การแยกตัวประกอบ LU และความว่างเปล่าของแผนที่ที่ประกอบกัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การแทนค่าด้านหน้า |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | ความว่างเปล่า (nullity) |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- แยกตัวประกอบเมทริกซ์ครั้งเดียว แล้วแก้หลายระบบที่มีด้านขวาต่างกัน ประโยชน์มาจากการแก้สามเหลี่ยมสองครั้ง; การสลับลำดับการแก้จะให้ผลลัพธ์ที่ผิด
- เป้าหมายของคุณ: แก้ระบบเชิงเส้นที่แยกตัวประกอบแล้วด้วยการแทนค่าหน้าและการแทนค่าหลัง
อ่านความสัมพันธ์
- การแยกตัวประกอบ A=LU แสดงเมทริกซ์ตารางเป็น L (สามเหลี่ยมล่าง) และ U (สามเหลี่ยมบน)—with diagonal L เป็นหนึ่ง การแทนค่าหน้าจะง่ายเป็นพิเศษ เมทริกซ์ที่หาผกผันได้ไม่จำเป็นต้อง admitting รูปแบบนี้โดยไม่มีการแลกเปลี่ยนแถว: แกนนำเป็นศูนย์อาจต้องการการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับ PA=LU, แก้ Ly=Pb, แล้ว Ux=y การเรียงสับเปลี่ยนกระทำทั้งด้านขวาและเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แกนนำหลักที่ไม่เป็นศูนย์อธิบายการใช้วิธี elimination โดยไม่ต้องแลกเปลี่ยน ไม่ใช่แค่ความสามารถในการหาผกผัน
- ใช้การสลับแถวอย่างสม่ำเสมอเมื่อต้องทำการpivot
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
ใช้กฎที่กำหนด
- ในสมการ Ly=b คำนวณ y จากบนลงล่าง โดยลบพจน์ที่ทราบแล้วออก; หารด้วยองค์ประกอบหลักในแนวทแยงปัจจุบัน เว้นแต่จะมีค่าเป็นหนึ่ง ใน Ux=y คำนวณ x จากล่างขึ้นบน สำหรับแต่ละสมการให้แทนค่ากลับเข้าไปในแถวเดิมเพื่อตรวจสอบ การใช้ LU ซ้ำสำหรับหลายด้านขวาช่วยหลีกเลี่ยงการทำ elimination ซ้ำ: การแยกตัวประกอบแบบหนาใช้กำลังสามของมิติในการคำนวณ ในขณะที่การแก้ระบบเชิงเส้นแบบสามเหลี่ยมแต่ละครั้งใช้กำลังสองของมิติ การคำนวณที่แม่นยำสามารถตรวจสอบตัวอย่างขนาดเล็กได้; การ pivot แบบตัวเลขช่วยลดปัญหาการปัดเศษบางประการแต่ไม่สามารถกำจัดความไม่เสถียรโดยเนื้อแท้ได้
- กำหนดขอบเขตของมิติของ kernel ของฟังก์ชันประกอบโดยใช้ผลตัดกันระหว่าง image และ kernel
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับ B:V→W และ A:W→Z, ker B เป็นส่วนย่อยของ ker(A∘B) แต่ส่วนหลังอาจมีขนาดใหญ่กว่า เวกเตอร์เพิ่มคือเวกเตอร์ที่ถูก映射โดย B เข้าไปใน ker A ขอบเขต B ให้กับ ker(A∘B): image ของมันคือ im B∩ker A และ kernel คือ ker B Rank-nullity บนแผนที่จำกัดนี้ให้ dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A) ผลตัดกัน ไม่ใช่ kernel ทั้งหมดของ A ที่กำหนด nullity เพิ่ม
- กำหนดขอบเขตของมิติของ kernel ของฟังก์ชันประกอบโดยใช้ผลตัดกันระหว่าง image และ kernel
ให้ L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], และ b=(−1,−1,12) การแทนค่าหน้าให้ y=(−1,1,8) การแทนค่าหลังให้ x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, และ x₁=(−1−(−1)+2)/2=1 ดังนั้น x=(1,−1,2) การคูณ Ux ได้ y และการคูณ Ly ได้ b ตรวจสอบลำดับการแยกตัวประกอบได้อย่างอิสระ
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
ใช้รูปแบบงาน
- สำหรับ endomorphisms ของ R⁶ ที่มี nullity A=2 และ nullity B=3, rank B=3 และมิติของส่วนตัดสามารถอยู่ในช่วงจาก 0 ถึง 2. ดังนั้น nullity ของ A∘B จะอยู่ในช่วงจาก 3 ถึง 5. ขอบเขตขึ้นอยู่กับพื้นที่กลางร่วมกัน: สำหรับสเปซย่อยที่มีมิติ r และ s ในสเปซที่มีมิติ m, ส่วนตัดของพวก它有จะมีมิติระหว่าง max(0,r+s−m) และ min(r,s). การกลับลำดับการประกอบสามารถเปลี่ยน nullity ของมันได้ แม้ว่า AB และ BA จะนิยามได้ทั้งคู่ เลือกสเปซที่เข้ากันได้ก่อนใช้สูตรเหล่านี้
- กำหนดขอบเขตของมิติของ kernel ของฟังก์ชันประกอบโดยใช้ผลตัดกันระหว่าง image และ kernel
แก้สมการโดยเริ่มจาก L ก่อนและ U หลัง และสลับ b หาก PA=LU Nullity ของฟังก์ชันประกอบไม่ได้เป็นผลรวมของ nullity ทั้งสองโดยอัตโนมัติ; เฉพาะผลตัดกันระหว่าง image กับ kernel เท่านั้นที่เพิ่มเข้าไปใน nullity ของ B
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แก้ระบบเชิงเส้นที่แยกตัวประกอบแล้วโดยใช้ forward substitution และ backward substitution
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
รักษาระยะห่าง
- forward substitution — การแก้ระบบสามเหลี่ยมล่างโดยเริ่มจากสมการแรก downwards
- nullity — มิติของ kernel ของ linear map
- แก้ linear system ที่แยกตัวประกอบแล้วด้วยการแทนค่าหน้าและหลัง
- ใช้การสลับแถวอย่างสม่ำเสมอเมื่อต้องทำการpivot
- กำหนดขอบเขตของมิติของ kernel ของฟังก์ชันประกอบโดยใช้ผลตัดกันระหว่าง image และ kernel
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.