圆周运动

弧度(radian)是圆心处由一段长度等于半径的弧(arc)所对的角。对于半径为 $r$ 的圆上长度为 $s$ 的弧,以弧度表示的角是

弧度没有单位(两个长度的比值)。一个整圆 $s = 2\pi r$,所以 $\theta = 2\pi\ \text{rad}$。半圆是 $\pi\ \text{rad}$;四分之一圆是 $\pi/2\ \text{rad}$。

换算:$1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$。本主题要把计算器设为弧度;"度"模式会给出错误答案。

一分的定义。 弧度是圆心处由一段长度等于圆半径的弧所对的角。 要用文字给出——单写 $\theta = s/r$ 不算定义——并且把 $s = r\theta$ 备好,用来把沿弧的距离换成角度,或反过来。

一个物体以恒定速率 $v$ 在半径为 $r$ 的圆上运动。定义:

• 角位移(angular displacement)$\theta$——半径从选定起始线转过的角(以弧度计)。
• 角速度(angular speed)$\omega$——角位移的变化率。

对于匀速运动 $\omega$ 是常数,且

单位:$\text{rad s}^{-1}$。

什么不变、什么在变。 匀速圆周运动中,速率、角速度、周期和加速度的大小不变;速度、离圆心的位移和加速度都在连续变化,因为它们的方向在变。被要求"说出两个变化的量"时,从速度、加速度、位移和动量中任选两个——并说明变的是方向。

周期和频率

如果物体在时间 $T$(周期(period))内绕一圈(revolution,$2\pi\ \text{rad}$),那么

其中 $f = 1/T$ 是转动的频率(frequency,Hz)。

线速度和角速度

在一个周期 $T$ 内物体以恒定速率走过距离 $2\pi r$(周长(circumference)),所以

这把线(切向(tangential))速度 $v$ 与角速度 $\omega$ 联系起来。在较大的半径处(对相同的角速度),线速度较大——旋转木马边缘的孩子比靠近中心的孩子运动得更快,尽管两者绕一圈用相同的时间。

例题。 一个半径 $4.0\ \text{m}$ 的游乐设施每 $8.0\ \text{s}$ 转一圈。求它的角速度和边缘乘客的线速度。

例题。 钟的分针每小时转一圈。分针上的一块橡皮泥在 $1400\ \text{s}$ 内走过总距离 $0.44\ \text{m}$。求分针的角速度、橡皮泥在这段时间内转过的角度,以及它离钟心的距离。

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$。角位移 $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$。沿弧的距离 $s = r\theta$,所以 $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$。检验:$v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$,而 $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$——相同。这类题的一个常见陷阱是半径从边缘量起:在半径 $9.3\ \text{cm}$ 的圆盘上距边缘 $1.2\ \text{cm}$ 的一块泥,做的是半径 $8.1\ \text{cm}$ 的圆周运动。

例题。 自行车链条绕过半径 $0.095\ \text{m}$ 的脚踏齿盘和半径 $0.038\ \text{m}$ 的后轮齿盘。脚踏每秒转 $1.2$ 圈。求链条的速率和后齿盘的角速度。然后把链条换到一个更小的后齿盘上,而自行车的速率不变;不计算地解释脚踏的角速度会怎样。

脚踏角速度 $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$。链条的每一节都以脚踏齿盘边缘的速率运动:$v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$。后齿盘的边缘以同样的速率运动,所以 $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$。自行车速率不变,后轮保持同样的角速度;更小的齿盘边缘因此运动得更慢($v = r\omega$,$r$ 更小),链条运动得更慢,由同一条链条驱动的脚踏齿盘就以更低的角速度转动。

一个以恒定速率在圆上运动的物体仍有变化的速度(velocity)——它的方向一直在变,尽管它的大小保持不变。变化的速度需要一个加速度(acceleration)。这个加速度指向圆心,是向心加速度(centripetal acceleration)。

两分的描述。 在匀速圆周运动中速率不变,但速度在连续变化,因为它的方向在变;加速度大小不变,始终指向圆心,与速度垂直。"说明向心加速度的含义":沿圆形路径运动的物体的加速度,指向圆心。

