M2 · Mechanics 2

กลศาสตร์ 2 (M2, ใบข้อสอบ WME02/01, 1 ชั่วโมง 30 นาที, 75 คะแนน, การประเมินผลครั้งแรก มิถุนายน 2020) คือ หน่วยประยุกต์ IAL ที่ต่อยอดจาก M1: P1–P4 และ M1 เป็นความรู้พื้นฐาน Assume. ใช้ $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ เว้นแต่แบบจำลองในโจทย์จะระบุไว้ differently (มีข้อสอบเดือนมิถุนายน 2025 หนึ่งข้อใช้ 10). ข้อมูลอ้างอิงนี้ ครอบคลุมจลนศาสตร์ความเร่งแปรผัน, ศูนย์กลางมวล, งาน, พลังงานและกำลัง, การชนกัน พร้อมสัมประสิทธิ์การคืนตัว, และสภาวะสมดุลของวัตถุแข็ง

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ M2 (ไม่มีในคู่มือ):

เมื่อความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา ให้ อินทิเกรต: $v = \int a\,dt$ และ $s = \int v\,dt$, พร้อม ค่าคงที่ที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น (เช่น "หยุดนิ่งที่จุด O" จะทำให้ทั้งสองเป็นศูนย์). สำหรับระยะทางรวม เมื่ออนุภาคเปลี่ยนทิศทาง ให้หาเวลาที่หยุดชั่วคราว ($v = 0$) แล้วบวกระยะทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน. ตำแหน่ง เวกเตอร์หาอนุพันธ์ตามองค์ประกอบ: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

ตัวอย่างวิธีทำ — การอินทิเกรตด้วยกฎทราปซอยด์ (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ 1). ด้วย $a = k(3 - t^2)$ จากจุดหยุดนิ่งที่ O และ $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (ค่าคงที่เป็นศูนย์ จากการหยุดนิ่ง), และ $k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ ให้ $k = 4$. ดังนั้น $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. สำหรับระยะทางรวมกลับไปยัง O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ ที่ $t = 3$, $s(3) = 27$, ดังนั้นอนุภาคเคลื่อนที่ $27 + 27 = 54$ เมตร — ระยะทางกลับเป็น 27 อีกครั้ง ไม่ใช่การลบ.

ตัวอย่างวิธีทำ — ความเร็วเวกเตอร์แล้วแรงกระแทก (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ2). ด้วย $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (เมตร, $t$ วินาที), มวล 3 กิโลกรัม: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, ดังนั้นที่ $t = 4$ ความ ความเร็วคือ $\mathbf i - 3\mathbf j$. แรงกระแทก $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ นิวตัน·วินาที ทำให้เกิด $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$, ดังนั้น $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$ และอัตราเร็วคือ $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — หาอนุพันธ์ก่อน, ใช้แรงกระแทกที่เวลาที่กำหนดเป็นอันดับที่สอง. ขั้นตอนแรก, ใช้แรงกระแทกที่เวลาที่ระบุไว้เป็นอันดับที่สอง.

แบ่งเป็นชิ้นส่วนที่มีจุดศูนย์กลางมวลทราบ (คู่มือ: ลวดครึ่งวงกลม $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$, แผ่นครึ่งวงกลม $\tfrac{2r}\pi$, ส่วน-sector, ส่วน-arc), คำนวณน้ำหนักแต่ละชิ้นด้วยมวล (แผ่น: พื้นที่; ลวด: แผ่นบาง $\tfrac{4r}{3\pi}$, ส่วนวงกลม, ส่วนโค้ง), คำนวณน้ำหนักของแต่ละชิ้นด้วย มวล (แผ่นบาง: พื้นที่; ลวด: เครื่องหมายตรงกันข้าม. แผ่นประกอบลบพื้นที่รูออกด้วยค่าลบ. เครื่องหมายตรงข้าม. แผ่นบางผสมลดพื้นที่รูออกโดยพิจารณาเป็นพื้นที่ลบ.

