กลศาสตร์ 3: สายยืดหยุ่น, การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิง-simple, วงกลม และจุดศูนย์กลางมวล
กลศาสตร์ 3 (M3, ใบข้อสอบ WME03/01, เวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที, คะแนน 75, การประเมินครั้งแรก มิถุนายน 2020) is the final mechanics unit: P1–P4, M1 and M2 are assumed. The whole paper works สัญลักษณ์ — คำตอบจะอยู่ในรูป $m$, $g$, $a$, $L$, $r$, และการแก้สมการพีชคณิตอย่างแม่นยำคือเกณฑ์คะแนน เอกสารอ้างอิงนี้ครอบคลุมความเร่งในฐานะฟังก์ชันของ $x$, สายยืดหยุ่นและสปริง, แรงแปรผัน และการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิง-simple, การเคลื่อนที่วงกลมแนวนอนและแนวตั้ง, และ จุดศูนย์กลางมวลโดยการอินทิเกรต
สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ M3 (ไม่มีในคู่มือ):
| Family | Formulae |
|---|---|
| กฎของฮุก | แรงตึง $T = \dfrac{\lambda e}{L}$ ($\lambda$ โมดูลัส, $e$ การยืดออก, $L$ ความยาวตามธรรมชาติ) |
| พลังงานยืดหยุ่น | $E = \dfrac{\lambda e^2}{2L}$ |
| การเคลื่อนที่แบบสั่นพ้อง | $\ddot x = -\omega^2 x$, คาบ $\tfrac{2\pi}\omega$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$ |
| วงกลม | $a = r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$ เข้าหาจุดศูนย์กลาง; $v = r\omega$ |
| จุดศูนย์กลางมวล | $\bar x = \dfrac{\int x\,y^2\,dx}{\int y^2\,dx}$ สำหรับวัตถุหมุนรอบ $x$ |
| จลนศาสตร์ | $a = v\dfrac{dv}{dx}$ เมื่อ $a = f(x)$ |
จลนศาสตร์เมื่อความเร่งเป็นฟังก์ชันของ x
เมื่อความเร่งขึ้นอยู่กับระยะการกระจัด ให้แทนที่ $\tfrac{dv}{dt}$ ด้วย $v\dfrac{dv}{dx}$ และอินทิเกรตเทียบกับ $x$; เมื่อขึ้นอยู่กับเวลา ให้แยกตัวแปร $\tfrac{dx}{dt}$. เงื่อนไขเริ่มต้นจะกำหนดค่าคงที่แต่ละค่า — ระบุไว้ก่อน การแทนค่า
ตัวอย่างวิธีทำ (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ3). โดยให้ $a = 4x - 2$ และที่ $t = 1$, $x = 0$, $v = 1$: (a) $v\tfrac{dv}{dx} = 4x - 2$ จะได้ $\tfrac12v^2 = 2x^2 - 2x + \tfrac12$, ดังนั้น $v^2 = (2x-1)^2$ และ (ทิศทางบวก) $v = 1 - 2x$. (b) การแทนค่า $v = 1 - 2x$ ลงใน $a = \tfrac{dv}{dt}$ จะได้ $\tfrac{dv}{dt} = -2v$ (หรือแยกตัวแปร $\tfrac{dx}{dt} = 1 - 2x$): $\ln v = -2t + C$ พร้อม $v(1) = 1$ จะได้ $v = e^{2-2t}$.
