C.10 · การหาอนุพันธ์แบบนัยยะและจาคอบเซียนผกผัน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ข้อบังคับ: กฎโซ่, การกลับเมทริกซ์ และสมมติฐานฟังก์ชันผกผันท้องถิ่น

• แยกอนุพันธ์ระบบเชิงลับแบบคู่ขนานเป็นระบบสมการเชิงเส้น
• ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobian ที่ไม่เป็นศูนย์เพื่อสนับสนุนฟังก์ชันผกผันท้องถิ่น
• แยกแยะอนุพันธ์ย่อยผกผันจากกฎเศษส่วนสเกลาร์

เมทริกซ์ Jacobian: เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันเวกเตอร์

ฟังก์ชันผกผันท้องถิ่น: ฟังก์ชันผกผันที่นิยามบนพื้นที่ใกล้เคียงของจุดข้อมูลเข้าและข้อมูลออกเฉพาะจุด

สำหรับฟังก์ชันที่แยกอนุพันธ์ได้ F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), Jacobian ของมันคือ J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสอดคล้องกับ [dx,dy] (transpose)=J[du,dv] (transpose) ในลำดับแรก เพื่อหาค่า u_x โดยคง y ไว้ที่เดิม แยกอนุพันธ์สมการกำหนดทั้งสองข้างเทียบกับ x: f_u u_x+f_v v_x=1 และ g_u u_x+g_v v_x=0. นี่คือระบบสมการเชิงเส้นแบบคู่ขนาน ไม่ใช่กฎผกผันสเกลาร์อิสระสองข้อ

หาก f และ g แยกอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องใกล้จุดนั้นและ det J=f_u g_v−f_v g_u ไม่เป็นศูนย์ ณ จุดนั้น ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจะให้ฟังก์ชันผกผันท้องถิ่นที่แยกอนุพันธ์ได้. อนุพันธ์ของมันคือ J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. ดังนั้น u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J และ v_y=f_u/det J. คำนวณทุกอนุพันธ์ที่จุดที่เกี่ยวข้อง ฟังก์ชันผกผันท้องถิ่นอาจไม่ขยายไปยังฟังก์ชันผกผันทั่วโลกได้

สำหรับสมการเชิงลับ H(u,v,x,y)=0 และ K(u,v,x,y)=0, แยกอนุพันธ์โดยคงพารามิเตอร์อิสระที่ต้องการไว้แก้ [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpose)=−[H_x,K_x] (transpose). ดีเทอร์มิแนนต์ในตัวแปรที่ไม่ทราบค่า u,v ต้องไม่เป็นศูนย์เพื่อใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันเชิงลับปกติเครื่องหมายด้านขวาเกิดจากการย้ายอนุพันธ์ที่ทราบแล้วไปอีกฝั่ง หากดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ทฤษฎีบทนี้จะชี้ขาดไม่ได้; มันไม่พิสูจน์เองว่าไม่มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่มีคำตอบเชิงลับ

สูตรลัดสเกลาร์ du/dx=1/(dx/du) ใช้ได้สำหรับฟังก์ชันผกผันตัวแปรเดียวที่มีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ แต่มักใช้ไม่ได้กับระบบคู่ขนานเพราะ v เปลี่ยนแปลงเพื่อให้ y คงที่ สำหรับ x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และผกผันคือ [[2,−1],[−1,1]]. ดังนั้น u_x=2 ในขณะที่ 1/f_u=1. เมทริกซ์ Jacobian ผกผันแปลงความไวต่อดิฟเฟอเรนเชียล; การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลใช้ดีเทอร์มิแนนต์สัมบูรณ์เพื่อการปรับขนาดพื้นที่หรือปริมาตร ไม่ใช่สมาชิกผกผันที่เลือก

ให้ x=u²+v และ y=u−v. ที่ (u,v)=(1,0), ผลลัพธ์คือ (1,1), และ J=[[2,1],[1,−1]] มีดีเทอร์มิแนนต์ −3. อินเวอร์สคือ [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], ดังนั้น u_x=1/3 และ v_y=−2/3 ณ จุดนั้น. การคูณ J dengan inverse นี้จะได้เอกลักษณ์. ค่าผกผัน 1/f_u=1/2 ไม่ใช่ u_x เพราะการเปลี่ยน u ยังต้องเปลี่ยน v เพื่อรักษา y ให้คงที่

Differentiate both equations and state which output is held fixed. Nonzero determinant guarantees a local inverse under the regularity hypotheses; zero determinant is not a proof of impossibility. Use an inverse entry for sensitivities and an absolute determinant for integration.

กำหนดให้ $x=u^2+v,y=u-v$. ที่ $(u,v)=(1,0)$, หาเมทริกซ์ Jacobian ผกผันและอนุพันธ์ย่อยผกผันทั้งสี่ตัว ตรวจสอบโดยการคูณ

วิธีทำตัวอย่าง

Output ที่สอดคล้องกันคือ $(1,1)$ Jacobian คือ $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ที่มี determinant -3 ซึ่งไม่เป็นศูนย์ Partial derivatives ต่อเนื่องทำให้มี local inverse ที่หาอนุพันธ์ได้ ดังนั้น

อ่านแถวเป็น (u_x,u_y) และ (v_x,v_y) ทั้งหมดที่ output (1,1) การคูณให้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ โดยเฉพาะ $u_x=1/3$ ไม่ใช่ $1/x_u=1/2$: v เปลี่ยนแปลงเพื่อให้ y คงที่

For $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, decide whether its derivative is invertible away from the origin and whether F is globally injective on the punctured plane. What does a zero determinant at the origin establish by itself?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ away from zero, so the inverse-function theorem supplies a local inverse at each such point. But $F(u,v)=F(-u,-v)$, so it is not globally injective on the punctured plane. A vanishing determinant at zero means this theorem cannot guarantee a differentiable local inverse there. It is not, by itself, a general proof that no local set-theoretic inverse can exist for any map; for example the scalar cube map is bijective despite derivative zero at zero.