P4 · Pure Mathematics 4

Pure Mathematics 4 (P4) เป็นหน่วยคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ภาคบังคับสุดท้ายของ International A Level Mathematics และ International A Level Pure Mathematics. P1–P3 ถือว่าทราบแล้วและอาจถูกทดสอบใน WMA14/01 กระดาษ (1 ชั่วโมง 30 นาที, 75 คะแนน; กฎการใช้เครื่องคิดเลขและสมุดสูตรเดียวกัน) เอกสารอ้างอิงนี้ครอบคลุม ครอบคลุมการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง, เศษส่วนย่อย, สมการพารามิเตอร์, ทฤษฎีบททวินามทั่วไป วิธีการแยกอินทิกรัลที่ขยายออก ปริมาตรจากการหมุน และเวกเตอร์ การแยกอินทิกรัล, ปริมาตรจากการหมุน, และเวกเตอร์

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ P4 (ไม่มีในสมุดสูตร):

การพิสูจน์โดยวิธีขัดแย้ง สมมติว่าสิ่งที่ตรงข้ามกับข้ออ้างนั้นเป็นจริง แล้วนำไปสู่ความไม่ Possible, แล้วสรุปว่าข้ออ้างเดิมเป็นจริง ตัวอย่างสำคัญสองเรื่องที่ต้องทราบ:

Worked example — $\sqrt2$ is irrational. (A number is irrational when no fraction $\tfrac pq$ equals it.) Suppose instead $\sqrt2 = \tfrac pq$ in lowest ($p, q$ เป็นจำนวนเต็ม coprime, $q \ne 0$).

• การยกกำลังสอง: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, ดังนั้น $p^2$ เป็นเลขคู่, ดังนั้น $p$ เป็นเลขคู่: เขียน $p = 2r$.
• จากนั้น $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, ดังนั้น $q$ ก็เป็นเลขคู่เช่นกัน
• ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นเลขคู่ ขัดแย้งกับ $\tfrac pq$ ที่อยู่ในรูปอย่างง่าย. $\blacksquare$

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ — มีจำนวนเฉพาะมากมายไม่จำกัด สมมติว่ามีจำนวนจำกัด: $p_1, \ldots, p_k$.

• พิจารณา $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. นำ $N$ หารด้วย $p_i$ ใดๆ จะเหลือเศษ 1.
• ดังนั้น $N$ จะเป็นจำนวนเฉพาะเอง หรือมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่อยู่ในรายการ — ในทั้งสองกรณีคือจำนวนเฉพาะ นอก $\{p_1, \ldots, p_k\}$, ขัดแย้งกับสมมติฐาน. $\blacksquare$

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ — ความขัดแย้งทางตรีโกณมิติ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA14 เดือนมิถุนายน 2025 ข้อ10). พิสูจน์ว่า $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ สำหรับทุก $90° < x < 180°$.

• Suppose not: some $x$ in the range has $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Squaring (both ฝั่งมีค่าไม่ลบ):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• แต่ $90° < x < 180°$ ให้ $180° < 2x < 360°$, ซึ่ง $\sin 2x < 0$ — เป็นข้อขัดแย้ง.
• ดังนั้นจึงไม่มี $x$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ และ $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ จะเกิดขึ้นตลอดช่วงค่า $\blacksquare$
• ตรวจสอบที่ $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; ที่ $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

แยกฟังก์ชันตรรกยะออกเป็น เศษส่วนย่อย โดยตัวส่วนจะอยู่ในรูปของ ความซับซ้อนเชิงเส้นซ้ำซ้อน: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ หรือ $(ax+b)(cx+d)^2$ พร้อมกับ ปัจจัยซ้ำซ้อน $(cx+d)$ แยกตามกำลังต่างๆ ส่วนปัจจัยกำลังสองไม่จำเป็น เศษส่วนเกิน (ดีกรีของตัวเศษ $\ge$ ดีกรีของตัวส่วน) ให้หารก่อน

ตัวอย่างวิธีทำ — ปัจจัยที่ต่างกัน แยก $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (จากใบงาน P2 กลุ่ม):

• ตรวจสอบที่ $x = 0$: LHS $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; RHS $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

ตัวอย่างวิธีทำ — ปัจจัยซ้ำซ้อน แยก $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• ตั้งสมการโดยแบ่งปัจจัยซ้ำซ้อนตามกำลังทั้งสอง:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• คูณกระจาย: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• ที่ $x = 0$: $6 = A$. ที่ $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• เปรียบเทียบ $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• ตรวจสอบที่ $x = 1$: LHS $= \tfrac{16}{4} = 4$; RHS $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

สมการพารามิเตอร์ กำหนดพิกัดทั้งสองผ่านตัวแปร $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. แปลงเป็นรูป คาร์ทีเซียน โดยการทำให้ $t$ เป็นตัว subject ของสมการหนึ่ง และแทนค่าลงในอีกสมการหนึ่ง (หรือใช้เอกลักษณ์) อย่าลืม ค่าที่ห้ามใช้ของ $x$ ที่การจับคู่พารามิเตอร์ล้มเหลว

Worked example. A curve has $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Find the Cartesian equation.