เชือกและสปริงยืดหยุ่น
กฎของฮุค: เชือกยืดหยุ่น (หรือสปริง) ที่มีความยาวธรรมชาติ $L$ และ โมดูลัสความยืดหยุ่น $\lambda$ ยืดออก $e$ จะเกิดแรงตึง $T = \tfrac{\lambda e}{L}$ — แรงตึงดึงเข้าหาภายในที่ปลายทั้งสอง. พลังงานยืดหยุ่น ที่สะสมอยู่คือ $\tfrac{\lambda e^2}{2L}$. หลักการงาน-พลังงาน ปัจจุบันมีคลังพลังงานสามชนิด: พลังงานจลน์, พลังงานศักย์โน้มถ่วงและพลังงานยืดหยุ่น บวกกับงานที่ทำเพื่อต้านทานแรงต้าน
ตัวอย่างวิธีทำ — จุดกึ่งกลางบนเชือกสองส่วน (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ4). เชือกที่มี $\lambda = mg$, ความยาวธรรมชาติ $3a$, ยึดติดกันระหว่าง A และ B ($AB = 4a$ ในแนวนอน); P แขวน จากจุดกึ่งกลาง, ถูกโปรยลงมาจาก C (ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของ AB) ที่ $\sqrt{3ag/2}$, และ ถึง D ที่ $CD = \tfrac32a$. แต่ละครึ่งของเชือกมีความยาวธรรมชาติ $\tfrac{3a}2$: ที่ C ความยาวครึ่งหนึ่งคือ $2a$ (การยืดตัว $\tfrac a2$); ที่ D คือ $\sqrt{(2a)^2 + (\tfrac32a)^2} = \tfrac{5a}2$ (การยืดตัว $a$). การเพิ่มขึ้นของพลังงานยืดหยุ่นต่อ ครึ่ง: $\dfrac{mg}{2\cdot\frac{3a}2}\big(a^2 - \tfrac{a^2}4\big) = \dfrac{mg}{3a}\cdot\tfrac{3a^2}4 = \tfrac{mga}4$; ทั้งสองครึ่ง: $\tfrac12mga$ ✓. จากนั้นเมื่อมีแรงต้านทาน $\tfrac15mg$ บนระยะ $\tfrac{3a}2$ และการสูญเสียพลังงานศักย์โน้มถ่วง $mg\cdot\tfrac{3a}2$:
ดังนั้น $V = \sqrt{29ag/10}$.
ตัวอย่างวิธีทำ — คานที่มีบานพับ (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ1). คานสม่ำเสมอ AB (มวล $m$, ความยาว $2a$) มีบานพับที่ A; เชือกยืดหยุ่น ($\lambda = 2mg$, ความยาวธรรมชาติ $L$) ลาก ในแนวตั้งจาก B ไปยัง C, โดยที่ AC เป็นแนวนอนและ BC $= 1.2a$ —เรขาคณิตทำให้ B อยู่ที่ $1.6a$ ในแนวนอนจาก A และ $1.2a$ ด้านล่าง (เป็นสามเหลี่ยม 3–4–5), ดังนั้นจุดกึ่งกลางของคาน อยู่ที่ $0.8a$ จากแนวตั้งผ่าน A. โมเมนต์รอบ A: $T\cdot 1.6a = mg\cdot 0.8a$, ดังนั้น $T = \tfrac12mg$; จากนั้นกฎของฮุคให้ $\tfrac12mg = \tfrac{2mg}{L}(1.2a - L)$, นั่นคือ $L = 0.96a = \tfrac{24}{25}a$.
แรงแปรผันและการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ด้วยแรงแปรผัน $F(x)$ ในหนึ่งมิติ: $m\dfrac{dv}{dt} = F$ จะกลายเป็น $mv\dfrac{dv}{dx} = F(x)$; แรงโน้มถ่วงกำลังสองผกผันปรากฏเป็น $F = \dfrac{k}{x^2}$. การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก (SHM) หมายถึง $\ddot x = -\omega^2x$ — เครื่องหมายคือหลักฐานยืนยัน ผลลัพธ์มาตรฐาน (สามารถอ้างอิงได้): ระยะเวลา $\tfrac{2\pi}{\omega}$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$, $x = a\cos\omega t$ จากจุดปลาย, $a\sin\omega t$ จากจุดศูนย์กลาง อนุภาคระหว่างเส้นยืดหยุ่นสองเส้นจะสั่นด้วย SHM เมื่อผลรวมแรงแปรผันตามการกระจัด จากตำแหน่งสมดุลเสมอ จากจุดสมดุล
ตัวอย่างวิธีทำ — การสั่นระหว่างเส้นยืดหยุ่นสองเส้น (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ7). เส้นจาก P ไป A ($\lambda = mg$, ความยาวธรรมชาติ $3L$) และไป B ($\lambda = 2mg$, ความยาวธรรมชาติ $2L$), $AB = 7L$; ตำแหน่งสมดุลอยู่ที่ E ด้วย $AE = 4.5L$ (แรงตึงในเส้นแต่ละเส้น $= \tfrac{mg}2$ — เพื่อตรวจสอบว่า E เป็นตำแหน่งสมดุลที่แท้จริง) เมื่อมีการกระจัด $x$ จาก E ไปทาง B, เส้น B สั้นลงและเส้น A ยาวขึ้น: มีความยาวเพิ่มขึ้น:
ดังนั้น P จะเคลื่อนที่ด้วย SHM, $\omega^2 = \tfrac{4g}{3L}$ และคาบคือ $\tfrac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\tfrac{3L}g}$. ปล่อยจาก C ด้วย $AC = 5L$ โดยมี แอมพลิจูด $\tfrac L2$: $v_{max} = \tfrac L2\omega = \sqrt{\tfrac{gL}3}$. เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ด้วย $|v| \le \sqrt{\tfrac{gL}{12}} = \tfrac{v_{max}}2$: โดยมี $x = \tfrac L2\cos\omega t$ จากท้าย, $v \propto \sin\omega t$ และ $|\sin\omega t| \le \tfrac12$ ถูกต้อง = \pi\sqrt{\tfrac13{3g}}$. = \pi\sqrt{\tfrac{L}{3g}}$.
