A-Level 数学

一个二次式(quadratic)是形如 $ax^2 + bx + c$ 的一个表达式,其中 $a \neq 0$。字母 $a$、$b$、$c$ 是系数(coefficients,固定的数)。这一节的大部分是关于解方程 $ax^2 + bx + c = 0$。

Completing the square

配方(complete the square)意味着把二次式写成

这个形式有用:它在 $(-p,\ q)$ 显示曲线的顶点(vertex,转折点),而且它给出一个解方程的快速方法。

例题。 把 $9x^2 - 36x + 8$ 写成 $p(x + q)^2 + r$ 的形式。

把因子 $9$ 从前两项提出来,然后在里面配方:

所以 $p = 9$,$q = -2$,$r = -28$。

The discriminant

$ax^2 + bx + c$ 的判别式(discriminant)是

它告诉你方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有多少个实根(real roots,实数解):

判别式	根
$b^2 - 4ac > 0$	两个相异(distinct)实根
$b^2 - 4ac = 0$	一个重复的实根
$b^2 - 4ac < 0$	没有实根

例题。 求常数 $k$ 的值,使 $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ 有两个相异实根。

这里 $a = 3k$,$b = k + 8$,$c = 3$。要两个相异实根你需要 $b^2 - 4ac > 0$:

因式分解:$(k - 4)(k - 16) > 0$,所以 $k < 4$ 或 $k > 16$。你也需要 $a \neq 0$,所以 $k \neq 0$。

Quadratic equations and inequalities

要解一个二次方程(quadratic equation),因式分解、配方,或用公式

要解一个二次不等式(quadratic inequality)如 $(k - 4)(k - 16) > 0$,找到两个根,然后决定每个根的哪一侧使陈述成立。抛物线(parabola)的一个草图有帮助:曲线在根外面在 $x$ 轴之上(正),在它们之间在它之下(负)。

Simultaneous equations

要解一对联立方程(simultaneous equations),其中一个是线性的、一个是二次的,用代入(substitution):把线性方程重排解出一个字母,然后把它代入二次方程。这给出一个单一的二次方程去解。

Equations that are quadratic in disguise

一些方程在 $x$ 的某个函数上是二次的。例如 $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ 在 $x^2$ 上是二次的:令 $u = x^2$,解 $u^2 - 5u + 4 = 0$,然后回到 $x$。你会在三角学中再次用这个思想。

一个函数(function)是把每个输入送到恰好一个输出的一个规则。把它写作 $f(x)$。复合函数(composition of functions)$fg(x)$ 意味着先应用 $g$,然后对结果应用 $f$。

• 定义域(domain)是允许的输入 $x$ 的集合。
• 值域(range)是函数实际产生的输出的集合。

若不同的输入总是给出不同的输出,一个函数是一一对应(one-one)的。(没有输出被重复。)只有一一对应的函数才有一个反函数(inverse function)$f^{-1}$,它逆转规则。

两个函数的复合(composition)意味着一个接一个地做。$fg(x)$ 意味着"先做 $g$,然后 $f$":$fg(x) = f(g(x))$。复合函数 $fg$ 只在 $g$ 的值域位于 $f$ 的定义域内时存在。

Finding an inverse

要找 $f^{-1}$:写 $y = f(x)$,把 $x$ 变成主语,然后交换字母。

例题。 函数 $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ 对 $x \geqslant 0$ 定义。求 $f^{-1}(x)$。

写 $y = (x + 3)^2 - 12$ 并解出 $x$:

你取正平方根,因为 $x \geqslant 0$ 意味着 $x + 3 \geqslant 3 > 0$。所以

Graphs of inverses and transformations

$y = f^{-1}(x)$ 的图形是 $y = f(x)$ 在直线 $y = x$ 中的反射(reflection)。

你应当知道 $y = f(x)$ 的这些变换(transformations):

新方程	对图形的效果
$y = f(x) + a$	向上平移(translation)$a$
$y = f(x + a)$	向左平移 $a$
$y = a\,f(x)$	在 $y$ 方向的伸缩(stretch),比例因子 $a$
$y = f(ax)$	在 $x$ 方向的伸缩,比例因子 $\tfrac{1}{a}$

当两个变换被组合时,顺序可能重要。完整地陈述每一个(类型、方向和量)。

坐标几何(coordinate geometry)用它们的方程研究直线和圆。

Straight lines

连接 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的直线的斜率(gradient,陡度)是

你可以把直线方程(equation of a straight line)写成这些形式的任何一个: 当两条直线的斜率相等时它们平行(parallel),当它们斜率的乘积是 $-1$ 时它们垂直(perpendicular,成直角)。

Circles

圆心(centre)$(a, b)$、半径(radius)$r$ 的圆(circle)有方程

一个展开的形式如 $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ 是同一个圆:对 $x$ 和 $y$ 配方以找到圆心和半径。

