- define the radian and express angular displacement in radians
- understand and use the concept of angular speed
- recall and use $\omega = 2\pi / T$ and $v = r\omega$
圆周运动
A-Level 物理 · 第 12 主题
12.1
匀速圆周运动的运动学
大纲
来源:剑桥国际大纲
弧度(radian)是圆心处由一段长度等于半径的弧(arc)所对的角。对于半径为 $r$ 的圆上长度为 $s$ 的弧,以弧度表示的角是
$$\theta = \frac{s}{r}.$$
弧度没有单位(两个长度的比值)。一个整圆 $s = 2\pi r$,所以 $\theta = 2\pi\ \text{rad}$。半圆是 $\pi\ \text{rad}$;四分之一圆是 $\pi/2\ \text{rad}$。
换算:$1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$。本主题要把计算器设为弧度;"度"模式会给出错误答案。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| radian | 弧度 | hú dù |
| arc | 弧 | hú |
12.1
匀速圆周运动:角速度
一个物体以恒定速率 $v$ 在半径为 $r$ 的圆上运动。定义:
- 角位移(angular displacement)$\theta$——半径从选定起始线转过的角(以弧度计)。
- 角速度(angular speed)$\omega$——角位移的变化率。
对于匀速运动 $\omega$ 是常数,且
$$\omega = \frac{\theta}{t}.$$
单位:$\text{rad s}^{-1}$。
周期和频率
如果物体在时间 $T$(周期(period))内绕一圈(revolution,$2\pi\ \text{rad}$),那么
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f,$$
其中 $f = 1/T$ 是转动的频率(frequency,Hz)。
线速度和角速度
在一个周期 $T$ 内物体以恒定速率走过距离 $2\pi r$(周长(circumference)),所以
$$v = \frac{2\pi r}{T} = r \omega.$$
这把线(切向(tangential))速度 $v$ 与角速度 $\omega$ 联系起来。在较大的半径处(对相同的角速度),线速度较大——旋转木马边缘的孩子比靠近中心的孩子运动得更快,尽管两者绕一圈用相同的时间。
例题。 一个半径 $4.0\ \text{m}$ 的游乐设施每 $8.0\ \text{s}$ 转一圈。求它的角速度和边缘乘客的线速度。
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8.0} = 0.79\ \text{rad s}^{-1}, \qquad v = r\omega = 4.0 \times 0.79 = 3.1\ \text{m s}^{-1}.$$
探索
Angular speed
s = rθ
Angular speed turns angle per time; arc length s = rθ.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| angular displacement | 角位移 | jiǎo wèi yí |
| angular speed | 角速度 | jiǎo sù dù |
| revolution | 圈 | quān |
| period | 周期 | zhōu qī |
| frequency | 频率 | pín lǜ |
| circumference | 周长 | zhōu cháng |
| tangential | 切向 | qiè xiàng |
12.2
向心加速度
大纲
- understand that a force of constant magnitude that is always perpendicular to the direction of motion causes centripetal acceleration
- understand that centripetal acceleration causes circular motion with a constant angular speed
- recall and use $a = r\omega^2$ and $a = v^2 / r$
- recall and use $F = mr\omega^2$ and $F = mv^2 / r$
来源:剑桥国际大纲
一个以恒定速率在圆上运动的物体仍有变化的速度(velocity)——它的方向一直在变,尽管它的大小保持不变。变化的速度需要一个加速度(acceleration)。这个加速度指向圆心,是向心加速度(centripetal acceleration)。
大小
$$a = \frac{v^{2}}{r} = r\omega^{2}.$$
因为 $v = r\omega$,这两种形式相等。选用含你已有量的那个。
向心加速度在每一时刻都垂直(perpendicular)于速度——决不沿运动方向。(如果它的一部分沿运动方向,速率就会改变。)单位:$\text{m s}^{-2}$。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| velocity | 速度 | sù dù |
| acceleration | 加速度 | jiā sù dù |
| centripetal acceleration | 向心加速度 | xiàng xīn jiā sù dù |
| perpendicular | 垂直 | chuí zhí |
12.2
向心力
由牛顿第二定律,一个以恒定速率做圆周运动的物体所受的合力(force)是
