بتسارع ثابت وفهم أي قيود للنموذج | طرق المتجهات غير مطلوبة |
| • استخدام معادلات الحركة الأفقية والعمودية لحل مسائل حركة المقذوفات، بما في ذلك إيجاد مقدار واتجاه السرعة عند وقت أو موقع معين، والمدى على مستوى أفقي وأقصى ارتفاع مُحرَّج | |
| • اشتق واستخدم المعادلة الديكارتية لمسار مقذوف، بما في ذلك المسائل التي قد تكون فيها السرعة الابتدائية و/أو زاوية الإطلاق غير معروفة. | لا يُدرج معرفة 'القطع المكافئ المحاط' للنقاط التي يمكن الوصول إليها. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A projectile 抛射体 moves freely under gravity, so it has constant acceleration 匀加速 $g$ downwards and no horizontal acceleration. Treat the horizontal and vertical motions separately. If it is launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
Worked example. A ball is thrown at $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ at $30^\circ$ to the horizontal. Find the range and greatest height.
يتحرك المقذوف بحرية تحت تأثير الجاذبية، لذا له تسارع ثابت $g$ لأسفل ولا يوجد تسارع أفقي. تعامل مع الحركتين الأفقية والعمودية بشكل منفصل. إذا تم إطلاقه بسرعة $u$ وزاوية $\alpha$:
مثال محلول. رُمي كرة بسرعة $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ بزاوية $30^\circ$ فوق الأفق. أوجد المدى وأقصى ارتفاع.
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · أطلق الكرة، ثم غيّر الزاوية والسرعة. الحركة الأفقية منتظمة بينما تجرها الجاذبية لأسفل — معاً يرسمان قطعاً مكافئاً. جد الزاوية لأبعد مدى، وحاول على القمر.
| English | العربية |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | ميكانيكا متقدمة |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | قذيفة |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | تسارع ثابت |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة الديكارتية |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | المسار |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • calculate the moment of a force about a point | For questions involving coplanar forces only; understanding of the vector nature of moments is not required. |
| • use the result that the effect of gravity on a rigid body is equivalent to a single force acting at the centre of mass of the body, and identify the position of the centre of mass of a uniform body using considerations of symmetry | |
| • use given information about the position of the centre of mass of a triangular lamina and other simple shapes | Proofs of results given in the MF19 List of formulae are not required. |
| • determine the position of the centre of mass of a composite body by considering an equivalent system of particles | Simple cases only, e.g. a uniform L-shaped lamina, or a uniform cone joined at its base to a uniform hemisphere of the same radius. |
| • use the principle that if a rigid body is in equilibrium under the action of coplanar forces then the vector sum of the forces is zero and the sum of the moments of the forces about any point is zero, and the converse of this | |
| • solve problems involving the equilibrium of a single rigid body under the action of coplanar forces, including those involving toppling or sliding. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • احسب عزم قوة حول نقطة | للأسئلة المتعلقة بـ القوى المستوية فقط؛ لا يُشترط فهم الطبيعة المتجهية للعزوم. |
| • استخدم النتيجة القائلة بأن تأثير الجاذبية على جسم صلب يكافئ قوة واحدة تؤثر في مركز كتلة الجسم، وحدد موقع مركز كتلة جسم منتظم باستخدام اعتبارات التماثل | |
| • استخدم المعلومات المعطاة حول موقع مركز كتلة صفائح مثلثة وأشكال بسيطة أخرى | لا يُشترط إثبات النتائج الواردة في قائمة الصيغ MF19. |
| • حدد موقع مركز كتلة جسم مركب عن طريق النظر في نظام جسيمات مكافئ | الحالات البسيطة فقط، مثلاً: صفائح L الشكل المنتظمة، أو مخروط منتظم متصل بقاعدته بهemisphere منتظم من نفس نصف القطر. |
| • استخدم المبدأ القائلاً بأنه إذا كان جسم صلب في توازن تحت تأثير قوى مستوية فإن المجموع المتجهي للقوى يساوي صفراً والمجموع الجبري لعزوم القوى حول أي نقطة يساوي صفراً، والعكس صحيح | |
| • حل المسائل المتعلقة بتوازن جسم صلب واحد تحت تأثير قوى مستوية، بما في ذلك المسائل المتعلقة بـ الإطاحة أو الانزلاق. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
The moment 力矩 of a force about a point is force $\times$ perpendicular distance; it measures turning effect. The weight of a body acts at its centre of mass 质心, which you can find using symmetry 对称 for a uniform flat shape (a lamina 薄片), or by treating a composite body as a set of particles.