ตัวอย่างวิธีทำ — โครงลวดรูป S (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ3).** ครึ่งวงกลมสองส่วน ส่วนโค้ง AB มีรัศมี $2a$ และ CD มีรัศมี $a$ โดยทั้งสองมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ O บนด้านตรงข้ามของ สายลวดตรง ACDB ($AC = DB = a$). ตาราง (รอบแกน AB):

ความยาวรวม $(3\pi + 2)a$; โมเมนต์ $6a^2$; ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลจึงอยู่ $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ จาก AB. แขวนจาก A โดยมี Eอยู่บนส่วนโค้งที่ $\angle AOE = 90°$: เส้นสมมาตร OE พาดผ่านจุด G, ดังนั้น $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$, และเนื่องจาก $OA = OE$ ทำมุมกับ $\angle OAE = 45°$, มุม $\theta$ ของ AE ต่ำกว่าแนวตั้งจะสอดคล้องกับ $\theta = 45° - \angle OAG$, ทำให้ได้ $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

วัตถุที่แขวนอย่างอิสระจะห้อยตัวโดยมีจุดศูนย์กลางมวลอยู่แนวตั้งด้านล่างของจุด การแขวน. มุมที่ต้องการหาจะเป็นมุมระหว่างสายคอร์ดที่วาดไว้ของวัตถุกับแนวตั้ง: หามุมที่จุดแขวนโดยใช้ตรีโกณมิติสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยระยะห่างของ COM, แล้วปรับด้วยเรขาคณิตมุมใด ๆ (สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นแหล่งที่มามาตรฐานของ 45°, 60°).

งานที่ทำโดยแรงคงที่: $Fs$ ตามทิศทางการเคลื่อนที่ (ลบเมื่อต้านทาน); แรงโน้มถ่วงทำ $\pm mgh$. หลักการงาน-พลังงาน: งานรวม = การเปลี่ยนแปลงใน KE. กฎการอนุรักษ์พลังงานกล: พลังงานถูก อนุรักษ์เมื่อมีเพียงแรงโน้มถ่วงที่ทำ功; แรงต้านทานเข้าสู่ระบบในฐานะงาน $-Rs$. กำลัง $P = Fv$: ที่ความเร็วคงที่ แรงขับเคลื่อนจะสมดุลกับแรงต้านทานบวกองค์ประกอบแรงโน้มถ่วง, ดังนั้น $v = \tfrac PF$; ที่ความเร็วที่กำหนด แรงเกินจะเร่งวัตถุ.

ตัวอย่างวิธีทำ — รถบนทางลาด (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ4). รถน้ำหนัก 750 กก. ขับขึ้นทางลาดที่มี $\sin\alpha = \tfrac17$, แรงต้าน 200 N, เครื่องยนต์กำลัง 20 kW. ความเร็วคงที่: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, ดังนั้น $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. ที่ $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$, ดังนั้น $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. เครื่องยนต์ดับ ที่ A ที่ $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: งาน-พลังงาน ให้ $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, นั่นคือ $37500 = 1250d$ และ $d = 30$ ม. — แรงต้านกระทำบนระยะทางของ SLOPE $d$, แรงโน้มถ่วง บนความสูง $d\sin\alpha$.

ตัวอย่างวิธีทำ — ลูกขีดยิงด้วยหลักงานและพลังงาน (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ7). ลูกขีดยิง ตาม เกร็ดพาราโบลา ออกจาก O ที่ $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) อยู่สูง 11 ม. เมื่อองค์ประกอบแนวตั้งเป็น $V$ และมี องค์ประกอบแนวนอน $2V$. พลังงาน: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, ดังนั้น $V = 6$ (องค์ประกอบ 6 และ 12). มันชนระนาบที่ $60°$ เทียบกับแนวราบ โดย ตั้งฉาก, ดังนั้นความเร็วทำมุมที่ $30°$ ใต้แนวราบ: ความเร็ว $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, และพลังงานจาก O ให้ $200 = \tfrac12(192) + 10H$, ดังนั้น $H = 10.4 \to 10$ ม. (2 หลักสำคัญ).