$$F = m a = \frac{m v^{2}}{r} = m r \omega^{2}.$$
这就是向心力(centripetal force)。它总是指向圆心——垂直于速度。
向心力不是一种新的力——它是所作用的真实的力(张力、重力、摩擦、电吸引、支持力……)的净结果。在一道题中,弄清楚是哪个(些)真实的力提供了它。
例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球系在一根绳上,以 $3.0\ \text{m s}^{-1}$ 在半径 $0.50\ \text{m}$ 的水平圆上旋转。求向心力(绳中的张力)。
$$F = \frac{mv^{2}}{r} = \frac{0.20 \times 3.0^{2}}{0.50} = 3.6\ \text{N}.$$
向心力从何而来
- 水平圆上系在绳上的球:绳中的张力(tension)。
- 汽车转平弯:轮胎与路面之间的摩擦力(friction,$F = m v^{2}/r$)。如果车太快,摩擦不够,它会向外打滑。
- 倾斜的弯道(banked corner,无摩擦):支持力(normal contact force)的水平部分;不需要摩擦的角度满足 $\tan\theta = v^{2}/(rg)$。
- 轨道(orbit)上的行星或卫星(satellite):引力(gravitational attraction),$G M m / r^{2} = m v^{2}/r$。
- 圆轨道上的电子(electron,玻尔式模型):电子与带正电的原子核(nucleus)之间的静电(electrostatic)吸引:
$$\frac{kZe^{2}}{r^{2}} = \frac{m_{e} v^{2}}{r},$$
其中 $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$,$Z$ 是核电荷。解出 $v$ 得到轨道速率;然后 $T = 2\pi r/v$。
竖直圆
当圆是竖直的时,速率不是恒定的(重力做功)——但在每一时刻,指向圆心的净力仍等于 $m v^{2}/r$:
- 在环的底部:张力向上、重力(weight)向下,所以 $T - mg = m v^{2}/r$——张力在这里最大。
- 在环的顶部:张力和重力都指向下(朝向圆心),所以 $T + mg = m v^{2}/r$——张力最小。对于顶部绳刚好绷紧时的最慢速率,令 $T = 0$:$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$,得 $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$。
例题。 一辆车绕一个半径 $2.0\ \text{m}$ 的竖直环行驶。求车在顶部保持与轨道接触的最小速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。
在最慢速率时轨道力为零,所以仅由重力提供向心力:$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$,得 $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:
$$v_{\text{min}} = \sqrt{9.81 \times 2.0} \approx 4.4\ \text{m s}^{-1}.$$
恒定速率的结论($v = r\omega$,$\omega$ 恒定)适用于水平圆,或力只使路径弯曲的情形(重力中的轨道、磁场(magnetic field)中的电荷)。
探索
Centripetal force and speed
F = mv²/r
For circular motion the force needed grows with the square of the speed — double v, four times the force.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| force | 力 | lì |
| centripetal force | 向心力 | xiàng xīn lì |
| tension | 张力 | zhāng lì |
| friction | 摩擦力 | mó cā lì |
| banked | 倾斜 | qīng xié |
| normal contact force | 支持力 | zhī chí lì |
| satellite | 卫星 | wèi xīng |
| orbit | 轨道 | guǐ dào |
| gravitational attraction | 引力 | yǐn lì |
| electron | 电子 | diàn zi |
| electrostatic | 静电 | jìng diàn |
| nucleus | 原子核 | yuán zǐ hé |
| weight | 重力 | zhòng lì |
| magnetic field | 磁场 | cí chǎng |
12.2
如何组织圆周运动题的答案
- 找出半径 $r$ 并选择 $v$ 或 $\omega$。用 $v = r\omega$ 在它们之间切换。
- 用 $a = v^{2}/r$ 或 $r\omega^{2}$ 求向心加速度。
- 列出真实的力,并在径向(radial)方向写牛顿第二定律(指向圆心为正)。令净向内的力等于 $m v^{2}/r$。
- 对于周期或频率:用 $\omega = 2\pi/T$,或 $T = 2\pi r / v$。
- 检查方向:向心力和加速度指向圆心;速度沿切线方向。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| radial | 径向 | jìng xiàng |
12.2
考试技巧
- 用弧度;角速度 $\omega = 2\pi/T = v/r$。
- 向心加速度 $a = v^2/r = \omega^2 r$;净力指向圆心——它由张力/重力/摩擦提供,不是一个额外的力。
- 在给定情境中总要说明是什么提供了向心力。
本主题的互动课程
逐步学习,并即时检测练习。