• จาก $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, ดังนั้น
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• ตรวจสอบที่ $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; คาร์ทีเซียน: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

ตัวอย่างวิธีทำ — จุดพารามิเตอร์และเส้นตั้งฉาก (ข้อเท็จจริงที่ยืนยันแล้วจาก Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 ข้อ5). เส้นโค้งพารามิเตอร์ผ่าน $P(-7, -3)$ ที่ $t = 2$ โดยมี $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ ที่จุดนั้น (มาจาก $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• ความชันของเส้นตั้งฉาก: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• ตรวจสอบ: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓

สำหรับ จำนวน有理数 ใดๆ $n$ และ $\lvert x \rvert < 1$:

แยกตัวประกอบก่อน: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, ใช้ได้สำหรับ $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. แยกฟังก์ชันตรรกยะเป็นส่วนย่อย แล้ว ขยายแต่ละส่วน. พจน์กำลังจะไม่สิ้นสุดเว้นแต่ $n$ จะเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างวิธีทำ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 ข้อ8). ขยาย $\sqrt{4 + x}$ ให้ได้ สามพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์

• แยกตัวประกอบ: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, ใช้ได้ $\lvert x\rvert < 4$, โดย $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• ตรวจสอบที่ $x = 1$: อนุกรมให้ $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; จริง $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (พจน์ที่สามดึงค่าสองพจน์ 2.25 ลงมาให้อยู่ภายใน 0.002)

การหาอนุพันธ์แบบชัดแจ้ง หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$, โดยพิจารณา $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, และผลคูณเช่น $xy$ ต้อง ใช้กฎผลคูณ: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. จากนั้นแก้หาค่า $\dfrac{dy}{dx}$

การหาอนุพันธ์แบบพารามิเตอร์: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ เมื่อ $dx/dt\ne0$; มิฉะนั้นตรวจสอบเส้นสัมผัสโดยตรง

ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นสัมผัสแบบนัยยะ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 ข้อ1). เส้น โค้ง $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ ผ่านจุด $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. จงหาเส้นสัมผัสที่จุดนั้น

• หาอนุพันธ์ทีละพจน์:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• ที่ $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, ดังนั้น
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• เส้นสัมผัส: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• ตรวจสอบ: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓

สร้างสมการจากคำบรรยายอัตรา แล้วแก้ สมการแยกตัวแปรได้:

ตรวจสอบทุกค่าที่ถูกหารออกขณะแยกตัวแปร: คำตอบคงที่อาจหายไป ใช้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับ คำตอบเฉพาะ อัตราการเปลี่ยนแปลงที่เชื่อมโยงกัน ใช้กฎลูกโซ่: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$

ตัวอย่างวิธีทำ — ลูกบอลกำลังละลาย (Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 ข้อ2). ลูกบอลที่มีรัศมี $r$ เซนติเมตร มีปริมาตร $V = \tfrac43\pi r^3$ และละลายด้วย $\dfrac{dV}{dt} = k$ (คงที่, ใน เซนติเมตร³ ต่อวินาที) แสดงว่า $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• หาอนุพันธ์ของความสัมพันธ์ปริมาตร: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• กฎลูกโซ่: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, ดังนั้น
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• ค่าคงที่ $\dfrac{k}{4\pi}$ คูณกับ $\dfrac{1}{r^2}$: อัตราการลดลงของ รัศมีแปรผกผันกับ $r^2$. $\blacksquare$
• ความหมาย: ลูกบอลขนาดเล็กจะหายไปอย่างรวดเร็วเกินสัดส่วน — มิลลิเมตรสุดท้ายจะละลาย เร็วที่สุด

ตัวอย่างวิธีทำ — สมการแบบแยกตัวแปรได้ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 ข้อ3). แก้ $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, เมื่อ $y = 4$ ที่ $x = \tfrac\pi6$

• แยกตัวแปร: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (ฝั่งขวาอินทิเกรตได้ เพื่อ $\tfrac32\sec 2x$, แทนค่า $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$:
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• แทนค่า $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, ดังนั้น $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• ตรวจสอบ: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓

• การแทนตัวแปร (มักให้มา): เขียนอินทิกรัลใหม่ใน $u$, ปรับ $dx$ ผ่าน $\dfrac{du}{dx}$, อินทิเกรต, แทนค่ากลับเข้า. นี่คือกฎลูกโซ่ในทิศทางตรงกันข้าม
• การอินทิเกรตด้วยส่วน: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — กฎผลคูณย้อนกลับ รู้ $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ และใช้ซ้ำสำหรับอินทิกรัลประเภท $\int x^2\mathrm{e}^x dx$
• ส่วนย่อย เปลี่ยนตัวประกอบเชิงตรรกะของอินทิกรัลให้เป็นผลบวกของ $\dfrac{A}{ax+b}$ (อินทิเกรต เพื่อหาลอการิทึม) และ $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (เพื่อใช้กับเลขชี้กำลัง).