圆的一条切线(tangent)在一个点触到它,并在那个点垂直于半径。这个直角事实解决大多数圆的问题。

例题。 点 $P(1, 1)$ 和 $Q(7, 11)$ 是一个圆的一条直径(diameter)的端点。求圆的方程。

圆心是 $PQ$ 的中点:

半径是 $PQ$ 长度的一半: 所以圆是 $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$。

Radians

一个弧度(radian)是另一种测量角的方式。一个弧度是一个圆的中心处截出一段长度等于半径的弧(arc)的角。弧度和度(degrees)之间的联系是

所以要把度变成弧度,乘以 $\dfrac{\pi}{180}$;要把弧度变成度,乘以 $\dfrac{180}{\pi}$。

Arc length and sector area

对于半径 $r$、角 $\theta$ 以弧度计的一个扇形(sector):

一条弦(chord)把扇形切成一个三角形和一个弓形(segment)。弓形面积是扇形减三角形:

例题。 一个扇形有中心 $O$,而 $O$ 处的角是 $\tfrac{2}{3}\pi$ 弧度。证明弦截出的弓形有约 $0.614 r^2$ 的面积。

Graphs and exact values

你必须知道正弦(sine)、余弦(cosine)和正切函数(tangent function,写作 $\sin$、$\cos$、$\tan$)的图形的形状。正弦和余弦图形在 $-1$ 和 $1$ 之间波动,并每 $360^\circ$($2\pi$)重复。学习这些精确值:

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

记号 $\sin^{-1}x$、$\cos^{-1}x$、$\tan^{-1}x$ 意味着反(inverse)角(主值(principal value))。

Identities

一个恒等式(identity)对角的每个值都为真。你必须知道的两个是

用它们重写一个方程,使它只含一个三角函数。

Solving trigonometric equations

要解一个三角方程(trigonometric equation),先把它化简到一个函数,然后在给定的区间里找到每个解。

例题。 解 $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$,对 $-180^\circ < \theta < 180^\circ$。

两边乘以 $\sin\theta$ 以消去分数。这构成一个 $\sin\theta$ 的二次式:

所以 $\sin\theta = \tfrac23$ 或 $\sin\theta = -\tfrac12$。

• $\sin\theta = \tfrac23$:$\theta = 41.8^\circ$ 或 $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$。
• $\sin\theta = -\tfrac12$:$\theta = -30^\circ$ 或 $\theta = -150^\circ$。

四个解是 $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$。

The binomial expansion

对于一个正整数 $n$,二项展开式(binomial expansion)是

其中 $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ 是一个二项式系数(binomial coefficient)。

例题。 求 $(2 - px)^5$ 按 $x$ 的升幂的前三项。

Arithmetic and geometric progressions

一个数列(progression,序列)是遵循一个规则的一列项。

• 一个等差数列(arithmetic progression,AP)每步加一个固定的公差(common difference)$d$。第 $n$ 个项(term)是 $u_n = a + (n - 1)d$,而前 $n$ 项的和是 $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$。
• 一个等比数列(geometric progression,GP)每步乘一个固定的公比(common ratio)$r$。第 $n$ 个项是 $u_n = ar^{\,n-1}$,而 $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$。

一个 GP 是收敛的——当 $|r| < 1$ 时它收敛(converges,趋于一个极限)。那么它有一个无穷和(sum to infinity)

例题。 一个 GP 的第三项是 $18$,而前三项的和是 $26$。公比是负的。求无穷和。

从 $ar^2 = 18$ 你得到 $a = \dfrac{18}{r^2}$。把这个代入 $a(1 + r + r^2) = 26$:

比是负的,所以 $r = -\tfrac34$ 而 $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$。然后

微分(differentiation)找出每个点处的曲线斜率(gradient of a curve)。斜率是越来越短的弦的斜率的极限(limit),叫导数(derivative)。

The rules

把导数写作 $f'(x)$ 或 $\dfrac{dy}{dx}$。基本规则是

逐项微分和,并对一个函数内部的一个函数用链式法则(chain rule): 再次微分给出二阶导数(second derivative)$f''(x)$ 或 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

Using the derivative

• 切线和法线。 曲线在一个点的斜率是那里切线(tangent)的斜率。法线(normal)垂直于切线,所以它的斜率是 $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$。
• 递增或递减。 函数在 $\dfrac{dy}{dx} > 0$ 处是一个增函数(increasing function),在 $\dfrac{dy}{dx} < 0$ 处是一个减函数(decreasing function)。
• 变化率。 一个导数是一个变化率(rate of change)。相连的变化率用链式法则,例如 $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$。