การเคลื่อนที่ในวงกลมแนวนอน
ความเร็วเชิงมุม $\omega$ (rad s⁻¹) ที่มี $v = r\omega$; ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง คือ $r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$, ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง. วิเคราะห์แรงเข้าหาจุดศูนย์กลางเพื่อ สมการแรงและในแนวตั้งเพื่อสมดุล — ลูกตุ้มนาฬิกาขั้ว, อนุภาคบน โต๊ะที่ผูกด้วยเชือก และพื้นผิวเอียง เป็นสามบริบทมาตรฐาน
ตัวอย่างวิธีทำ — วงกลมบนโต๊ะ (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ2). P (มวล $m$) บนโต๊ะเรียบ เชื่อมต่อกับ O ด้านบนด้วยเชือกยาว $a$ ทำมุม 30° กับโต๊ะ เคลื่อนที่ใน วงกลมด้วยความเร็ว $\omega = \sqrt{\tfrac{g}{2a}}$.รัศมีของวงกลมคือ $a\cos30°$. เข้าหา จุดศูนย์กลาง: $T\cos30° = m(a\cos30°)\omega^2 = ma\cos30°\cdot\tfrac{g}{2a}$, ดังนั้น $T = \tfrac{mg}2$. ในแนวตั้ง: $R = mg - T\sin30° = mg - \tfrac{mg}4 = \tfrac{3mg}4$.
การเคลื่อนที่ในวงกลมแนวตั้ง
วงกลมแนวตั้ง เชื่อมโยงพลังงานกับกฎนิวตันเข้าหาจุดศูนย์กลาง การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับผลขาดหายของพลังงานศักย์โน้มถ่วงและพลังงานศักย์ยืดหยุ่นเมื่อไม่มีการถ่ายโอนพลังงานอื่นใด. สมการพลังงานนี้รวมเข้ากับ กฎนิวตันเข้าหาจุดศูนย์กลาง; เงื่อนไขการออกจากพื้นผิวคือ $R = 0$, สำหรับ เชือก $T = 0$. หลังจากออกแล้ว อนุภาคเป็นวัตถุถูกโยน: องค์ประกอบความเร็วในแนวนอน คงที่
ตัวอย่างวิธีทำ — ออกจากทรงกลม (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ5). P ปล่อยจาก A บนทรงกลมเรียบ (รัศมี $r$), OA ทำมุม $\alpha$ เหนือแนวตั้ง; ออกจากที่ B, OB ทำมุม $\alpha$ เหนือแนวนอน. (ก) พลังงาน A→B: ความสูงของ A เหนือ O คือ $r\cos\alpha$ และความสูงของ B เหนือ O คือ $r\sin\alpha$, ดังนั้น P หล่นลง $r(\cos\alpha - \sin\alpha)$: $\tfrac12mv^2 = mgr(\cos\alpha - \sin\alpha)$, ให้ $v^2 = 2gr(\cos\alpha - \sin\alpha)$. (ข) ที่ B ด้วย $R = 0$: $mg\sin\alpha = \tfrac{mv^2}r$ (องค์ประกอบของน้ำหนักที่ชี้เข้าหา O); การตัด $v^2$: $\sin\alpha = 2(\cos\alpha - \sin\alpha)$, so $\tan\alpha = \tfrac23$. (c) ต่อมา องค์ประกอบแนวนอน $v\sin\alpha$ ถูกอนุรักษ์; ที่ระดับแนวนอนผ่าน O ความเร็วจะสอดคล้องกับ $\tfrac12mW^2 = mgr\cos\alpha$, และ $\cos^2\theta = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{W^2} = \dfrac{8}{78} = \dfrac4{39}$ — ดังนั้น $\cos\theta = \tfrac2{\sqrt{39}}$.