A rigid body under coplanar forces 共面力 is in equilibrium 平衡 when two conditions both hold: the vector sum of the forces is zero, and the sum of the moments about any point is zero. A body may also be on the edge of toppling 翻倒 (turning over) or sliding 滑动 (slipping).
Worked example. A uniform beam $AB$ of length $4\ \text{m}$ and weight $100\ \text{N}$ rests on a pivot at $A$. A vertical force $F$ at $B$ keeps it horizontal. Find $F$.
Take moments about $A$ (the weight acts at the centre, $2\ \text{m}$ from $A$):
عزم القوة بالنسبة لنقطة هو قوة $\times$ مضروبة في المسافة العمودية؛ وهو يقيس تأثير الدوران. وزن الجسم يعمل في مركز كتلته، والذي يمكنك إيجاده باستخدام التناظر للشكل المستوي المتجانس (وهو صفيحة رقيقة)، أو بمعالجة الجسم المركب كمجموعة من الجسيمات.
يكون الجسم الصلب تحت تأثير قوى مستوية في حالة توازن عندما يتحقق شرطان معاً: المجموع الشعاعي للقوى يساوي صفراً، والمجموع للعزوم حول أي نقطة يساوي صفراً. قد يكون الجسم أيضاً على حافة الانهيار (التقلّب) أو الانزلاق.
مثال محلول. عارضة موحدة $AB$ طولها $4\ \text{m}$ ووزنها $100\ \text{N}$ تستند على نقطة ارتكاز عند $A$. قوة رأسية $F$ عند $B$ تبقيها أفقية. أجد $F$.
خذ العزوم حول $A$ (يعمل الوزن في المركز، على بُعد $2\ \text{m}$ من $A$):
resultant = 0 · المحصلة = 0
A body is in equilibrium when the forces add tip-to-tail back to zero. · يكون الجسم في اتزان عندما تتجمع القوى رأساً لذيل لتعود إلى الصفر.
| English | العربية |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | اللحظة |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | مركز الثقل |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | التناظر |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | الاتزان |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | السقوط |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | الانزلاق |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | السرعة الزاوية |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | التسارع المركزي |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | دائرة أفقية |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | دائرة رأسية |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | قانون هوك |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | معامل المرونة |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | الطاقة الكامنة المرنة |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تفاضلية |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of angular speed for a particle moving in a circle, and use the relation $v = r\omega$ | |
| understand that the acceleration of a particle moving in a circle with constant speed is directed towards the centre of the circle, and use the formulae $r\omega^2$ and $\frac{v^2}{r}$. | Proof of the acceleration formulae is not required. |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle moving in a horizontal circle with constant speed | |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle in a vertical circle without loss of energy. | Including finding a normal contact force or the tension in a string, locating points at which these are zero, and conditions for complete circular motion. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| افهم مفهوم السرعة الزاوية لجسيم يتحرك في دائرة، واستخدم العلاقة $v = r\omega$ | |
| افهم أن التسارع لجسيم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة يكون موجهاً نحو مركز الدائرة، واستخدم الصيغ $r\omega^2$ و$\frac{v^2}{r}$. | لا يُشترط إثبات صيغ التسارع. |
| حل المسائل التي يمكن نمذجتها بحركة جسيم يتحرك في دائرة أفقية بسرعة ثابتة | |
| حل المسائل التي يمكن نمذجتها بحركة جسيم في دائرة رأسية بدون فقدان الطاقة. | بما في ذلك إيجاد قوة التلامس العمودية أو الشدة في حبل، وتحديد النقاط التي تكون فيها هذه القوى صفراً، وشروط الحركة الدائرية الكاملة. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
For a particle moving in a circle of radius $r$, the angular speed 角速度 $\omega$ links to the speed by $v = r\omega$. The acceleration points towards the centre — the centripetal acceleration 向心加速度 — with size
In a horizontal circle 水平圆 the speed is constant — as in a conical pendulum 圆锥摆 (a mass swung on a string). In a vertical circle 竖直圆 use energy conservation, because the speed changes with height; the normal contact force 法向接触力 or string tension provides the centripetal force.