Stationary points

一个驻点(stationary point)是 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 的地方。用二阶导数测试它的性质:$f''(x) > 0$ 给出一个极小值点(minimum point),而 $f''(x) < 0$ 给出一个极大值点(maximum point)。当 $f''(x) = 0$ 时测试不确定:该点可能是一个拐点(point of inflexion),曲线在那里改变凹凸方向(弯曲的方式)——检查 $\dfrac{dy}{dx}$ 在它前后的符号来判定。

例题。 曲线 $y = 4x^{1/2} - x$ 在 $x = a$ 有一个极大值点。求 $a$。

所以 $a = 4$。

积分(integration)是微分的逆。逆转幂法则给出

$+\,C$ 是积分常数(constant of integration)。若你知道曲线上一个点,代入它以找到 $C$。

Definite integrals and area

一个定积分(definite integral)有限,并给出一个数:

一条曲线和 $x$ 轴之间从 $x = p$ 到 $x = q$ 的区域(region)的面积是 $\displaystyle\int_p^q y \, dx$。对于两条曲线之间的面积,积分(上曲线 $-$ 下曲线)。

例题。 曲线 $y = 4x^{1/2} - x$ 在 $x = 16$ 再次与 $x$ 轴相遇。求曲线和 $x$ 轴之间从 $x = 0$ 到 $x = 4$ 的面积。

一个广义积分(improper integral)有一个无穷的上下限,或一个被积函数无定义的端点;把它作为一个极限求值。例如,

而 $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$,尽管被积函数在 $x=0$ 处发散,它仍是有限的。

Volume of revolution

当一个区域绕一个轴一路旋转时,它扫出一个立体。绕 $x$ 轴的旋转体体积(volume of revolution)是

而绕 $y$ 轴它是 $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$。例如,$y = \sqrt{x}$ 下从 $x = 0$ 到 $x = 4$ 的区域,绕 $x$ 轴旋转,有体积 $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$。

• 显示代数的每一行——跳步会失去方法分;用判别式 $b^2 - 4ac$ 来决定实根的数目。
• 对圆的度量用弧度工作(弧 $= r\theta$、扇形面积 $= \frac{1}{2}r^2\theta$),以及对三角函数的微积分。
• 对于微分,令 $\frac{dy}{dx} = 0$ 求驻点,并用二阶导数给它们分类。
• 对于积分,给一个不定积分加 $+ c$ 并用限求面积;轴以下的一个面积给出一个负积分。

The modulus

绝对值(modulus)$|x|$ 是去掉符号的一个数的大小,所以 $|x| \geqslant 0$ 总是成立。$y = |ax + b|$ 的图形是一个从 $x$ 轴弹起的"V"形。解方程和不等式的两个有用规则是

例题。 解 $|3x + 8| < 9$。

用第二个规则,把不等式写成 $-9 < 3x + 8 < 9$:

Polynomial division and the factor and remainder theorems

一个多项式(polynomial)是 $x$ 的幂的一个和,如 $2x^4 + 3x^2 - 5$。它的次数(degree)是最高的幂。当你用一个多项式除另一个时,你得到一个商(quotient)和一个余数(remainder)。

• 余数定理(remainder theorem):$p(x)$ 被 $(x - a)$ 除时的余数是 $p(a)$。
• 因式定理(factor theorem):$(x - a)$ 是 $p(x)$ 的一个因式恰好当 $p(a) = 0$ 时。

例题。 多项式 $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ 有因式 $(x + 2)$。求 $k$。

由因式定理 $p(-2) = 0$:

一个对数回答问题"什么幂?"。若 $a^x = y$ 则 $x = \log_a y$。对数和指数(indices,幂)是逆的思想。对数定律(laws of logarithms)是

指数函数 $e^x$ 和自然对数(natural logarithm)$\ln x$ 是反函数,所以 $\ln(e^x) = x$ 且 $e^{\ln x} = x$。当未知量在幂中时,取两边的对数。

例题。 解 $4^x < 0.05$。

线性形式(linear form):一个像 $y = Ax^n$ 的关系若你取对数就变成一条直线:$\ln y = \ln A + n\ln x$。把 $\ln y$ 对 $\ln x$ 作图给出一条斜率 $n$、截距 $\ln A$ 的直线,所以你能找到未知的常数。

有另外三个函数,每个是你知道的一个的倒数:正割(secant)$\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$、余割(cosecant)$\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$,和余切(cotangent)$\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$。

你必须知道这些三角恒等式(trigonometric identities)并为每个问题选择正确的那个:

你也用 $\sin(A \pm B)$、$\cos(A \pm B)$、$\tan(A \pm B)$ 的复合角(compound angle)公式、二倍角(double angle)公式 以及辅助角公式(R-formula)$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$,其中 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ 且 $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$。

例题。 解 $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$,对 $-180^\circ < \theta < 180^\circ$。

把 $\tan^2\theta$ 换成 $\sec^2\theta - 1$ 以得到一个函数:

所以 $\sec\theta = \tfrac52$ 或 $\sec\theta = -4$,给出 $\cos\theta = \tfrac25$ 或 $\cos\theta = -\tfrac14$。解是 $\theta = \pm 66.4^\circ$ 和 $\theta = \pm 104.5^\circ$。

学习这些标准导数:

对于两个函数的一个乘积或一个商,用:

• 乘积法则(product rule):$(uv)' = u'v + uv'$;
• 商法则(quotient rule):$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。

当一条曲线由参数方程(parametric equations)$x = x(t)$、$y = y(t)$ 给出时,斜率是 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$。当 $y$ 被隐式(implicitly,没有变成主语)定义时,对每一项关于 $x$ 微分,对 $y$ 项用链式法则,然后解出 $\dfrac{dy}{dx}$。

例题。 给定 $y = 6x\cos(x^2 + 1)$,求 $\dfrac{dy}{dx}$。

用乘积法则,$u = 6x$、$v = \cos(x^2 + 1)$(以及对 $v$ 用链式法则):

积分是逆微分——逆转每个新的导数;更难的积分可能需要换元积分(integration by substitution,在纯数学 3 中展开)。对于一个线性的内部函数 $(ax + b)$:

要积分 $\sin$ 或 $\cos$ 的一个幂,先用一个恒等式去掉这个幂。当你不能精确积分时,梯形法则(trapezium rule)估计一个定积分:

例题。 求 $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$。

用 $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:

许多方程不能精确地解。两个思想帮助你找到一个根(root,一个解)。

• 变号(sign change):若 $f(a)$ 和 $f(b)$ 有相反的符号(而图形在它们之间没有断裂),一个根位于 $a$ 和 $b$ 之间。
• 迭代(iteration):把方程重排成 $x = F(x)$ 的形式,然后用迭代公式(iterative formula)$x_{n+1} = F(x_n)$。从一个初始猜测 $x_0$ 开始并重复。若这些值是收敛的,它们稳定下来并收敛(converge)到一个根。继续下去直到答案稳定到所要求的精度。

例题。 一个方程的一个根 $\beta$ 满足 $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$,而 $-1.4 < \beta < -1.0$。用迭代 $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$,$x_0 = -1.2$。

这些值稳定在 $-1.26$ 附近,所以 $\beta = -1.26$(3 s.f.)。

• 用对数定律解方程;记住 $\ln$ 和 $e^x$ 是反函数。
• 对于数值方法,显示一个变号以定位一个根、清晰地布置迭代,并给出答案到陈述的精度。
• 学习链式、乘积和商法则并识别函数需要哪一个。
• 通过考虑正和负两种情况解绝对值方程 $|f(x)| = g(x)$,并作草图检查。

两个新工具加入纯数学 2 的代数。

Partial fractions

一个分母被因式分解的单一分数能被拆成一个更简单分数的和。这叫把它写成部分分式(partial fractions),它使一个有理函数(rational function,多项式的一个分数)容易积分或展开。把形式匹配到分母:

先检查分子的次数低于分母。如果不是("头重"),就先做多项式除法:除法给出一个商(quotient)加上一个余数(remainder)除以原来的分母,然后只拆那个剩下的真分数。

一个分母被因式分解的分数拆成一个更简单分数的和。

例题。 把 $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ 表示成部分分式。

写 $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$,所以 $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$。 令 $x = 2$:$6 = 3B$,所以 $B = 2$。令 $x = -1$:$3 = -3A$,所以 $A = -1$。因此

The binomial expansion for a rational power

当幂是一个分数或是负的时,二项展开式(binomial expansion)也有效,只要 $|x| < 1$:

例如对 $|x| < 1$ 有 $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$。

子主题 3.2、3.3 和 3.6 是你在纯数学 2 中遇到的同样技能:带 $e^x$ 和 $\ln x$ 的对数定律;恒等式 $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ 和 $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$、复合角和二倍角公式,以及 $a\sin\theta + b\cos\theta$ 的 $R$ 形式;以及通过一个变号(sign change)和一个迭代公式(iterative formula)$x_{n+1} = F(x_n)$ 数值地解一个方程。完全像之前一样用它们。

那三个新的三角函数是熟悉的三个的倒数(reciprocals):正割(secant)$\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$、余割(cosecant)$\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$,和余切(cotangent)$\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$。(记忆法:对上第三个字母 —— sec 配 cosine。)上面那两个毕达哥拉斯恒等式,正是把 $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ 除以 $\cos^2\theta$ 或 $\sin^2\theta$ 得来的。对一个数值方法,当相继的值越来越接近时,迭代 $x_{n+1}=F(x_n)$ 就收敛(converges)到根。

方法是纯数学 2 的那些(乘积、商和链式法则,带参数和隐式曲线)。加了一个导数——反正切(inverse tangent):

