- understand that an electric field is an example of a field of force and define electric field as force per unit positive charge
- recall and use $F = qE$ for the force on a charge in an electric field
- represent an electric field by means of field lines
电场
A-Level 物理 · 第 18 主题
18.1
电场与电场线
大纲
来源:剑桥国际大纲
电场(electric field)是一个电荷会感受到来自其他电荷的力(force)的区域。某点的电场强度(electric field strength)$E$ 是放在那里的一个小的正检验电荷(test charge)所受的每单位正电荷的力:
$$E = \frac{F}{q}.$$
单位:$\text{N C}^{-1}$(与 $\text{V m}^{-1}$ 相同,我们将看到)。$E$ 是一个矢量(vector),指向力对一个正电荷作用的方向。一个电荷 $q$ 所受的力是
$$F = qE,$$
若 $q$ 为负则与场相反。
场线
- 场线(field lines)指向力对一个正检验电荷作用的方向。
- 场线始于正电荷,终于负电荷(或去向无穷远)。
- 场线决不相交;场线越密表示场越强。
例子:一个正点电荷(point charge)有向外指的径向线;一个负的有向内指的线;两个异号电荷(一个偶极子(dipole))有从 + 弯向 − 的线;两块平行带电板给出等间距平行线的匀强场(uniform field)。
探索
Electric fields
E ∝ Q / r²
A charge sets up a radial field — out for +, in for −, obeying the inverse-square law.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| electric field | 电场 | diàn chǎng |
| force | 力 | lì |
| electric field strength | 电场强度 | diàn chǎng qiáng dù |
| test charge | 检验电荷 | jiǎn yàn diàn hè |
| vector | 矢量 | shǐ liàng |
| field line | 场线 | chǎng xiàn |
| point charge | 点电荷 | diǎn diàn hè |
| dipole | 偶极子 | ǒu jí zi |
| uniform field | 匀强场 | yún qiáng chǎng |
18.2
匀强电场
大纲
- recall and use $E = \Delta V / \Delta d$ to calculate the field strength of the uniform field between charged parallel plates
- describe the effect of a uniform electric field on the motion of charged particles
来源:剑桥国际大纲
在相距 $d$、之间有电势差(potential difference)$V$ 的两块平行板之间,场是匀强的(除边缘效应外),大小为
$$E = \frac{V}{d}.$$
它从电势较高的板指向较低的板。单位 $\text{V m}^{-1}$ 直接由此而来,并等于 $\text{N C}^{-1}$。
例题。 相距 $5.0\ \text{mm}$ 的两块平行板之间有 $200\ \text{V}$ 的电势差。求场强,以及间隙中一个电子所受的力。($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$。)
$$E = \frac{V}{d} = \frac{200}{5.0 \times 10^{-3}} = 4.0 \times 10^{4}\ \text{V m}^{-1}, \qquad F = qE = (1.6 \times 10^{-19})(4.0 \times 10^{4}) = 6.4 \times 10^{-15}\ \text{N}.$$
匀强场中的带电粒子
匀强场中的电荷 $q$ 感受到一个恒力 $F = qE$,所以一个恒定加速度 $a = qE/m$——就像匀强重力场中的一个质量。
- 从静止释放,它沿场加速(正电荷)或逆场加速(负电荷),获得动能(kinetic energy)。
- 垂直于场进入,它沿一条抛物线(parabolic)路径运动——像重力中的一个抛体(projectile)。这就是阴极射线管(cathode-ray tube)从前偏转它的束的方法。
探索
Uniform electric field lab
Follow how a charge behaves between parallel plates.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| potential difference | 电势差 | diàn shì chà |
| kinetic energy | 动能 | dòng néng |
| parabolic | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| projectile | 抛体 | pāo tǐ |
| cathode-ray tube | 阴极射线管 | yīn jí shè xiàn guǎn |
18.3
点电荷间的电场力
大纲
- understand that, for a point outside a spherical conductor, the charge on the sphere may be considered to be a point charge at its centre
- recall and use Coulomb’s law $F = Q_1Q_2 / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ for the force between two point charges in free space
来源:剑桥国际大纲
对于自由空间中相距 $r$ 的两个点电荷 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$,每个感受到大小为下式的力
$$F = \frac{Q_{1} Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.$$
这就是库仑定律(Coulomb's law)。这里 $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ 是真空电容率(permittivity of free space),$1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$。力沿连接电荷的连线:同号电荷相斥,异号电荷相吸。
例题。 求相距 $4.0\ \text{cm}$ 放置的 $+2.0\ \text{nC}$ 和 $+3.0\ \text{nC}$ 点电荷之间的静电力。($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$。)
$$F = \frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = \frac{(9.0 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-9})(3.0 \times 10^{-9})}{(0.040)^{2}} \approx 3.4 \times 10^{-5}\ \text{N (repulsive).}$$
把球当作点电荷
一个总电荷为 $Q$ 的球形导体(conductor),在外部任何一点给出与位于其中心的点电荷 $Q$ 相同的场(从中心量 $r$)。在一个空心带电导体内部场为零,所以导体是一个等势面(equipotential)。
探索
Coulomb's law
F ∝ Qq / r²
Like charges repel, unlike attract — and the force follows 1/r².
