P3 · Pure Mathematics 3

Pure Mathematics 3 (P3) extends P1 and P2: rational functions and inverses, the modulus, combined transformations, reciprocal trigonometric functions and harmonic form, log-graph model fitting, the full differentiation rules, integration by recognition, and numerical methods. P1 and P2 knowledge is assumed and may be tested on the WMA13/01 paper (1 hour 30 minutes, 75 marks; same calculator and formula-booklet rules).

สูตรที่คุณต้องรู้สำหรับ P3 (ไม่มีในคู่มือ):

ลดรูปพหุนามเศษส่วน โดยแยกตัวประกอบและตัดทอน; การหารพีชคณิต รองรับตัวส่วนถึงกำลังสอง ตัดทอนเฉพาะตัวประกอบ ห้ามตัดพจน์

ฟังก์ชัน คือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือหลายต่อหนึ่ง; โดเมน คือค่าเข้าที่อนุญาต และ เรนจ์ คือผลลัพธ์ การ คอมโพสิต $fg$ หมายถึง "ทำ $g$ ก่อน แล้วค่อย $f$" อินเวอร์ส $f^{-1}$ ทำลายผลของ $f$ (มีอยู่เมื่อ $f$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง) และ $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; กราฟของ $f^{-1}$ สะท้อนกราฟของ $f$ ผ่าน $y = x$

ตัวอย่างวิธีทำ — อินเวอร์สและการคอมโพสิต (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ1) $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(ก) เรนจ์ของ $f$

• ที่ $x = 0$: $f(0) = 0$; เมื่อ $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ จากด้านล่าง, และ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (ค่า $x$ ที่ใหญ่ขึ้นให้ค่า $f(x)$ ที่ใหญ่ขึ้น)
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(ข) หา $f^{-1}(x)$

• ให้ $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ และแก้สมการหา $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Check: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓

(ค) แก้ $f^{-1}(x) = f(x)$

• ตรวจสอบ: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓

ค่าสัมบูรณ์ $|x|$ มีค่าเป็น $x$ สำหรับ $x \ge 0$ และมีค่าเป็น $-x$ สำหรับ $x < 0$: $y = |ax + b|$ คือเส้น $y = ax + b$ ที่ส่วนลบถูกสะท้อนกลับขึ้นไปเหนือแกน ให้วาดกราฟของ $y = f(x)$ โดย $y = |f(x)|$ (สะท้อนส่วนที่อยู่ใต้แกน) และ $y = f(|x|)$ (เก็บครึ่งขวาไว้ แล้วสะท้อนไปทางซ้าย). แก้สมการค่าสัมบูรณ์โดยวิธีกราฟหรือแยกกรณี โดยตรวจสอบคำตอบแต่ละตัว ทางซ้าย) แก้สมการค่าสัมบูรณ์ด้วยวิธีกราฟหรือแยกกรณี โดยตรวจสอบคำตอบแต่ละค่า

การแปลงรวม ใช้กฎ P1 รวมกัน เช่น $y = 2f(3x)$ หรือ $y = f(-x) + 1$: การยืดจะคูณกัน การเลื่อนจะย้ายตำแหน่ง; ลำดับที่กำหนดในหลักสูตรคือ $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ รวมอยู่ในนิพจน์เดียว ($y = f(ax+b)$ เช่นนี้ไม่จำเป็นต้องทำ)

Worked example — modulus equation (specification's own example). Solve $|2x - 1| = x + 5$.

• กรณี $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (สอดคล้องกับ $x \ge \tfrac12$)
• คำตอบทั้งสองคือ $2x - 1 < 0$ และ $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$. ตรวจสอบ: $< \tfrac12$ ✓;
• คำตอบทั้งสองคือ $x = 6$ และ $x = -\tfrac43$ ตรวจสอบ: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

ฟังก์ชันผกผัน (reciprocal functions):

โคแทนเจนต์นิยามเมื่อ $\sin\theta\ne0$ และมีค่าเท่ากับ $1/\tan\theta$ เมื่อทั้งสองข้างนิยามได้ ใช้เอกลักษณ์ $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ และ $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$ กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้จะมี เส้นประ (asymptotes) ที่ค่าฟังก์ชันตัวส่วนเป็นศูนย์ ฟังก์ชันผกผัน $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ ต้องมี โดเมนที่จำกัด: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