例题。 微分 $y = \tan^{-1}(3x)$。

用链式法则和上面的结果:$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

纯数学 3 增加几个强大的方法。

• 一个新的标准积分:$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$。
• 部分分式:先拆一个有理函数,然后把每一片作为一个对数积分。
• 模式 $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$:这积分成 $k\ln|f(x)| + C$。例如 $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$。
• 分部积分(integration by parts),用于一个乘积:$\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$。
• 换元积分(integration by substitution):一个给定的变量替换把一个难的积分变成一个容易的。

例题。 求 $\displaystyle\int x\cos x\,dx$。

用分部积分,$u = x$、$\dfrac{dv}{dx} = \cos x$,所以 $\dfrac{du}{dx} = 1$ 且 $v = \sin x$:

一个向量(vector)既有大小又有方向。把它写成一个列,或写成 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$,或写成 $\overrightarrow{AB}$。

• $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 的模长(magnitude,长度)是 $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
• 一个单位向量(unit vector)有模长 $1$;把一个向量除以它的模长以构成一个。
• 一个位置向量(position vector)给出一个点从原点的位置;一个位移向量(displacement vector)$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ 从一个点到另一个。乘以一个标量(scalar,一个普通的数)伸缩一个向量。

Lines and the scalar product

通过点 $\mathbf{a}$、沿方向 $\mathbf{b}$ 的一条直线有向量方程 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$。两条直线可能平行(parallel)、可能在一个点相交(intersect),或可能是异面直线(skew lines,不平行且从不相遇)。

$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的数量积(scalar product,点积)是

其中 $\theta$ 是它们之间的角。所以 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ 意味着这两个向量垂直。

例题。 求 $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ 和 $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ 之间的角。

所以 $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$,给出 $\theta = 27.3^\circ$。

一个微分方程(differential equation)把一个量与它的变化率联系起来。要解一个变量可分离变量(separable)的一阶方程,把所有 $y$ 项放在一边、所有 $x$ 项放在另一边,然后积分两边。这给出通解(general solution),它含一个常数。一个初始条件(initial condition,一个已知的值)确定这个常数并给出特解(particular solution)。

例题。 解 $\dfrac{dy}{dx} = xy$,给定当 $x = 0$ 时 $y = 1$。

分离变量并积分:

用 $x = 0$ 处 $y = 1$ 给出 $A = 1$,所以 $y = e^{x^2/2}$。

一个复数(complex number)有形式 $z = x + iy$,其中 $i^2 = -1$。这里 $x$ 是实部(real part)而 $y$ 是虚部(imaginary part)。这个 $x + iy$ 是直角坐标形式(Cartesian form)。两个复数相等只当它们的实部匹配且它们的虚部匹配时。

• $z = x + iy$ 的共轭(conjugate)是 $z^* = x - iy$。对一个有实系数的多项式,任何非实根成共轭对出现。
• 模(modulus)是 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$(它到原点的距离),而辐角(argument)是这个点构成的角,从正实轴测量。
• 你可以把 $z$ 作为一个点画在一个阿干图(Argand diagram,复平面)上。
• 极坐标形式(polar form)是 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$,其中 $r = |z|$ 而 $\theta$ 是辐角。相乘把模相乘并把辐角相加。
• 满足一个 $z$ 上的条件的点的轨迹被画在阿干图上——例如 $|z - a| = r$ 是一个圆、$|z - a| = |z - b|$ 是一条垂直平分线,而 $\arg(z - a) = \theta$ 是一条半线。一个复数的平方根来自解 $w^2 = z$。

要相除,把上和下都乘以下面的共轭。

例题。 把 $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ 写成 $x + iy$ 的形式。

一个 $z$ 中的方程或不等式描述阿干图上的一个轨迹(locus,一条路径或区域)。例如 $|z - a| = r$ 是一个以 $a$ 为圆心、半径 $r$ 的圆。

• 在积分或展开之前把一个有理函数拆成部分分式。
• 从被积函数的形式选择正确的积分技巧(换元、分部,或部分分式)。
• 用数量(点)积求向量之间的角并测试垂直性;把一条直线写成 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$。
• 以被要求的形式(直角坐标或模-辐角)给出复数并在一个阿干图上显示它们。

一个力(force)是一个推或一个拉。它是一个向量,所以它有大小和方向。因为它是一个向量,你可以把一个力拆成分量(components,通常是水平和竖直),而且你可以把几个力加成一个合力(resultant)。

当力平衡时,一个质点处于平衡(equilibrium):力的向量和为零。在实践中这意味着任何方向上的分量加起来为零。

Friction

当两个表面接触时,它们之间的接触力(contact force)有两部分:法向反作用力(normal reaction)$R$,与表面成直角,和摩擦力(friction)$F$,沿表面,它反对滑动。一个"光滑"表面是一个没有摩擦的模型。