大小

因为 $v = r\omega$,这两种形式相等。选用含你已有量的那个。

向心加速度在每一时刻都垂直(perpendicular)于速度——决不沿运动方向。(如果它的一部分沿运动方向,速率就会改变。)单位:$\text{m s}^{-2}$。

为什么速率不变。 向心力在每一时刻都与位移垂直,所以它对物体不做功;物体的动能、从而速率保持不变。变的只有速度的方向——这正是与速度垂直的加速度所做的事。

例题。 地球是半径 $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ 的球,每 $24$ 小时自转一周。剑桥在北纬(latitude)$52.2°$。求剑桥所在圆周的半径、它的速率和向心加速度。一名质量 $58.6\ \text{kg}$ 的学生站在那里的体重秤上;说明并解释自转对读数的影响。

圆周是绕轴的,所以 $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$。$\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$,所以 $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$,$a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$。学生需要一个指向轴的合力 $ma = 1.2\ \text{N}$,它只能来自重力大于向上的支持力;所以秤的读数小于重力 $mg = 575\ \text{N}$——小约一牛顿(加速度沿竖直方向的分量为 $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$,即 $1.2\ \text{N}$ 中的 $0.7\ \text{N}$)。数值很小,但符号和理由才是得分点。

由牛顿第二定律,一个以恒定速率做圆周运动的物体所受的合力(force)是

这就是向心力(centripetal force)。它总是指向圆心——垂直于速度。

向心力不是一种新的力——它是所作用的真实的力(张力、重力、摩擦、电吸引、支持力……)的净结果。在一道题中,弄清楚是哪个(些)真实的力提供了它。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球系在一根绳上,以 $3.0\ \text{m s}^{-1}$ 在半径 $0.50\ \text{m}$ 的水平圆上旋转。求向心力(绳中的张力)。

向心力从何而来

• 水平圆上系在绳上的球:绳中的张力(tension)。
• 汽车转平弯:轮胎与路面之间的摩擦力(friction,$F = m v^{2}/r$)。如果车太快,摩擦不够,它会向外打滑。
• 倾斜的弯道(banked corner,无摩擦):支持力(normal contact force)的水平部分;不需要摩擦的角度满足 $\tan\theta = v^{2}/(rg)$。
• 轨道(orbit)上的行星或卫星(satellite):引力(gravitational attraction),$G M m / r^{2} = m v^{2}/r$。
• 圆轨道上的电子(electron,玻尔式模型):电子与带正电的原子核(nucleus)之间的静电(electrostatic)吸引:

其中 $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$,$Z$ 是核电荷。解出 $v$ 得到轨道速率;然后 $T = 2\pi r/v$。

倾斜的力:圆锥摆、圆锥和旋转飞椅

系在绳上在水平圆内甩动的球(圆锥摆(conical pendulum))、在光滑圆锥内壁滚动的球、游乐场旋转飞椅上的座椅、倾斜赛道上的汽车,都是同一个问题:某个力(张力或支持力)与竖直方向倾斜成角 $\theta$。把它分解。它的竖直分量平衡重力;它的水平分量就是全部的向心力:

绝不要在图上再加一个单独的"向心力":两个真实的力是重力和那个倾斜的力,它们的合力是水平的、指向圆心。

例题。 一个钢球在一个圆锥光滑内表面上做半径 $0.12\ \text{m}$ 的水平圆周运动,锥面与水平方向成 $52°$。说出球受的两个力,说明它们合力的方向,并求球的速率和运动的周期。

两个力是重力(竖直向下)和锥面的支持力(垂直于锥面,所以与竖直方向成 $52°$);它们的合力是水平的、指向圆心。竖直方向 $N\cos 52° = mg$;水平方向 $N\sin 52° = mv^{2}/r$。相除:$v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$,所以 $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$,$T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$。质量约掉了——速率与它无关。

例题。 一个质量 $0.29\ \text{kg}$ 的球挂在劲度系数 $40\ \text{N m}^{-1}$、原长 $6.0\ \text{cm}$ 的弹簧上。让它做水平圆周运动,使弹簧与竖直方向成 $30°$。求张力、圆的半径和速率。