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| Coulomb's law | 库仑定律 | kù lún dìng lǜ |
| permittivity of free space | 真空电容率 | zhēn kōng diàn róng lǜ |
| conductor | 导体 | dǎo tǐ |
| equipotential | 等势面 | děng shì miàn |
18.4
点电荷的电场
大纲
- recall and use $E = Q / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ for the electric field strength due to a point charge in free space
来源:剑桥国际大纲
库仑定律给出两个电荷之间的力。用检验电荷去除它($E = F/q$),你就剩下源电荷 $Q$ 单独的场。距离点电荷 $Q$ 为 $r$ 处的场是
$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.$$
它从正 $Q$ 向外指,朝负 $Q$ 向内指,并按 $1/r^{2}$ 衰减——正如重力场(gravitational field)强度,只是重力总是吸引。对于几个电荷,把场作为矢量和(vector sum)相加。
探索
Field around a point charge
Change the charge. Field lines point away from positive and toward negative, and crowd together where the field is strongest.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| gravitational field | 重力场 | zhòng lì chǎng |
| vector sum | 矢量和 | shǐ liàng hé |
18.5
电势
大纲
- define electric potential at a point as the work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to the point
- recall and use the fact that the electric field at a point is equal to the negative of potential gradient at that point
- use $V = Q / (4\pi\varepsilon_0 r)$ for the electric potential in the field due to a point charge
- understand how the concept of electric potential leads to the electric potential energy of two point charges and use $E_P = Qq / (4\pi\varepsilon_0 r)$
来源:剑桥国际大纲
某点的电势(electric potential)$V$ 是把一个小的正检验电荷从无穷远(infinity)带到那一点所做的每单位正电荷的功:
$$V = \frac{W}{q}.$$
单位:$\text{V}$。电势在无穷远处为零。对于正源电荷,外部处处 $V > 0$;对于负源电荷,$V < 0$。
点电荷的电势
$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r}.$$
注意这里的 $1/r$(相比场的 $1/r^{2}$)。$V$ 是一个标量(scalar);对于几个电荷,把电势相加(带符号)。
例题。 求距离一个 $+3.0\ \text{nC}$ 点电荷 $4.0\ \text{cm}$ 处的电势。($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$。)
$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r} = \frac{(9.0 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-9})}{0.040} \approx 6.8 \times 10^{2}\ \text{V}.$$
因为电势是一个标量,几个电荷的电势就是它们的和(各带自己的符号)——没有方向要分解。
场与电势的联系
场等于电势梯度(potential gradient)的负值:
$$E = -\frac{dV}{dx}.$$
在平行板之间 $V$ 随位置均匀变化,给出与之前一样的 $E = V/d$。负号意味着场指向较低的电势。对于点电荷,$-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$。
电势能
处于电势为 $V$ 的一点的电荷 $q$ 有电势能(electric potential energy)$E_{\text{P}} = qV$。对于相距 $r$ 的两个点电荷 $Q$ 和 $q$:
$$E_{\text{P}} = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0} r}.$$
- 同号电荷:$E_{\text{P}} > 0$——储存的能量,如果它们飞开会被释放。
- 异号电荷:$E_{\text{P}} < 0$——一个束缚(bound)系统;必须提供能量才能把它们分开。
两种情况下当 $r \to \infty$ 时 $E_{\text{P}} \to 0$。
例题模式
一个电子(electron)在距离 $r$ 处绕一个电荷为 $+Ze$ 的原子核(nucleus)运行。库仑吸引提供向心力(centripetal force):
$$\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = \frac{m_{e} v^{2}}{r}, \qquad v = \sqrt{\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} m_{e} r}}.$$
总能量是动能加势能:
$$E_{\text{total}} = \tfrac{1}{2} m_{e} v^{2} - \frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r} = -\frac{Z e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r},$$
它是负的(一个束缚态)。
重力对电
这两个场理论看起来相似:
| 量 | 重力 | 电 |
|---|---|---|
| 源 | 质量 $M$(总为正) | 电荷 $Q$(可为 ±) |
| 场强 | $g = GM/r^{2}$ | $E = Q/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ |
| 对检验物体的力 | $F = mg$ | $F = qE$ |
| 势 | $\phi = -GM/r$ | $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0} r)$ |
| 两者的势能 | $-GMm/r$ | $Qq/(4\pi\varepsilon_{0} r)$ |
| 性质 | 总是吸引 | 吸引或排斥 |
引力势(gravitational potential)中的负号反映了重力总是吸引;电势取源电荷的符号。
探索
Electric potential
V = kQ / r
Potential ∝ 1/r around a charge — steep near it, flattening out.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| electric potential | 电势 | diàn shì |
| infinity | 无穷远 | wú qióng yuǎn |
| scalar | 标量 | biāo liàng |
| potential gradient | 电势梯度 | diàn shì tī dù |
| electric potential energy | 电势能 | diàn shì néng |
| bound | 束缚 | shù fù |
| electron | 电子 | diàn zi |
| nucleus | 原子核 | yuán zǐ hé |
| centripetal force | 向心力 | xiàng xīn lì |
| gravitational potential | 引力势 | yǐn lì shì |
18.5
考试技巧
- 库仑定律 $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^2$(平方反比,但可吸引或排斥)。
- 区分匀强场($E = V/d$,板之间)和径向场($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$)。
- 电势 $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$(符号跟随电荷);场从高电势指向低电势。
本主题的互动课程
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