摩擦只能增长到一个最大值。在那个最大值,物体处于极限平衡(limiting equilibrium),即将滑动,而摩擦是最大静摩擦力(limiting friction)。最大值由摩擦系数(coefficient of friction)$\mu$ 设定:

由牛顿第三定律(Newton's third law),两个表面以相等且相反的力互相推。

例题。 一个重 $20\text{ N}$ 的方块放在一张摩擦系数 $\mu = 0.4$ 的粗糙水平桌子上。求方块滑动之前能施加的最大水平力。

桌子的法向反作用力平衡重力,所以 $R = 20\text{ N}$。当摩擦达到它的最大值 $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$ 时,方块处于即将滑动的点。在平衡中施加的力等于摩擦,所以它能抵抗的最大力是 $8\text{ N}$。

距离(distance)和速率(speed)是标量(只有大小)。位移(displacement)、速度(velocity)和加速度(acceleration)是向量(大小和方向)。

在一个速度时间图(velocity-time graph)上,图形下的面积是位移,而斜率是加速度(一个负加速度是一个减速度(deceleration))。在一个位移时间图上,斜率是速度。更一般地,关于时间微分从位移到速度到加速度,而积分回去。

对于匀加速(constant acceleration)的运动,用这些公式("suvat"方程):

例题。 一辆车从静止开始并以 $2.5\ \text{m s}^{-2}$ 加速 $4\ \text{s}$。求它的速率和行进的距离。

一个物体的动量(linear momentum)是 $\text{mass} \times \text{velocity}$。它是一个向量。在两个物体的直接碰撞中,总动量不变。这是动量守恒(conservation of linear momentum):

例题。 一个质量 $2\ \text{kg}$、以 $3\ \text{m s}^{-1}$ 运动的物体撞上一个静止的质量 $1\ \text{kg}$ 的物体,它们粘在一起。求它们之后共同的速率。

牛顿运动定律(Newton's laws of motion)连接力和加速度。关键的一个是:合力 $=$ 质量(mass)$\times$ 加速度,

一个物体的重力(weight)是它上面重力的力:$W = mg$。一个问题中的力可能包括重力、摩擦、一根绳中的张力(tension)、一根杆中的推力(thrust),以及空气阻力(air resistance)。

对于在一个斜面(inclined plane)上的运动,把每个力拆成沿斜坡的一部分和与它成直角的一部分,然后沿斜坡应用 $F = ma$。对于连接质点(connected particles,由一根绳连接),对每个物体、或对整个系统应用 $F = ma$。

例题。 一个质量 $12\ \text{kg}$ 的方块被一根平行于斜坡的绳沿一个粗糙的平面往上拉。平面与水平成 $20^\circ$,摩擦系数是 $0.4$,而加速度是 $2\ \text{m s}^{-2}$。求绳中的张力。

法向反作用力是 $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$,所以摩擦是 $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$。沿斜坡,$T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:

一个恒定力做的功(work done)是力和位移的数量积——力乘以沿力方向移动的距离:$W = Fd\cos\theta$,其中 $\theta$ 是力和运动之间的角。功以焦耳(J)测量。

能量以你能计算的形式出现:

• 动能(kinetic energy,运动的能量):$\text{KE} = \tfrac12 mv^2$。
• 重力势能(gravitational potential energy,高度的能量):$\text{PE} = mgh$。

外力做的功等于总能量的变化。当没有摩擦作用时,总能量保持不变——能量守恒(conservation of energy)。

功率(power)是做功的速率。对于一个沿运动方向拉的力,$P = Fv$(功率 $=$ 力 $\times$ 速度)。功率以瓦特(W)测量。

例题。 一个汽车引擎在车以 $20\ \text{m s}^{-1}$ 在一条水平的路上运动时以 $12\ \text{kW}$ 工作。求驱动力。

• 画一个清晰的力图并分解成垂直的分量;对于平衡,每个方向加起来为零。
• 只对匀加速用 SUVAT 并保持一个一致的正方向。
• 沿运动方向应用 $F = ma$,在一个粗糙表面上包括摩擦($F = \mu R$)。
• 陈述你的假设(轻的不可伸长的绳、光滑的滑轮、质点)——它们常常值一分。

选择一个适合数据的图。你应当能够画和读:

• 一个茎叶图(stem-and-leaf diagram,保留原始值并显示形状);两个数据集用一个背靠背(back-to-back)版本比较——一个共享的中央茎,一个数据集的叶向左增大而另一个向右,这样你能一眼比较它们的中位数和离散程度;
• 一个箱线图(box-and-whisker plot,显示最低值、三个四分位数和最高值);
• 一个直方图(histogram,用于分组数据,每个条的面积显示频数);
• 一个累积频数(cumulative frequency)图(累加的总数,用来估计中位数和四分位数)。

