การหาอนุพันธ์แบบImplicitและInverse Jacobian
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผันท้องถิ่น |
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์จาโคเบียน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- พิกัดผลลัพธ์สองจุดสามารถขึ้นอยู่กับอินพุตทั้งสองได้ การคืนค่าความไวต่ออินพุตจึงต้องอาศัยการกลับเมทริกซ์อนุพันธ์ทั้งหมด แทนที่จะใช้ค่าผกผันเพียงตำแหน่งเดียว
- เป้าหมายของคุณ: อนุพันธ์ระบบเชิงซ้อนแบบนัยโดย treating เป็นระบบเชิงเส้น
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) จาคอบيانคือ J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]] การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยจะสอดคล้องกับ [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ ในอันดับแรก เพื่อหาค่า u_x โดยให้ y คงที่ ให้หาอนุพันธ์สมการนิยามทั้งสองเทียบกับ x: f_u u_x+f_v v_x=1 และ g_u u_x+g_v v_x=0 สิ่งเหล่านี้คือระบบเชิงเส้นที่เชื่อมโยงกัน ไม่ใช่กฎผกผันสเกลาร์อิสระสองข้อ
- ใช้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนที่ไม่ใช่ศูนย์เพื่ออธิบายความมีอยู่ของอินเวอร์สในท้องถิ่น
For x=u+v,y=u+2v, what is u_x when y is held fixed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse matrix of [[1,1],[1,2]] is [[2,−1],[−1,1]]. Its top-left entry is u_x=2.
ใช้กฎที่กำหนด
- หาก f และ g หาอนุพันธ์ต่อเนื่องใกล้จุดนั้น และ det J=f_u g_v−f_v g_u ไม่เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ทฤษฎีบทฟังก์ชันอินเวอร์สจะมอบอินเวอร์สในท้องถิ่นที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของมันคือ J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]] ดังนั้น u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J และ v_y=f_u/det J ประเมินอนุพันธ์ทุกตัวที่จุดที่เกี่ยวข้อง อินเวอร์สในท้องถิ่นอาจไม่ขยายไปยังอินเวอร์สทั่วโลกได้
- แยกแยะระหว่างอนุพันธ์ย่อยของอินเวอร์สกับกฎผกผันสเกลาร์
J=[[2,1],[1,−1]]. What is v_y in the inverse derivative matrix?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
det J=−3. The bottom-right inverse entry is 2/(−3)=−2/3.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับสมการนัย H(u,v,x,y)=0 และ K(u,v,x,y)=0 ให้หาอนุพันธ์โดยคงพิกัดอิสระที่ต้องการไว้ แก้ [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ ดีเทอร์มิแนนต์ในตัวแปรที่ไม่ทราบค่า u,v ต้องไม่เป็นศูนย์เพื่อใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันนัยมาตรฐานเครื่องหมายทางด้านขวาเกิดจากการย้ายอนุพันธ์ที่ทราบแล้วไปอีกฝั่ง หากดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ทฤษฎีบทนี้ไม่สามารถสรุปได้ มันไม่ได้พิสูจน์โดยตรงว่าไม่มีอินเวอร์สหรือไม่มีคำตอบแบบนัย
- แยกแยะระหว่างอนุพันธ์ย่อยของอินเวอร์สกับกฎผกผันสเกลาร์
ให้ x=u²+v และ y=u−v. ที่ (u,v)=(1,0), ผลลัพธ์คือ (1,1), และ J=[[2,1],[1,−1]] มีดีเทอร์มิแนนต์ −3. อินเวอร์สคือ [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], ดังนั้น u_x=1/3 และ v_y=−2/3 ณ จุดนั้น. การคูณ J dengan inverse นี้จะได้เอกลักษณ์. ค่าผกผัน 1/f_u=1/2 ไม่ใช่ u_x เพราะการเปลี่ยน u ยังต้องเปลี่ยน v เพื่อรักษา y ให้คงที่
The determinant of J=[[2,1],[1,−1]] is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Compute 2·(−1)−1·1=−3.
ใช้รูปแบบงาน
- ทางลัดสเกลาร์ du/dx=1/(dx/du) ใช้ได้สำหรับอินเวอร์สตัวแปรเดียวที่มีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ แต่มักล้มเหลวสำหรับระบบเชิงซ้อนเพราะ v จะเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ y คงที่ สำหรับ x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และอินเวอร์ส [[2,−1],[−1,1]] ดังนั้น u_x=2 ในขณะที่ 1/f_u=1 จาโคเบียนอินเวอร์สแปลงความไวต่อดิฟเฟอเรนเชียล; การแทนตัวแปรในอินทิกรัลใช้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์สำหรับการปรับขนาดพื้นที่หรือปริมาตร ไม่ใช่การเลือกอินเวอร์สเข้าหนึ่ง
- แยกแยะระหว่างอนุพันธ์ย่อยของอินเวอร์สกับกฎผกผันสเกลาร์
หาอนุพันธ์ทั้งสองสมการและระบุว่ามีผลลัพธ์ใดถูกยึดไว้ ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์รับประกันอินเวอร์สในท้องถิ่นภายใต้เงื่อนไขความเป็นระเบียบ; ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ไม่ใช่การพิสูจน์ความ /^(可行性) ใช้ค่าอินเวอร์สสำหรับความไวและค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์สำหรับการอินทิเกรต
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
หาอนุพันธ์ของระบบ implicit ที่เชื่อมโยงกันโดยพิจารณาเป็นระบบเชิงเส้น
A zero Jacobian determinant proves that the underlying map has no inverse of any kind.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The usual differentiable inverse theorem is inconclusive. For example (u,v)↦(u³,v) is bijective but has zero determinant at u=0 and an inverse not differentiable there.
รักษาระยะห่าง
- เมทริกซ์จาโคเบียน — เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันเวกเตอร์
- อินเวอร์สในท้องถิ่น — อินเวอร์สที่กำหนดบนเพื่อนบ้านของจุดอินพุตและเอาต์พุตเฉพาะจุด
- อนุพันธ์ระบบเชิงซ้อนแบบนัยโดย treating เป็นระบบเชิงเส้น
- ใช้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนที่ไม่ใช่ศูนย์เพื่ออธิบายความมีอยู่ของอินเวอร์สในท้องถิ่น
- แยกแยะระหว่างอนุพันธ์ย่อยของอินเวอร์สกับกฎผกผันสเกลาร์
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.