FP1 · Further Pure Mathematics 1

Cyclic Mathematics 1 (FP1, paper WFM01/01, 1 hour 30 minutes, 75 marks) is compulsory for International AS and A Level Further Mathematics and for International AS and A Level Pure คณิตศาสตร์ P1–P2 ถูกสมมติและอาจถูกทดสอบ รวมถึงตำแหน่งการเปลี่ยนเครื่องหมายของราก, การหมุนรูปทรงรอบจุดกำเนิด และการหารพหุนามดีกรีสามหรือดีกรีสี่ด้วยดีกรีสอง ข้อนี้ เนื้อหาอ้างอิงครอบคลุมจำนวนเชิงซ้อน รากของสมการกำลังสอง วิธีทางตัวเลข พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล็ก_ALGEBRA_เมทริกซ์ การแปลงทางเรขาคณิต เซรีส์จำกัดและการพิสูจน์ โดยการอุปนัย.

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ FP1 (ไม่มีในคู่มือ):

จำนวนเชิงซ้อนคือ $z = a + bi$ ที่มี $i^2 = -1$; $a$ คือส่วนจริง, $b$ คือส่วนจินตภาพ. ค่านิยมคู่ $\bar z = a - bi$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายของ ส่วนจินตภาพ, และ $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — กลยุทธ์ที่ ทำให้ตัวส่วนเป็นจริง: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. สอง จำนวนเชิงซ้อนจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพตรงกันเท่านั้น รูปแบบขั้ว $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ คู่ modulus $r$ กับ argument (นิยามเฉพาะเมื่อ $z\ne0$) $\theta$; การคูณจำนวนเชิงซ้อนคือการคูณโมดูลัสของพวกมัน ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

ตัวอย่างวิธีทำ — ผลบวกจริงช่วยกำหนดส่วนจินตภาพ. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ ที่มี $r > 0$, และ $z_2$ มีโมดูลัส 5. เนื่องจาก $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, เราจะได้ $r = 3$. ดังนั้น $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. ถ้า $z_1 + z_2$ เป็นจริง ส่วนจินตภาพของมันจะเป็น ศูนย์ ดังนั้น $z_2 = a + \tfrac32 i$; แล้ว $a^2 + \tfrac94 = 25$ ให้ $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. ทั้ง $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ และสะท้อนของมันใน แกนจินตภาพสามารถใช้ได้.

บนแผนภาพอาร์แกน (Argand diagram) ให้แสดง $z = a + bi$ เป็นจุด $(a, b)$: การบวกคือการบวกเวกเตอร์, จำนวนสังยุคสะท้อนบนแกนจริง, และ $\lvert z\rvert$ คือ ระยะห่างจากจุดกำเนิด

สำหรับสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีค่าดีคริมินานต์เป็นลบ ให้ทำกำลังสองสมบูรณ์: $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ จะได้ $x = 3 \pm 2i$ รากจะเป็นคู่การสังยุค — และ สิ่งนี้คงอยู่ตามระดับ: หาก $f(z_1) = 0$ สำหรับสัมประสิทธิ์จำนวนจริง, แล้ว $f(\bar z_1) = 0$ ด้วย. ดังนั้น สมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจริงจะมีรากจริงสามราก หรือรากจริงหนึ่งรากพร้อมคู่การสังยุคหนึ่งคู่ และ $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ เป็นจำนวนจริง ปัจจัยกำลังสอง หารมันออกเพื่อให้ถึงส่วนที่เหลือ

ตัวอย่างวิธีทำ — สมการกำลังสี่ที่มีรากเชิงซ้อนที่กำหนดให้ (WFM01 มิถุนายน 2025 ข้อ7) $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ มีราก $3 + 5i$ ดังนั้น $3 - 5i$ ก็เป็นรากเช่นกัน และ

เขียน $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ และเปรียบเทียบ: $34c = 68$ ดังนั้น $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ ดังนั้น $34b = 204$, $b = 6$; จากนั้น $b - 6P = -36$ ให้ $P = 7$ และ $c - 6b + 34P = Q$ ให้ $Q = 204$. (ตรวจสอบกับ $f(3+5i) = 0$: สมการจำนวนจริง $644P + 16Q = 7772$ เป็นจริง เนื่องจาก $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) รากอื่นๆ แก้ $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข: ใช้เฉพาะการคำนวณ $b^2 - 4ac < 0$ และข้อเท็จจริงเรื่องการสังยุค