Averages and spread

一个集中趋势(measure of central tendency)是一个单一的"中间"值:

• 平均数(mean)$\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$(平均);
• 中位数(median,数据按顺序时的中间值);
• 众数(mode,最常见的值)。

一个离散程度(variation)的量度显示数据铺开多少:

• 极差(range of data,最高 $-$ 最低);
• 四分位距(interquartile range,上四分位数 $-$ 下四分位数);
• 标准差(standard deviation)$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$。

你常常从总数 $\sum x$ 和 $\sum x^2$ 工作。标准差的平方是方差(variance)。

例题。 对于 $10$ 个值,$\sum x = 50$ 且 $\sum x^2 = 300$。求平均数和标准差。

编码(coding)使大数字更容易。用一个方便的假定平均数(assumed mean)$a$,把每个值换成 $t=x-a$。那么 $\bar{x}=a+\bar{t}$,而标准差不变(把每个值平移不改变数据的离散)。所以从编码后的总和 $\sum(x-a)$ 和 $\sum(x-a)^2$ 你直接得到 $\bar x$ 和 $\sigma$,而两个数据集能通过它们编码后的总和比较。

一个排列(permutation)是顺序重要的一个安排;一个组合(combination)是顺序不重要的一个选择。这些数是

要在一条线上安排物体,当一些被重复时,除以每个重复计数的阶乘。

例题。 单词 NEEDLESS 的字母有多少个不同的安排?

有 $8$ 个字母,E 重复 $3$ 次而 S 重复 $2$ 次:

通过计数等可能的结果、或通过用排列和组合来求一个概率。用这些规则组合概率:

• 对"或"用加法:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• 当事件独立时对"且"用乘法:$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$。

若两个事件不能都发生,它们是互斥事件(mutually exclusive events);若一个发生不改变另一个的机会,它们是独立事件(independent events)。要测试独立性,检查是否 $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$。一个条件概率(conditional probability)是在 $B$ 已发生的情况下 $A$ 的机会:$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$。

例题。 事件有 $P(A) = 0.5$、$P(B) = 0.4$ 和 $P(A \cap B) = 0.2$。$A$ 和 $B$ 独立吗?

测试:$P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$。这些值相等,所以 $A$ 和 $B$ 独立。

一个离散型随机变量(discrete random variable)$X$ 取分开的值,每个带一个概率。把它们列在一个概率分布表(probability distribution table)里;概率必须加起来为 $1$。然后期望(expectation,平均)和方差是

两个特殊的模型:

• 二项分布(binomial distribution)$X \sim B(n, p)$,用于 $n$ 个独立试验中成功的数目:$P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$,带 $E(X) = np$ 和 $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• 几何分布(geometric distribution),用于第一次成功发生的试验:$P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$,带 $E(X) = \dfrac{1}{p}$。

例题。 $X \sim B(10, 0.3)$。求 $P(X = 2)$ 和 $E(X)$。

正态分布(normal distribution)以一个对称的钟形为一个连续型随机变量(continuous random variable)建模。写 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$,其中 $\mu$ 是平均值而 $\sigma$ 是标准差。要用表,通过标准化(standardisation)转换到变量 $Z \sim N(0, 1)$:

然后 $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$,你从正态表 $\Phi$ 读它。

当 $n$ 大时,正态分布也是二项的一个好近似(approximation)。因为你用一个连续变量替换一个离散变量,应用一个连续性校正(continuity correction,调整 $0.5$)。

例题。 米袋有质量 $X \sim N(\mu, 0.14^2)$。给定 $P(X < 1.48) = 0.22$,求 $\mu$。

从表,$P(Z < z) = 0.22$ 给出 $z = -0.772$。所以

• 决定顺序是否重要:重要时用排列($^nP_r$),不重要时用组合($^nC_r$)。
• 对于一个离散型随机变量,检查概率加起来为 $1$ 并用 $E(X) = \sum x\,P(X=x)$。
• 对于正态分布,用 $z = (x - \mu)/\sigma$ 标准化、作草图并着色,然后读表。
• 当用正态近似一个离散变量时应用一个连续性校正。

泊松分布(Poisson distribution)$X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ 为一个固定区间中随机事件的数目建模,当事件以一个稳定的平均速率 $\lambda$ 发生时:

对于一个泊松变量,平均值和方差都等于 $\lambda$。当 $n$ 大且 $p$ 小时,泊松分布是二项分布的一个好近似(approximation)。当 $\lambda$ 大时,正态分布(带连续性校正)近似泊松。

例题。 $X \sim \mathrm{Po}(3)$。求 $P(X = 2)$。

当你用一个线性规则改变一个变量时,期望(expectation,平均)和方差(variance)遵循这些规则:

对于两个独立变量 $X$ 和 $Y$: 两个有用的事实:若 $X$ 有一个正态分布(normal distribution)则 $aX + b$ 也有;而独立泊松变量的和又是泊松。