จุดศูนย์มวล โดยการใช้ปริพันธ์
สำหรับ sólid ของหมุนรอบแกน ที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ, $\bar x = \dfrac{\int_0^a xy^2\,dx}{\int_0^a y^2\,dx}$ (ถ่วงน้ำหนักดิสก์บางด้วย $\pi y^2\,dx$). ผลลัพธ์ของทรงครึ่งลูกบอลต้องสามารถพิสูจน์ได้ ไม่ใช่แค่การอ้างถึง: เมื่อใช้ $y^2 = a^2 - x^2$, $\int_0^a x(a^2 - x^2)dx = \tfrac{a^4}4$ และ $\int_0^a (a^2 - x^2)dx = \tfrac{2a^3}3$, จะได้ $\bar x = \tfrac{3a}8$ จากหน้าระนาบ หน้าระนาบ. วัตถุผสม: ถ่วงน้ำหนักส่วนต่างๆ ด้วยมวล (กำลังสามของรัศมีสำหรับ solid ที่มีรูปร่างคล้ายกัน) และคำนวณโมเมนต์; ส่วนที่ถูกนำออกจะมีมวลเป็นลบ. สมดุลของวัตถุที่เอียง: จุดศูนย์มวลจะอยู่ในแนวตั้งเหนือจุดสัมผัส — สมดุล ของวัตถุที่เอียง. โมเมนต์; ส่วนที่ถูกตัดออกจะมีมวลติดลบ. สมดุล ของวัตถุที่เอียง: จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ตรงแนวตั้งเหนือจุดสัมผัส
ตัวอย่างวิธีทำ — กึ่งทรงกลมแกะสลัก (WME03 มิถุนายน 2025 ข้อ6). S เป็นกึ่งทรงกลมทึบ (radius $a$) with a radius-$\tfrac a2$ hemisphere removed, plane faces coplanar, centres $O$ (ใหญ่) และ $C$ ที่มี $OC = \tfrac a2$. มวล $8 : 1 : 7$ (รัศมีกำลังสาม); ตามแกน $8\cdot\tfrac{3a}8 - 1\cdot\tfrac{3a}{16} = 7\bar y$, ดังนั้น COM ของ S คือ resting เอนอยู่บนพื้นผิวโค้ง, $\tfrac{45a}{112}$. บนแกนในระนาบผ่าน O: $8\cdot 0 - 1\cdot\tfrac a2 = 7\bar x$, ดังนั้น $\bar x = \tfrac{a}{14}$ วางเอียงอยู่บนพื้นผิวโค้ง, $\tan\theta = \dfrac{a/14}{45a/112} = \tfrac8{45}$
รายการตรวจสอบก่อนจะถือว่าหน่วยนี้จบแล้ว
- แปล $a = f(x)$ ผ่าน $v\,dv/dx$ และหาค่าคงที่จากจุดเวลาที่กำหนด; แก้สมการเชิงอนุพันธ์ครั้งที่สองด้วยการแยกตัวแปรหรือกำจัด $x$
- ใช้ $T = \lambda e/L$ และพลังงานยืดหยุ่น $\lambda e^2/2L$; สำหรับเชือกตรงกลางให้พิจารณาแต่ละข้างแยกกัน; ประยุกต์ใช้ทฤษฎีงานและพลังงานสามระดับพร้อมแรงต้านทานตามระยะทาง
- รวมโมเมนต์กับกฎของฮุคสำหรับแท่งหมุนที่จุดรับแรงในสภาวะสมดุล (เริ่มจากเรขาคณิต: ระยะเลื่อนแนวนอน/แนวตั้งของจุดยึด)
- พิสูจน์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเส้นโดยหา $\ddot x = -\omega^2 x$ (เริ่มจากแรงตึงที่ตำแหน่งสมดุล), แล้วระบุช่วงเวลา $v_{max} = a\omega$ และสัดส่วนเวลาแบบไซน์-โคไซน์
- วิเคราะห์แรงเข้าหาจุดศูนย์กลาง ($r\omega^2$) และแนวตั้งสำหรับวงกลมแนวนอน — แรงปฏิกิริยาจากโต๊ะ, ลูกตุ้มนอกรูปกรวย, พื้นผิวเอียง
- สำหรับวงกลมแนวตั้ง: พลังงานระหว่างระดับ, $R = 0$ (หรือ $T = 0$) ที่จุดหลุดออก, การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์โดยรักษาองค์ประกอบแนวนอนไว้
- หาจุดศูนย์มวลของทรงครึ่งลูกบอลจากการอินทิเกรตดิสก์; สร้างวัตถุผสมด้วยมวลที่มีเครื่องหมาย; ปิดสภาวะสมดุลเอียงด้วยเงื่อนไขจุดศูนย์มวลอยู่เหนือจุดสัมผัส