Worked example. A particle moves in a horizontal circle of radius $2\ \text{m}$ with angular speed $3\ \text{rad s}^{-1}$. Find its speed and acceleration.
بالنسبة لجسيم يتحرك في دائرة نصف قطرها $r$، يرتبط السرعة الزاوية $\omega$ بالسرعة الخطية عبر $v = r\omega$. يشير التسارع نحو المركز — وهو التسارع المركزي — بمقدار
في الدائرة الأفقية تكون السرعة ثابتة — كما في البندول المخروطي (كتلة تُرمى بخيط). في الدائرة الرأسية استخدم حفظ الطاقة، لأن السرعة تتغير مع الارتفاع؛ توفر قوة التلامس الطبيعية أو شد الخيط القوة المركزية.
مثال محلول. جسيم يتحرك في دائرة أفقية نصف قطرها $2\ \text{m}$ بسرعة زاوية $3\ \text{rad s}^{-1}$. أوجد سرعته وتسارعه.
Circular motion is measured in radians: drag the angle θ and radius r to see the arc swept — angular speed ω turns this into v = rω. · تُقاس الحركة الدائرية بالراديان: اسحب الزاوية θ ونصف القطر r لرؤية القوس المشطوف — السرعة الزاوية ω تحول ذلك إلى v = rω.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use Hooke’s law as a model relating the force in an elastic string or spring to the extension or compression, and understand the term modulus of elasticity | |
| use the formula for the elastic potential energy stored in a string or spring | Proof of the formula is not required. |
| solve problems involving forces due to elastic strings or springs, including those where considerations of work and energy are needed. | e.g. a particle moving horizontally or vertically or on an inclined plane while attached to one or more strings or springs, or a particle attached to an elastic string acting as a 'conical pendulum'. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدم قانون هوك كنموذج يربط القوة في خيط مرن أو نابض بالتمدد أو الانضغاط، وافهم مصطلح معامل المرونة | |
| استخدم الصيغة الخاصة بـ الطاقة الكامنة المرنة المخزنة في خيط أو نابض | لا يُشترط إثبات الصيغة. |
| حل المسائل المتعلقة بالقوى الناتجة عن أشرطة مرنة أو نوابض، بما في ذلك المسائل التي تتطلب اعتبارات الشغل والطاقة. | مثال: جسيم يتحرك أفقياً أو عمودياً أو على مستوى مائل وهو مربوط بخيط أو أكثر من الخيوط أو النوابض، أو جسيم مربوط بخيط مرن يعمل كـ 'نابض مخروطي'. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
Hooke's law 胡克定律 says the tension in an elastic string or spring is proportional to its extension $x$:
Worked example. An elastic string of natural length $2\ \text{m}$ and modulus $50\ \text{N}$ is stretched by $0.5\ \text{m}$. Find the tension and the stored energy.
قانون هوك ينص على أن الشد في خيط مرن أو نابض يتناسب مع مدده $x$:
مثال محلول. خيط مرن طوله الطبيعي $2\ \text{m}$ ومعامله $50\ \text{N}$ مد بمقدار $0.5\ \text{m}$. أوجد الشد والطاقة المخزنة.
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the stiffness k. · القوة متناسبة مع الاستطالة — الميل هو الصلابة k.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| solve problems which can be modelled as the linear motion of a particle under the action of a variable force, by setting up and solving an appropriate differential equation. | Including use of $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ for acceleration, where appropriate. Calculus required is restricted to content from Pure Mathematics 3 in Cambridge International A Level Mathematics (9709). Only differential equations in which the variables are separable are included. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| حل المسائل التي يمكن نمذجتها كحركة خطية لجسيم تحت تأثير قوة متغيرة، عن طريق وضع وحل معادلة تفاضلية مناسبة. | بما في ذلك استخدام $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ للتسارع، حيثما كان مناسباً. calculus المطلوب مقيد بمحتوى Pure Mathematics 3 في منهج كامبريدج الدولي A Level Mathematics (9709). يتم تضمين المعادلات التفاضلية التي تكون فيها المتغيرات قابلة للفصل فقط. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
When the force depends on position $x$, use acceleration in the form $a = v\dfrac{dv}{dx}$, which turns Newton's law into a differential equation 微分方程 relating $v$ and $x$.