รูปแบบฮาร์โมนิก: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ พร้อม $R=\sqrt{a^2+b^2}$ กับ $R\cos\alpha=a$ และ $R\sin\alpha=b$ — ใช้เครื่องหมายทั้งสองเพื่อเลือกจตุภาค หาก $R=0$ ค่าของ-expression จะเป็นศูนย์ รูปแบบนี้พร้อมสำหรับการหาค่าสูงสุด หรือแก้สมการ

ตัวอย่างวิธีทำ — รูปแบบฮาร์โมนิก (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 Q2). แสดงผล $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ ในรูป $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• ขยาย $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ แล้วจับคู่: $25\cos\alpha = 7$ และ $25\sin\alpha = 24$ ดังนั้น $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ และ
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• ตรวจสอบ: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ และ $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓

ตัวอย่างวิธีทำ — การพิสูจน์เอกลักษณ์ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 Q8a). พิสูจน์ $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• เขียน $3x = 2x + x$ และใช้สูตร มุมประกอบ:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• แทนค่า:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ ไม่กำหนด ✓ สอดคล้องกัน

$y = e^x$ ผ่าน $(0, 1)$ และเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัดขอบเขต; $\ln x$ เป็นฟังก์ชันผกผันของมันพร้อมโดเมน $x > 0$ และ $y$-แกน เป็นเส้นประสมันต์. แก้ $e^{ax+b} = p$ โดยนำ $\ln$ มาใช้ และ $\ln(ax + b) = q$ โดยการยกกำลัง

โมเดลกราฟลอการิทึม: สำหรับ $y = ax^n$ การทำลอการิทึมจะได้ $\log y = n\log x + \log a$ — พล็อต $\log y$ เทียบกับ $\log x$ จะได้เส้นตรงที่มีความชัน $n$ และจุดตัดแกน $\log a$. สำหรับ $y = kb^x$, plot $\log y$ against $x$: gradient $\log b$, intercept $\log k$. Logarithms จริงต้องการอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและฐานร่วมที่ถูกต้อง; รูปแบบกำลังที่แสดงใช้ $a>0,x>0$, และรูปแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลใช้ $k>0,b>0$.

ตัวอย่างวิธีทำ — ฟื้นคืนกฎกำลัง (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ3). A $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ เส้นผ่าน $(-3.5, 0)$ และ $(0, -2)$. แสดง $y$ ในรูป $px^q$.

• ความชัน: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; จุดตัดแกน $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• แปลง: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, ดังนั้น
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• ตรวจสอบด้วยจุดบนเส้น: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

ตัวอย่างวิธีทำ — โมเดลการสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ6). A โปรเซสเซอร์เย็นลงตาม $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ เป็น °C, $t$ เป็นนาที), เริ่มต้นที่ 75 °C, ถึง 25 °C หลัง 5 นาที; หา $A$, $k$, และเวลาที่อุณหภูมิลดลงที่ 9 °C ต่อนาที.

• ที่ $t = 0$: $75 = 21 + A$, ดังนั้น $A = 54$.
• ที่ $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• อัตรา: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; ตั้งเท่ากับ $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• ค่าเริ่มต้น คือ 75 °C และ ค่าพื้นฐานระยะยาว คือ 21 °C.
• ตรวจสอบ: ที่ $T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, ค่าลดลง ที่ $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/นาที ✓. พื้นฐานของโมเดลคือ 21 °C (อุณหภูมิห้อง) — สมเหตุสมผลสำหรับ $t$ ที่มาก.

หาอนุพันธ์ $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), รวมถึงผลบวกและผลต่าง.

สามกฎขยายขอบเขตการใช้งาน: กฎการคูณ, กฎการหาร และ กฎลูกโซ่.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ สืบมาจาก กฎการหาร. การหาอนุพันธ์แบบล่องหน ใช้ $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is locally invertible as a differentiable function of $y$ and $dx/dy\ne0$.

ตัวอย่างวิธีทำ — กฎการคูณกับกฎลูกโซ่ (จากตัวอย่างตามสเปก). หาอนุพันธ์ $e^{-x^2}\sin 3x$ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ7).

• กฎการคูณกับ $u = e^{-x^2}$ (ลูกโซ่: $u' = -2xe^{-x^2}$) และ $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• ตรวจสอบที่ $x = 0$: อนุพันธ์คือ $= 1 \times (3 - 0) = 3$, และใกล้ $0$ กราฟมีพฤติกรรมเหมือน $\sin 3x$ ด้วยความชัน 3 ✓.

