SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

GRE Subject Test · GRE Physics · หัวข้อ 45

ดูสไลด์ ฝึกฝน

45.1

การรบกวนของ布拉格 และความจุความร้อนของก๊าซอิเล็กตรอน

การหมุนผลึกในลำแสงเอ็กซ์เรย์จะแผนที่ระนาบอะตอมของมัน เพราะการสะท้อนแบบเสริมเกิดขึ้นเพียงที่มุมเฉพาะเท่านั้น

ข้อบังคับเข้าเรียน: 8, 36.

ใช้เงื่อนไขของบรากเพื่อหาระยะห่างระนาบหรือมุมการเลี้ยวเบน
ประเมินพลังงานเฟร์มิและอุณหภูมิเฟร์มิของอิเล็กตรอนอิสระ
แยกส่วนประกอบของความจุความร้อนอิเล็กทรอนิกส์และโครงผลึก

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
Bragg condition/bræɡ kənˈdɪʃn/	เงื่อนไขของบรัก
Fermi energy/ˈfɜːmi ˈenədʒi/	พลังงานเฟิร์มมี
Bragg diffraction/bræɡ dɪˈfrækʃn/	การหักเหแบบบราก

45.2

ใช้เงื่อนไขของบราก

English

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

45.3

อ่านค่าคงที่แลตทิซ

ในผลึกแบบลูกบาศก์ ระยะห่างระนาบ (hkl) คือ d=a/sqrt(h²+k²+l²) โดยมีค่าคงที่ตาข่าย a; ระนาบ (110) ให้ค่า a/√2 ดังนั้นมุมบรากที่วัดได้จึงใช้คำนวณค่าคงที่ตาข่าย การขาดหายไปอย่างมีระบบจากฐาน (เช่น ในตาข่ายกึ่งกลางตัวอวกาศที่ h+k+l เป็นเลขคี่) นำเสนอข้อมูลโครงสร้างเพิ่มเติมจากรูปสมการระยะห่าง

45.4

เติมทะเลอิเล็กตรอน

English

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

45.5

แยกความจุความร้อน

โลหะดังนั้นจึงมีพจน์ความจุความร้อนอุณหภูมิต่ำสองพจน์: พจน์อิเล็กทรอนิกส์ γT ที่แปรผันตาม T เป็นเชิงเส้น และพจน์ตาข่าย (Debye) βT³ การพล็อต C/T เทียบกับ T² ให้ค่าตัดแกน γ และความชัน β ใกล้เคียงอุณหภูมิห้อง ส่วนของตาข่ายจะเข้าใกล้ค่า Dulong–Petit และครอบงำ; ที่อุณหภูมิต่ำ พจน์อิเล็กทรอนิกส์ γT จะชนะพจน์ตาข่าย βT³ ที่ลดลง

45.6

วิธีทำตัวอย่าง

การเลี้ยวเบนแบบบรากลามมุม theta จากระนาบผลึก ไม่ใช่จากแนวตั้งฉาก

$$2d\sin\theta=n\lambda,\qquad d=\lambda/(2\sin\theta)=(0.154\,\mathrm{nm})/[2\sin(20^\circ)]=0.225\,\mathrm{nm}.$$

ความจุความร้อนของโลหะที่อุณหภูมิต่ำมีพจน์แยกต่างหากคืออิเล็กทรอนิกส์และโครงผลึก:

$$C=\gamma T+\beta T^3,\qquad C/T=\gamma+\beta T^2.$$

กราฟของ C/T เทียบกับกำลังสองของ T มีจุดตัด gamma และความชัน beta เส้นตรงบ่งบอกถึงสภาวะของโมเดลนี้

ซ้าย: จุดบรากสำหรับ λ = 0.154 nm และ d = 0.225 nm ที่ 2θ = 40.0° (n = 1) และ 86.4° (n = 2). ขวา: C/T เทียบกับ T² สำหรับโลหะ — กฎของบราก 2d sin θ = nλ; C/T = γ + βT² แยกอิเล็กตรอนออกจากตาข่าย

45.7

ตรวจสอบเงื่อนไขและคำศัพท์

การวัด θ จากแนวตั้งฉากกับระนาบแทนที่จะวัดจากตัวระนาบ หรือการกำหนดให้ความจุความร้อนที่อุณหภูมิต่ำทั้งหมดเป็นของอิเล็กตรอน เงื่อนไขไซน์และการแยกพจน์สองพจน์คือจุดที่การคำนวณเหล่านี้ล้มเหลว

เงื่อนไขของบราก: การสะท้อนแบบเสริมจากระนาบแลตทิซเมื่อ 2d sinθ=nλ โดยที่ θ วัดจากระนาบ

พลังงานเฟร์มิกิ: ระดับพลังงานอิเล็กตรอนที่สูงที่สุดที่ถูกเติมที่อุณหภูมิศูนย์ในโมเดลอิเล็กตรอนอิสระ