สำหรับ $ax^2 + bx + c = 0$ ที่มีราก $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ และ $\alpha\beta = \tfrac ca$. สมการสมมาตรใน $\alpha, \beta$ จึงไม่จำเป็นต้องมีรากแยก ราก: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$, และ $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. เพื่อสร้างสมการกำลังสองใหม่ ให้แสดงผลบวกใหม่และ ผลคูณใหม่ ในพจน์ของค่าเดิม; สมการคือ $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

ตัวอย่างวิธีทำ — รากใหม่โดยไม่แก้ (WFM01 มิถุนายน 2025 ข้อ6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ มีราก $\alpha, \beta$, ดังนั้น $\alpha\beta = -\tfrac53$. หาก $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, แล้ว $-\tfrac k3 = -15$, ดังนั้น $k = 45$ และ $\alpha + \beta = -15$. สำหรับราก $\alpha^2 + \beta$ และ $\alpha + \beta^2$:

สมการใหม่คือ $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (คูณ $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ ด้วย 9).

สามตัวระบุตำแหน่งแบบ iteratively: bisection และ interpolation ต้องมีฟังก์ชันต่อเนื่องบน bracket ของมัน; Newton–Raphson ยังต้องการ derivative ที่กำหนดและไม่เท่ากับศูนย์ในแต่ละขั้นตอนและอาจล้มเหลวในการ converge. interval bisection จะแบ่งครึ่งช่วงที่มีเครื่องหมายเปลี่ยน; การประมาณเชิงเส้น สร้างสายคอร์ดจาก $(a, f(a))$ ไปยัง $(b, f(b))$ และหาจุดศูนย์ของคอร์ดนั้น $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; วิธีนิวตัน-ราฟสัน

• (สูตรให้ไว้ในคู่มือ) ทำวน $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. แสดงทุกขั้นตอนการคำนวณ — คำตอบที่ใช้เครื่องคิดเลขเพียงอย่างเดียวจะไม่ได้รับคะแนน.

ตัวอย่างวิธีทำ — การแบ่งครึ่งและการประมาณเชิงเส้น (WFM01 มิถุนายน 2025 ข้อ3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ มีรากเดียว $\alpha$ ใน $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, so halve: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. The sign change sits in $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (เรเดียน): $g(4) = 2.396 > 0$ และ $g(5) = -0.502 < 0$, และ $g$ เป็นต่อเนื่อง ดังนั้น root $\beta$ อยู่ภายใน $[4, 5]$ Interpolating ครั้งแรก: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

วิธีนิวตัน–ราฟสัน (ตัวอย่างดั้งเดิม). แก้ $x^3 - 2x - 5 = 0$ จาก $x_0 = 2$: $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ ดังนั้น $f'(2) = 10$ และ $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; จากนั้น $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. Iterates เข้าใกล้ root ประมาณ $2.09455$ (ตรวจสอบ: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$)

พาราโบลา $y^2 = 4ax$ มีรูปแบบพารามิเตอร์ $x = at^2$, $y = 2at$; ที่ ไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า $xy = c^2$ มี $x = ct$, $y = \tfrac ct$. เส้นสัมผัสและ เส้นปกติมาจากการหาอนุพันธ์ของสมการคาร์ทีเซียน (การหาอนุพันธ์แบบพารามิเตอร์ไม่ $y^2 = 4ax$ ให้ $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ ดังนั้น $t$ $xy = c^2$ ให้ $y = \tfrac{c^2}x$ ดังนั้น $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ ที่ $x = ct$.

ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นฉากกับไฮเพอร์โบลา (WFM01 มิถุนายน 2025 Q4). สำหรับ $xy = 81$ ที่ $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ ดังนั้นค่าปกติจะมี ความชัน $t^2$:

ที่แกน $y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. ด้วย $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ และ $A = (0, \tfrac{80}3)$ ดังนั้นสามเหลี่ยม $OPA$ มีพื้นที่ $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

ไดเร็กทริกซ์ $(a, 0)$. ใช้ระยะทาง ไม่ใช่พีชคณิต เพื่อไขโจทย์เรขาคณิต directrix $x = -a$. Distances, not algebra, unlock the geometry questions.

