วิธีทำซ้ำจุดคงที่ (Fixed-point iteration)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | การทำซ้ำ |
ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?
- สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
- บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- จัดรูปสมการใหม่ในรูป x=g(x) เลือกค่าเริ่มต้นและทำซ้ำ การหาค่าลิมิต L ต้องเป็นจริงว่า L=g(L) ใกล้เคียงจุดคงที่ |g'(L)|<1 ช่วยตรวจสอบการลู่เข้าในพื้นที่; การใช้เครื่องหมายวงเล็บสามารถยืนยันรากที่ปัดเศษได้
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
f(x)=1/x เปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง -1 และ 1 ทำไมสิ่งนี้จึงไม่พิสูจน์ว่ามีรากใน [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การให้เหตุผลด้วยค่ากลางต้องการความต่อเนื่องตลอดช่วงที่พิจารณา ที่จุด asymptote x=0 ฟังก์ชันกระโดดจากค่าลบไปค่าบวกโดยไม่มีรากอยู่
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x²-x-2=0 ให้เลือก x_next=√(2+x) โดยเริ่มจาก x₀=1 จากนั้น x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185 และจุดคงที่ที่เป็นบวกคือ 2 ที่ 2, g'=1/(2√4)=1/4 ดังนั้นความผิดพลาดในพื้นที่เล็กๆ จึงลดลง การจัดรูปรากที่สองนี้มองหาเฉพาะรากที่เป็นบวก ไม่สามารถให้รากลบ -1 ได้
วิธีทำซ้ำจุดคงที่ (Fixed-point iteration)
จัดรูปสมการให้อยู่ในรูป x=g(x) เลือกค่าเริ่มต้นและทำการวนซ้ำ
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
จงหาค่า x₁ จากสมการ x_next=√(2+x) โดยให้ x₀=1
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่า x₀=1 จะได้ x₁=√(2+1)=√3
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การจัดรูปที่ต่างกันอาจมีพฤติกรรมลู่เข้าที่แตกต่างกัน ตรวจสอบการทำซ้ำโดเมน และสมการเดิม การอัปเดตด้วยรากที่สองไม่สามารถเข้าถึงจุดคงที่ที่เป็นลบได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การจัดรูปสมการทุกแบบจะลู่เข้าสู่รากเดียวกันจากทุกค่าเริ่มต้น ข้ออ้างนี้ผิด ให้อธิบายว่าข้ออ้างนี้ขัดแย้งกับนิยามหรือสมมติฐานใด
จงหาค่าจุดคงที่เป็นบวก
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่จุดคงที่เป็นบวก L=√(2+L) ดังนั้น L²-L-2=0 และ L=2
การจัดรูปสมการ每一种都会收敛到同一个根，从任何起始值开始
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเรียงลำดับใหม่ที่แตกต่างกันอาจมีพฤติกรรมในการลู่เข้าที่แตกต่างกัน ตรวจสอบค่าที่วนซ้ำ ขอบเขต และสมการต้นแบบ การอัปเดตรากที่สองไม่สามารถเข้าถึงจุดคงที่ที่เป็นลบได้
ตีความสถานการณ์ใหม่
- P3 ใช้การจัดรูปสมการและการทำซ้ำเชิงตัวเลข บทเรียนนี้ไม่รวมวิธีของนิวตันและการอินทิเกรตเชิงตัวเลข ซึ่งอยู่ในหน่วยอื่น
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
เมื่อ x=2 จงคำนวณค่าของ x²-x-2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าความคลาดเคลื่อนคือ 2²-2-2=0
จับคู่แต่ละวิธีเชิงตัวเลขกับสูตรอัปเดตหรือกฎของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละวิธีมีเงื่อนไขของตัวเอง: วิธีแบ่งครึ่งต้องการการเปลี่ยนสัญญาณที่ต่อเนื่อง, นิวตันต้องการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์, และวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูต้องการความกว้างของแถบเท่ากัน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์บริสุทธิ์; หน่วยทางการ P3. การเสริมสร้างหน่วยอื่นระบุไว้ในขอบเขตการทบทวน; ไม่ใช่ข้อกำหนดการเพิ่มคะแนนพิเศษ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
การอัปเดตซ้ำที่การประมาณค่าใหม่แต่ละตัวคำนวณจากค่าก่อนหน้า เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์