Worked example. A particle of mass $8\ \text{kg}$ moves along a line under a variable force 变力 of size $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ acting in the direction of motion. When $x = 0$, $v = 1$. Find $v$ in terms of $x$.
Newton's law gives $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separating and integrating:
عندما تعتمد القوة على الموقع $x$، استخدم التسارع بصيغة $a = v\dfrac{dv}{dx}$، مما يحول قانون نيوتن إلى معادلة تفاضلية تربط بين $v$ و$x$.
مثال محلول. جسيم كتلته $8\ \text{kg}$ يتحرك على طول خط تحت تأثير قوة متغيرة مقدارها $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ تعمل في اتجاه الحركة. عندما $x = 0$، $v = 1$. أوجد $v$ بدلالة $x$.
تعطي قانون نيوتن $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. بفصل المتغيرات والتكامل:
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area under the force–distance graph. · عندما تتغير القوة، يكون الشغل المبذول هو المساحة تحت منحنى القوة–المسافة.
| English | العربية |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | قوة متغيرة |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | حفظ الزخم |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | قانون نيوتن التجريبي |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | معامل الارتداد |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | القطع المكافئ المحدد |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | رقاقة رقيقة |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | قوات مستوية |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | البندول المخروطي |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | قوة التلامس العمودية |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | اصطدام مائل |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| recall Newton’s experimental law and the definition of the coefficient of restitution, the property $0 \leqslant e \leqslant 1$, and the meaning of the terms ‘perfectly elastic’ ($e = 1$) and ‘inelastic’ ($e = 0$) | |
| use conservation of linear momentum and/or Newton’s experimental law to solve problems that may be modelled as the direct or oblique impact of two smooth spheres, or the direct or oblique impact of a smooth sphere with a fixed surface. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استذكر قانون نيوتن التجريبي وتعريف معامل الاسترداد، الخاصية $0 \leqslant e \leqslant 1$، ومعنى المصطلحات ‘مرن تماماً’ ($e = 1$) و‘غير مرن’ ($e = 0$) | |
| استخدم حفظ الزخم الخطي و/أو قانون نيوتن التجريبي لحل المسائل التي يمكن نمذجتها كـ اصطدام مباشر أو مائل لكرتين أملسيتين، أو اصطدام مباشر أو مائل لكرة أملسة بسطح ثابت. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
In a collision, total linear momentum is conserved — the conservation of linear momentum 动量守恒. The bounciness is measured by Newton's experimental law 牛顿实验定律, which defines the coefficient of restitution 恢复系数 $e$:
Worked example. A sphere $A$ of mass $2\ \text{kg}$ moving at $5\ \text{m s}^{-1}$ hits a stationary sphere $B$ of mass $3\ \text{kg}$, with $e = 0.5$. Find the speeds afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, so $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Solving together gives $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ and $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
في التصادم، يُحفظ الزخم الخطي الكلي — حفظ الزخم الخطي. يقاس المرونة بـ قانون نيوتن التجريبي، الذي يُعرّف معامل الاسترداد $e$:
مثال محلول. كرة $A$ كتلتها $2\ \text{kg}$ تتحرك بسرعة $5\ \text{m s}^{-1}$ تصطدم بكرة ثابتة $B$ كتلتها $3\ \text{kg}$، مع $e = 0.5$. أوجد السرعات بعد الاصطدام.
الزخم: $2(5) = 2v_A + 3v_B$، إذن $2v_A + 3v_B = 10$. الاسترداد: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. بحلهما معاً نحصل على $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ و$v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Set each mass and speed, then collide them. Total momentum is conserved — see how the velocities come out. · ضبط كتلة وسرعة كل جسم ثم تصادمهما. كمية التحرك الكلية محفوظة — شاهد كيف تظهر السرعات الناتجة.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
Past Papers · أوراق الامتحانات السابقة
Loading subjects… · جار تحميل المواضيع…