ตัวอย่างวิธีทำ — ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสและเส้นตรง (WFM01 มิถุนายน 2025 ข้อ9). $P$ อยู่บนพาราโบลา 5 หน่วยจากจุดโฟกัส ดังนั้น $P$ จึงอยู่ห่างจากเส้นตรงอีก 5 หน่วย ($PF = PM = 5$, โดยที่ $PM$ ตั้งฉากกับเส้นตรง) จุด $Q, R$ บนเส้นตรงจะสอดคล้องกับ $PQ = PR = 10$ แต่ละ สามเหลี่ยมมุมฉาก $PQM$ จะให้ $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$ และ $M$ อยู่ ระหว่าง $Q$ กับ $R$ ดังนั้น $QR = 10\sqrt3$.

เมทริกซ์บวกและคูณด้วยสเกลาร์เข้าองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ (ต้องเป็นรูปทรงเดียวกัน) และคูณกันแบบแถวต่อหลัก ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ โดยทั่วไป) สำหรับ เมทริกซ์ $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: ค่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายถึง เอกฐาน (ไม่มีอินเวอร์ส); ในกรณีอื่น $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ และมี $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. อินเวอร์สจะกลับลำดับการดำเนินการ: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — ยกเลิกการแปลงขั้นตอนสุดท้ายก่อน

ตัวอย่างวิธีทำ — การหาอินเวอร์สที่ต้องมีความสอดคล้อง (WFM01 มิถุนายน 2025 ข้อ1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ กับ $a \ne -\tfrac53$:

กำหนดให้ $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, เปรียบเทียบองค์ประกอบ: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ ให้ $5 + 3a = \tfrac12$ และทุกองค์ประกอบอื่นๆ ยืนยันค่านี้ ดังนั้น $a = -\tfrac32$.

เมทริกซ์ $2\times 2$ $\mathbf M$ แปลงเวกเตอร์คอลัมน์โดย $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; ของมัน คอลัมน์คือภาพของ $\mathbf i$ และ $\mathbf j$ — อ่านการแปลงตรงๆ จากเมทริกซ์ ผลลัพธ์มาตรฐาน:

สำหรับการประกอบ การแปลง $\mathbf{AB}$ หมายความว่า "นำ $\mathbf B$ ไปใช้ก่อน แล้วจึง $\mathbf A$" การแปลงกลับ transformation undoes it, and $\lvert\det\mathbf M\rvert$ is the area scale factor: areas multiply by the determinant (ดีเทอร์มิแนนต์ลบเพิ่มการสะท้อน)

ตัวอย่างวิธีทำ — อธิบายและรวม (WFM01 มิถุนายน 2025 Q2). $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ maps $\mathbf i \to (0,-1)^T$ and $\mathbf j \to (1,0)^T$: a quarter-turn clockwise (270° anticlockwise) about $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ เป็นการจัดขนาด สเกล 5 ศูนย์กลาง $O$. การสะท้อนใน $y = -x$ is $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, so $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. If $\mathbf Q$ follows $\mathbf P$ and maps $B$ to $A$, then $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — $\mathbf P$'s own inverse is its transpose, so this is arithmetic only.

คู่มือ), พหุนามแต่ละพจน์แยกออกเป็นชิ้นมาตรฐาน—including ผลบวกถึงลิมิตคู่ $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (แทนค่า $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ลงในสูตรมาตรฐาน) และผลบวกที่เลื่อนตำแหน่งเช่น หนังสือเรียน), ผลบวกพหุนามใด ๆ สามารถแยกออกเป็นชิ้นมาตรฐาน—including ผลบวกถึงขอบเขต even ลิมิต $2n$ (แทนค่า $k = 2n$ ลงในสูตรมาตรฐาน) และผลบวกที่เลื่อนตำแหน่งเช่น $\sum (r+1)^2$.