ตัวอย่างวิธีทำ — การอินทิเกรตด้วยส่วนที่มีซ้ำใน sight หา $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (จำเป็นสำหรับการหาปริมาตรของการหมุนรอบแกน x กับเส้นโค้งตรีโกณมิติ)

• ส่วนที่ $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• ทำส่วนอีกครั้งกับอินทิกรัลใหม่ ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• อินทิกรัลเดิมปรากฏกลับมา; รวมนั้นเข้าด้วยกัน:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• ตรวจสอบด้วยการหาอนุพันธ์: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

การหมุนพื้นที่ใต้ $y = f(x) \ge 0$ รอบ $x$-แกน จะเกิดของแข็งwhose volume of revolution

คือ ปริมาตรของการหมุนรอบแกน

ยกกำลังสองฟังก์ชัน ก่อน อินทิเกรต ใช้เอกลักษณ์จัดการ $\sin^2$/$\cos^2$, และแยกด้วยความเป็นเชิงเส้น สำหรับสมการพารามิเตอร์ แทน $y^2\,dx$ ด้วย $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ระหว่างค่าพารามิเตอร์; พื้นที่ใต้เส้นโค้งพารามิเตอร์ใช้ $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$

ตัวอย่างวิธีทำ — ปริมาตรด้วยเอกลักษณ์ (โครงสร้างปรับจาก Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 Q9). พื้นที่ใต้ $y = 3\cos x$ สำหรับ $0 \le x \le \tfrac\pi2$ หมุนรอบ แกน $x$; หาปริมาตรที่แน่นอน

• ตรวจสอบ: ค่าเฉลี่ยของ $\cos^2x$ ตลอดครึ่งรอบคือ $\tfrac12$, ดังนั้น $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ ที่แน่นอน

เวกเตอร์ มีขนาดและทิศทาง เขียนเป็น $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ หรือในรูปคอลัมน์

ขนาด คือ $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; สำหรับ $\mathbf a\ne\mathbf0$, เวกเตอร์หน่วย ในทิศทางของมันคือ $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง

การบวกและการคูณสเกลาร์มีความหมายทางเรขาคณิต (การเลื่อน, การขยาย, ขนานกัน เมื่อตัวหนึ่งเป็นผลคูณของอีกตัว)

ผลคูณสเกลาร์ $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ ให้มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ผ่าน $\cos\theta$. เวกเตอร์ตำแหน่ง ของ $B$ เทียบกับ $A$ คือ $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$

ตัวอย่างวิธีทำ —สามเหลี่ยม 45° (Edexcel IAL WMA14 มิถุนายน 2025 Q6, ตรวจสอบครบถ้วน) $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, และมุม $BAC = 45°$

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, ดังนั้น $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$
• ผลคูณสเกลาร์: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$
• เงื่อนไขมุมร่วมกับ $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• ตรวจสอบ: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ ตรงกับผลคูณสเกลาร์

• โครงสร้างการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง (√2, ตัวประกอบต้น) โดยระบุสมมติฐานและชื่อบทพิสูจน์ความขัดแย้ง
• แยกเป็นเศษส่วนย่อยรวมถึงตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ; หารเศษส่วนเกิน ตรวจสอบโดยแทนค่า
• แปลงพารามิเตอร์ ↔ คาร์ทีเซียน พร้อมค่าที่ตัดออก; หาเส้นสัมผัสและแนวตั้งของพารามิเตอร์ qua dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
• ขยาย $(a + bx)^n$ สำหรับ $n$ ที่อยู่ในรูปเศษส่วนที่มีเหตุผลโดยมีเงื่อนไขความถูกต้อง; รวมการขยายของเศษส่วนย่อย เศษส่วนย่อย
• หาอนุพันธ์แบบเชิงซ้อน (ใช้กฎผลคูณกับพจน์ผสม) และแบบพารามิเตอร์; สร้างสมการเชิงอนุพันธ์จากอัตราที่เชื่อมโยงกัน สมการจากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกัน
• แก้สมการแยกตัวแปรด้วยเงื่อนไขขอบเขต; ตรวจสอบคำตอบเฉพาะ
• ทำอินทิเกรตด้วยการแทนที่, ส่วนประกอบ (รวมถึงการทำซ้ำ, $\ln x$), และเศษส่วนย่อย
• คำนวณปริมาตรจากการหมุน $\pi\int y^2 dx$ และพื้นที่พารามิเตอร์ผ่าน $dx/dt$
• ใช้เวกเตอร์: ขนาด, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, เวกเตอร์ตำแหน่ง; มุมระหว่างเวกเตอร์ผลคูณสเกลาร์