QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

คลื่นควอนตัมสามารถสะท้อนจากขั้นศักย์ลดลงได้แม้ว่าอนุภาคคลาสสิกจะไม่จุดกลับตัวที่นั่น

ข้อบังคับล่วงหน้า: 5

• จับคู่คลื่นเดินทางและฟลักซ์ผ่านขั้นศักย์จำกัด
• นับสถานะออสซิลเลเตอร์ไอโซโทรปิกที่เสื่อมสภาพ
• ประเมินผลคูณพอลิและแยกแยะการ?pcommute จากความเท่ากัน

สำหรับศักย์คงที่ V และพลังงาน E>V คำตอบเชิงพื้นที่คือปัจจัยคลื่นเดินทาง exp(±ikx), โดย k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$ ที่ขั้นจำกัดที่มีมวลอนุภาคเท่ากัน ฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับแรกจะต่อเนื่อง ในการแก้ปัญหาการกระเจิงจากด้านซ้ายโดยไม่มีการ beams เข้ามาจากด้านขวา คำตอบทางไกลด้านขวาประกอบด้วยปัจจัยคลื่นเดินทางทางขวาเพียงอย่างเดียว Ae^(ikx) หากบ่อศักย์จำกัดกลับสู่ศักย์ภายนอกเดิม ตัวเลขคลื่นภายนอกที่ส่งผ่านจะเท่ากับตัวเลขคลื่นตกกระทบ แม้ว่าจะแตกต่างภายในบ่อศักย์ คำตอบที่ลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลอธิบายบริเวณ E<V ไม่ใช่ทุกบ่อศักย์

สำหรับการกระโดดจาก V1 ไปยัง V2 ที่ทั้งสองพื้นที่อนุญาตทางกลศาสตร์คลาสสิก, เขียนแอมพลิจูดตกกระทบบวกสะท้อนในพื้นที่ 1 และแอมพลิจูดส่งผ่านในพื้นที่ 2. ความต่อเนื่องให้ r=(k1−k2)/(k1+k2) และ t=2k1/(k1+k2). ความน่าจะเป็นสะท้อนคือ R=|r|²; การส่งผ่านคือ T=(k2/k1)|t|² เพราะกระแสความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับเลขควอนตัมคลื่น k. ดังนั้น R+T=1 สำหรับขั้นบันไดที่ไม่มีการสูญเสีย. อย่าเพิ่มกำลังสองของแอมพลิจูดส่งผ่านโดยตรงกับ R โดยไม่มีปัจจัยกระแส. ด้วย k2=3k1, R=1/4 และ T=3/4 แม้จะมีขั้นบันไดลดลงก็ตาม

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

เมทริกซ์Pauli คือ σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. แต่ละตัวยกกำลังสองจะได้เอกลักษณ์. การคูณโดยตรงให้ σ_xσ_y=iσ_z และ σ_yσ_x=−iσ_z, ดังนั้นเมทริกซ์Pauli ที่แตกต่างกันจะ?pseudocommute. ผลคูณ cyclic x→y→z จะมี i บวก; การกลับลำดับจะเปลี่ยนเครื่องหมาย. อัตลักษณ์ทั่วไปคือ σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. ลำดับเมทริกซ์สำคัญ: σ_xσ_z=−iσ_y, ไม่ใช่ iσ_y หรือเพียง σ_y. เมทริกซ์ไร้มิติเหล่านี้กลายเป็น operators Spin S_i=$\hbar$σ_i/2, เพิ่มหน่วยทางกายภาพและปัจจัย

ที่ขั้นศักย์จำกัด จับคู่ฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์สำหรับมวลอนุภาคเดียวกัน

ความน่าจะเป็นการส่งผ่านใช้กระแส ไม่ใช่แอมพลิจูดเพียงอย่างเดียว สำหรับ $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. การสะท้อนเกิดขึ้นแม้สำหรับขั้นลง การเปลี่ยนเครื่องหมายเฟสจะหายไปเมื่อพิจารณาความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นในการส่งผ่านต้องใช้สัดส่วนกระแสเลขคลื่น degeneracy ของออสซิลเลเตอร์นับ triples โหมดที่เป็นลำดับ ห้ามกลับลำดับเมทริกซ์พอลีโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

สัมประสิทธิ์การสะท้อน: ส่วนประกอบของความหนาแน่นกระแสความน่าจะเป็นที่สะท้อนกลับ เทียบกับกระแสตกกระทบ

สภาวะเสื่อม (Degeneracy): จำนวนสถานะอิสระที่มีพลังงานเท่ากันตามที่กำหนด