การแบ่งครึ่งและการหาค่ารากด้วยวิธีนิวตัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | การทำซ้ำ |
ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?
- สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
- บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งช่วงรากครึ่งหนึ่งและเก็บช่วงที่มีเครื่องหมายตรงข้ามที่จุดปลาย Newton อัปเดต x เป็น x-f(x)/f prime(x) โดยต้องอนุพันธ์ไม่เท่ากับศูนย์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
f(x)=1/x เปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง -1 และ 1 ทำไมสิ่งนี้จึงไม่พิสูจน์ว่ามีรากใน [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การให้เหตุผลด้วยค่ากลางต้องการความต่อเนื่องตลอดช่วงที่พิจารณา ที่จุด asymptote x=0 ฟังก์ชันกระโดดจากค่าลบไปค่าบวกโดยไม่มีรากอยู่
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ f(x)=x²-2, f(1)=-1 และ f(2)=2. ที่จุดกลาง 1.5, f=0.25 ดังนั้นช่วงใหม่คือ [1,1.5]. ที่จุดกลาง 1.25, f=-0.4375 ดังนั้นช่วงถัดไปคือ [1.25,1.5]. ใช้วิธี Newton จาก 1.5 จะได้ 1.4166667.
การแบ่งครึ่งและการหาค่ารากด้วยวิธีนิวตัน
สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งครึ่งช่วงรากและเก็บครึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันที่จุดปลาย
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
หาจุดกึ่งกลางของ [1,2]
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จุดกึ่งกลาง=(1+2)/2=1.5
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การเปลี่ยนเครื่องหมายต้องเกิดขึ้นในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง วิธี Newton อาจล้มเหลวหากอนุพันธ์เป็นศูนย์ หรือหากค่า iterates ออกนอกโดเมนที่มีประโยชน์
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ทุกการเปลี่ยนเครื่องหมายพิสูจน์การมีราก รวมถึงที่ข้ามจุดไม่ต่อเนื่อง ประโยคนี้ผิด อธิบายว่าข้อจำกัดหรือนิยามใดถูกละเมิด
หลังจากทำการแบ่งครึ่งตามขั้นตอนข้างต้นสองครั้งแล้ว ให้หาขอบเขตล่าง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หลังจากหาจุดกึ่งกลาง 1.5 แล้ว 1.25, สกัดช่วงที่คงไว้คือ [1.25,1.5] จุดปลายด้านล่างของช่วงนี้คือ 1.25
ทุกการเปลี่ยนเครื่องหมายยืนยันว่ามีรากอยู่จริง รวมถึงกรณีข้ามจุดไม่ต่อเนื่องด้วย
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนเครื่องหมายต้องเกิดขึ้นในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง Newton อาจล้มเหลวได้หากอนุพันธ์เป็นศูนย์ หรือหากค่าวนซ้ำออกจากโดเมนที่มีประโยชน์
ตีความสถานการณ์ใหม่
- วิธีการคำนวณเชิงตัวเลข FP1 เกี่ยวข้องกับราก: วิธีแบ่งครึ่ง, การประมาณค่า และวิธีนิวตัน การอินทิเกรตเชิงตัวเลขไม่อยู่ในบทเรียนนี้
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาจุดปลายด้านบนของช่วงนั้น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จุดปลายด้านบนที่คงไว้คือ 1.5 ซึ่ง f ยังคงเป็นค่าบวก
จับคู่แต่ละวิธีเชิงตัวเลขกับสูตรอัปเดตหรือกฎของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละวิธีมีเงื่อนไขของตัวเอง: วิธีแบ่งครึ่งต้องการการเปลี่ยนสัญญาณที่ต่อเนื่อง, นิวตันต้องการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์, และวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูต้องการความกว้างของแถบเท่ากัน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์บริสุทธิ์; หน่วยทางการ FP1. การเสริมสร้างหน่วยอื่นระบุไว้ในขอบเขตการทบทวน; ไม่ใช่ข้อกำหนดการเพิ่มคะแนนพิเศษ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
การอัปเดตซ้ำที่การประมาณค่าใหม่แต่ละตัวคำนวณจากค่าก่อนหน้า เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์