例题。 $X$ 有平均值 $5$ 和方差 $4$。求 $E(3X - 1)$ 和 $\mathrm{Var}(3X - 1)$。

一个连续型随机变量(continuous random variable)能取一个范围内的任何值。它的概率来自一个概率密度函数(probability density function)$f(x)$,有两个关键的性质:

一个概率是 $f$ 下的面积,而平均值通过积分求得:

累积分布函数(cumulative distribution function)是 $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$;中位数(median)解 $F(m) = 0.5$,而其他百分位数(percentiles)解 $F(x) = p$。

例题。 一个连续变量对 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 有 $f(x) = \tfrac12 x$(其他地方为 $0$)。求 $E(X)$。

方差(variance)用同样的思路,$\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$。对同样的 $f(x)=\tfrac12 x$ 在 $[0,2]$ 上:$\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$,所以 $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$。

一个样本(sample)是从整个总体(population)选出的一个小群。一个随机样本需要随机性(randomness),使每个成员有一个被选中的公平机会。

有些方法不令人满意,因为它们是有偏(biased)的:只抽志愿者,或最先到达的 20 个人,会过度代表某些类型的人。一个真正随机的样本用随机数——给总体的每个成员编号,然后抽号(从一张表或一个生成器)来决定谁在样本里。

样本平均值 $\bar{X}$ 本身是一个随机变量,带

由中心极限定理(Central Limit Theorem),对于一个大样本 $\bar{X}$ 近似正态,无论总体的形状如何。

从一个样本你能找到总体平均值和方差的无偏估计(unbiased estimates)。一个置信区间(confidence interval)给出一个可能包含真实平均值的范围。当总体是正态、$\sigma$ 已知(或样本大)时,一个 $95\%$ 的区间是

你也能从一个大样本找到一个总体比例(population proportion)的置信区间。

例题。 一个 $n = 64$ 的样本有平均值 $\bar{x} = 50$,来自一个 $\sigma = 8$ 的总体。求总体平均值的一个 $95\%$ 置信区间。

一个假设检验(hypothesis test)用样本数据来判断一个断言。你设立两个陈述:原假设(null hypothesis)$H_0$(被检验的断言,通常是"没有变化")和备择假设(alternative hypothesis)$H_1$(你反而怀疑的)。若 $H_1$ 指向一个方向(例如 $\mu > 50$)测试是单尾(one-tailed),若它允许两个方向($\mu \neq 50$)则是双尾(two-tailed)。

你固定一个显著性水平(significance level,常常 $5\%$)、从数据算出一个检验统计量(test statistic),并看它是否落入拒绝域(rejection region,也叫临界域);若是你拒绝 $H_0$,否则统计量在接受域中。

两个错误可能发生:一个第一类错误(Type I error)是当 $H_0$ 实际为真时拒绝它;一个第二类错误(Type II error)是当 $H_0$ 实际为假时接受它。你能从拒绝域求它们的概率:$P(\text{第一类})=P(\text{统计量在拒绝域}\mid H_0)$——这等于显著性水平——而 $P(\text{第二类})=P(\text{统计量在接受域}\mid H_1$ 在一个给定值处为真$)$,从二项、泊松或正态分布计算。

例题。 一个总体被断言有平均值 $50$,带 $\sigma = 8$。一个 $n = 64$ 的样本给出 $\bar{x} = 52$。在 $5\%$ 水平检验平均值是否已改变。

$H_0\!: \mu = 50$ 且 $H_1\!: \mu \neq 50$(双尾)。检验统计量是

$5\%$(双尾)的临界值是 $1.96$。因为 $2 > 1.96$,你拒绝 $H_0$:有证据表明平均值已改变。

例题(一个二项检验)。 一枚硬币被声称是公平的,但被怀疑正面落得太少:$H_0\!:p=0.5$,$H_1\!:p<0.5$。在 $n=30$ 次投掷里你看到 $X=9$ 个正面。在 $H_0$ 下,$X\sim B(30,0.5)$,所以单尾尾概率是

因为 $0.021<0.05$,拒绝 $H_0$:硬币看来对正面有偏。(对大的 $n$,二项用一个正态近似;对稀有事件一个泊松检验同样工作。而这里,若规则是"当 $X\leqslant 9$ 时拒绝",那么 $P(\text{第一类})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$。)

• 对稀有的、随机的、独立的事件用泊松分布;它的平均值等于它的方差($= \lambda$)。
• 当组合独立随机变量时,方差相加(它们从不相减)。
• 对于一个假设检验,陈述 $H_0$ 和 $H_1$、显著性水平、检验统计量,以及一个结合上下文的结论。
• 对于一个置信区间,用正确的 $z$(或 $t$)值并用文字解释它。