ตัวอย่างวิธีทำ — ผลรวม 2 ถึง n (WFM01 เดือนมิถุนายน 2025 ข้อ8a). แสดงให้ $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

และ $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$ ดังนั้นผลรวมคือ $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (ตรวจสอบ $n = 1$: $1 + 7 = 8$ และ $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

การอุปนัย ใช้พิสูจน์ข้อความ $P(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ในสามขั้นตอน: ตรวจสอบ $P(1)$; สมมติ $P(k)$; สรุป $P(k+1)$ จากมัน — แล้วปิดท้ายด้วย "เป็นจริงสำหรับ $n = 1$, และความจริงสำหรับ $n = k$ บ่งบอกความจริงสำหรับ $n = k+1$, ดังนั้นโดยการอุปนัย เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนบวก จำนวนเต็ม $n$". ประโยคปิดเป็นส่วนหนึ่งของข้อพิสูจน์ สี่ครอบครัวที่ประเมิน: ผลบวก สูตร, การหารหมด, ลำดับที่กำหนดโดยสมการเวียนกลับ, และกำลังของเมทริกซ์.

ตัวอย่างทำแล้ว — ผลบวก (WFM01 มิถุนายน 2025 Q8b). จงพิสูจน์ $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. สำหรับ $n = 1$: LHS $= 1\cdot1^2 = 1$ และ $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ คือ $n = k$, และวงเล็บของ $(k+1)$ กระจายได้เป็น $(k+1)(3k+1)^2$ — เหมือนกัน. ดังนั้นข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ

กระจายวงเล็บ: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. เป้าหมายสำหรับ $n = k+1$ คือ $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, และวงเล็บ $(k+1)(k+2)(9k+2)$ ของมันกระจายได้เป็น $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — เหมือนกันพอดี ดังนั้นข้อความเป็นจริงสำหรับ $n = k+1$, และโดยการอุปนัยสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกตัว $n$.

การหารหมด (ตัวอย่างต้นฉบับ). จงพิสูจน์ว่า $n^3 + 2n$ หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับ $n = 1$: $3$. สมมติ $k^3 + 2k = 3m$; แล้ว $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, ยังคงเป็นพหุคูณของ 3. โดยการอุปนัย เป็นจริงสำหรับทุก $n$.

กำลังของเมทริกซ์ (ตัวอย่างต้นฉบับ). จงพิสูจน์ $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. เป็นจริงสำหรับ $n = 1$. ถ้าเป็นจริงสำหรับ $k$, แล้ว $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, การเติมเต็ม การพิสูจน์โดยอุปถัมภ์ (induction)

• ทำงานกับ $a + bi$ และ $r(\cos\theta + i\sin\theta)$: โมดูลัส, อาร์กิวเมนต์, คอนจูเกต; ผลหารที่เป็นจำนวนจริง
• ใช้คู่คอนจูเกตเพื่อแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสามและสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง; หาคำตอบทั้งหมดโดยไม่ใช้เครื่องคิดคำนวณ
• แปลงรูปสมมาตรผ่าน $\alpha + \beta$ และ $\alpha\beta$; สร้างพหุนามดีกรีสองใหม่สำหรับรากที่ถูกแปลง
• หาตำแหน่งรากด้วยการแบ่งครึ่งและการประมาณค่าเชิงเส้นโดยแสดงทุกขั้นตอนการประเมินผล; ทำซ้ำวิธีนิวตัน-ราฟซันจากจุดเริ่มต้นที่กำหนด
• ใช้ $y^2 = 4ax$ และ $xy = c^2$ ในรูปแบบพารามิเตอร์; เส้นสัมผัส/เส้นตั้งฉากผ่านการหาอนุพันธ์แบบคาร์ทีเซียน; ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสและไดเร็กทริกซ์
• Invert $2\times2$ matrices (and $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); solve matrix equations entry by entry.
• ระบุการสะท้อน, การหมุน, การยืด/หด, และการขยายขนาดจาก matrices; รวมกันตามลำดับที่ถูกต้อง; ใช้ $|\det|$ เป็นตัวคูณสเกลพื้นที่
• Sum series to $n$ and $2n$ with the standard formulae; prove series, divisibility, recurrence and matrix results by induction with a closing statement.