หาอินทิกรัลจากรูปแบบมาตรฐานโดยตรง และใช้ รูปแบบการจดจำ (สังเกต $f'$ ภายในอินทิกรัล):

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแปลง $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ เป็นรูปที่หาอินทิกรัลได้ ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

ตัวอย่างวิธีทำ — ใช้เอกลักษณ์ก่อน (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ5). หา $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• มุมสองเท่า ด้วย $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, ดังนั้น $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• ตรวจสอบด้วยการหาอนุพันธ์: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

ตัวอย่างวิธีทำ — การจดจำ. หา $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• ตัวเศษเป็นอนุพันธ์ของตัวส่วน ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• ตรวจสอบ: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. รูปแบบยกกำลังใช้วิธีเดียวกัน: โดยมี $u = 3x^2 + 4$ และ $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  และการหาอนุพันธ์ของ $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ จะได้ $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• การเปลี่ยนเครื่องหมาย: ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[a, b]$ และ $f(a)f(b) < 0$ จะมีรากอยู่ระหว่าง $a$ และ $b$. ตัดช่วงครึ่งหนึ่งเพื่อบังคับให้รากมีความแม่นยำตามที่ต้องการ
• ITERATION: การจัดรูป $x_{n+1} = f(x_n)$ จากค่าเริ่มต้นจะลู่เข้าหา จุดคงที่ (หรืออาจไม่ลู่เข้า — ต้องตรวจสอบเทียบกับขอบเขตการเปลี่ยนเสมอ)

ตัวอย่างวิธีทำ — หาตำแหน่งและทำซ้ำ (ปรับจาก Edexcel IAL WMA13 มิถุนายน 2025 ข้อ7) ค่า จุดนิ่งของ $y = e^{-x^2}\sin 3x$ ใกล้ $x = 0.4$ สอดคล้องกับ $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$

(a) โดยใช้ $x_1 = 0.4$:

• ตรวจสอบว่าการทำซ้ำลู่เข้า: $|x_3 - x_2|$ มีค่าน้อยและค่าลู่เข้าหา 0.43 ✓ (b) แสดงว่ารากคือ 0.430 ถึง 3 ตำแหน่งทศนิยม: นิยาม $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (หรือนิพจน์อนุพันธ์จากตัวอย่างวิธีทำด้านบน):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการเปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง 0.4295 และ 0.4305 ล้อมรอบรากไว้ ดังนั้นราก จึงเป็น 0.430 ถึง 3 ตำแหน่งทศนิยม ✓

• จัดรูปสมการเชิงตรรกะ; แยกตัวประกอบก่อนตัดทอน; หารด้วยพหุนามเชิงเส้นหรือกำลังสอง ตัวหาร
• ทำงานกับโดเมน, รัง, การประกอบ และฟังก์ชันผกผัน; ตรวจสอบฟังก์ชันผกผันโดยการประกอบเพื่อได้ $x$
• วาดแผนภาพและแก้สมการค่าสัมบูรณ์โดยแยกกรณีพร้อมตรวจสอบ; รวมการแปลงสองแบบบนกราฟหนึ่งเดียว กราฟ
• ใช้ sec, cosec, cot และเอกลักษณ์ของพวกมัน; รู้ขอบเขตฟังก์ชันกลับที่จำกัดไว้
• แปลง $a\cos\theta + b\sin\theta$ เป็น $R\cos(\theta \pm \alpha)$; อ่านค่าสูงสุดและแก้สมการ
• พิสูจน์เอกลักษณ์มุมรวมและมุมสองเท่า; ใช้ทั้งด้านหน้าและด้านหลัง
• แก้ $e^{ax+b} = p$ และ $\ln(ax+b) = q$; ฟื้นคืน $y = ax^n$ และ $y = kb^x$ จากกราฟลอการิทึม
• แยกอนุพันธ์ด้วยกฎคูณ กฎผลหาร และกฎลูกโซ่ รวมถึง $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; ใช้ $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• สร้างโมเดลการเติบโตและการสลายตัว; ตีความค่าเริ่มต้นและค่าพื้นระยะยาว; วิเคราะห์วิจารณ์โมเดล
• แยกอินทิกรัลรูปแบบมาตรฐาน; ชี้ใจเห็น $\int f'/f$ และ $\int f'(f)^n$; ใช้เอกลักษณ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติกำลังสอง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• หาจุดรากด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายพร้อมข้อความความต่อเนื่อง; รันและตรวจสอบการทำซ้ำ