竖直方向 $T\cos 30° = mg$,所以 $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$。伸长量 $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$,所以弹簧长度为 $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$,$r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$。水平方向 $T\sin 30° = mv^{2}/r$:$v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$,$v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$。胡克定律给出长度;圆周运动给出其余。

竖直圆

当圆是竖直的时,速率不是恒定的(重力做功)——但在每一时刻,指向圆心的净力仍等于 $m v^{2}/r$:

• 在环的底部:张力向上、重力(weight)向下,所以 $T - mg = m v^{2}/r$——张力在这里最大。
• 在环的顶部:张力和重力都指向下(朝向圆心),所以 $T + mg = m v^{2}/r$——张力最小。对于顶部绳刚好绷紧时的最慢速率,令 $T = 0$:$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$,得 $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$。

例题。 一辆车绕一个半径 $2.0\ \text{m}$ 的竖直环行驶。求车在顶部保持与轨道接触的最小速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

在最慢速率时轨道力为零,所以仅由重力提供向心力:$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$,得 $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

恒定速率的结论($v = r\omega$,$\omega$ 恒定)适用于水平圆,或力只使路径弯曲的情形(重力中的轨道、磁场(magnetic field)中的电荷)。

场中的圆周运动

例题。 氦原子被模型化为一个电荷 $+2e$ 的原子核和两个在同一半径 $170\ \text{pm}$ 的圆轨道上、始终位于原子核两侧的电子。求一个电子所受的合电场力及其速率。

每个电子受相距 $r$ 的原子核吸引,并受相距 $2r$、在同一直线上的另一个电子排斥:$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$。这就是向心力:$v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$。

例题。 一个质子(质量 $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$)以 $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ 垂直进入磁通密度 $0.50\ \text{T}$ 的匀强磁场。求它的路径半径和转一圈的时间。

磁场力 $Bqv$ 始终与速度垂直,所以它是向心力,速率不变:由 $Bqv = mv^{2}/r$ 得 $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$,而 $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$——与速率无关,这就是为什么更快的质子在同样的时间内画出更大的圆。对卫星,引力扮演同样的角色:$\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$,轨道速率和周期仅由 $r$ 决定。

1. 找出半径 $r$ 并选择 $v$ 或 $\omega$。用 $v = r\omega$ 在它们之间切换。
2. 用 $a = v^{2}/r$ 或 $r\omega^{2}$ 求向心加速度。
3. 列出真实的力,并在径向(radial)方向写牛顿第二定律(指向圆心为正)。令净向内的力等于 $m v^{2}/r$。
4. 对于周期或频率:用 $\omega = 2\pi/T$,或 $T = 2\pi r / v$。
5. 检查方向:向心力和加速度指向圆心;速度沿切线方向。

定义题按固定措辞给分。把这些记准,并且只给一个答案。

• 用弧度;角速度 $\omega = 2\pi/T = v/r$,弧长 $s = r\theta$ 把沿圆周的距离换成角度。
• 向心加速度 $a = v^2/r = \omega^2 r$;净力指向圆心——由张力/重力/摩擦力/接触力提供,不是额外的力。
• 在给定情境中总要说明是什么提供了向心力;对倾斜的力要分解:竖直分量 $= mg$,水平分量 $= mv^{2}/r$。
• 仔细读半径:从边缘量起的点做更小的圆周运动;自转地球上的点绕轴做圆周运动,半径 $R\cos\lambda$。
• 同一条链条上的两个齿盘共享链条的速率;同一刚性轮上的两点共享它的角速度。

常见错误

• 把弧度定义为"$180/\pi$ 度"或 $\theta = s/r$。得分需要"弧长等于半径"。
• 说匀速圆周运动中速度不变。不变的是速率;速度方向在变,这正是有加速度的原因。
• 在张力或接触力旁边再画一个"向心力"箭头。它是它们的合力,不是第三个力。
• 在 $\omega t$ 或 $v = r\omega$ 中用度。本专题的每个公式都默认弧度。
• 忘了这个力不做功:与运动垂直的力改变方向而不改变速率,所以动能不变。
• 把纬度 $\lambda$ 处的点的 $r$ 取为地球半径。圆周绕轴,所以 $r = R\cos\lambda$。