กฎการทดลองของนิวตัน, สัมประสิทธิ์การคืนตัว: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (ความเร็วแยกออกจากกันหารด้วยความเร็วเข้าหา กัน, $0 \le e \le 1$; $e = 1$ ยืดหยุ่น, $e = 0$ ยึดติดกัน). ด้วยกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม, สมการสองสมการแก้การชนแบบตรงได้เสมอ. การสูญเสียพลังงานจลน์จะแยกตัวคูณด้วย $(1 - e^2)$: สูญเสีย $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — และแรงกระแทกต่อวัตถุใด ๆ เกิดจากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของตัวเอง การกระดอนจากผนังคงที่เพิ่มความเร็วเป็น $e$ เท่า ทันที

ตัวอย่างวิธีทำ — เรื่องการชนเต็มรูปแบบ (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ 5). P (มวล $2m$, ความเร็ว $u$) ชน Q (มวล $m$) ที่หยุดนิ่ง, ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว $e$. โมเมนตัม: $2u = 2v_P + v_Q$; ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว: $eu = v_Q - v_P$. แก้สมการ: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$, $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. พลังงานจลน์หลังชนคือ $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$, ดังนั้นการสูญเสียพลังงานคือ $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — เป็นปัจจัย $k = \tfrac13$. หากแรงกระแทกต่อ Q คือ $\tfrac89mu$: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ จะทำให้ได้ $e = \tfrac13$. Q แล้วดีดกลับออกจากผนังด้วยความคืนตัว $f$ เพื่อจับคู่ความเร็ว P $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, ดังนั้น $f = \tfrac58$.

ห่วงโซ่สามวัตถุและผนังเป็นการคำนวณตามขั้นตอน: แก้การชนครั้งแรกให้สมบูรณ์ แล้วนำ ความเร็วที่เหลืออยู่ไปใช้ในการชนครั้งต่อไป และตั้งสมการเฉพาะปริมาณที่โจทย์เชื่อมโยงกัน (“ความเร็วเท่ากัน”, “หยุดนิ่ง”). การกระดอนจากผนังจะกลับทิศทางและปรับความเร็วเป็น $e$ เท่า; ควร วาดแผนภาพที่มีเครื่องหมายระบุทิศทางในแต่ละขั้น

วัตถุแข็งเกร็ง ในสภาวะสมดุลต้องมีผลรวมแรงเป็นศูนย์ AND ผลรวม โมเมนต์ เป็นศูนย์รอบทุก จุด เลือกจุดหมุนเพื่อลบตัวแปรที่ไม่ทราบค่า (แรงปฏิกิริยาเพียงตัวเดียวของรางเรียบจึงเป็นเหตุผลว่าทำไม โมเมนต์รอบจุดสัมผัสพื้น (moments about the floor contact pay off) แยกองค์ประกอบในแนวตั้งและแนวนอนสำหรับแรงสัมผัส องค์ประกอบ; บนพื้นหยาบที่ สมดุลจำกัด แรงเสียดทาน $F = \mu R$ กับ $F$ ในแนวราบ

ตัวอย่างวิธีทำ — ก้านตรงพิงกับรางเรียบ (WME02 มิถุนายน 2025 ข้อ6). ก้านตรง AB ที่มีความสม่ำเสมอ (มวล $m$, ความยาว $2a$) วาง.mem rests with A on rough ground against a smooth rail at C, $AC = 1.5a$, มุมเอียง $\theta$, ปฏิกิริยาตั้งฉาก $S$ ของราง, ตั้งฉากกับก้าน โมเมนต์รอบ A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, ดังนั้น $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. ในแนวตั้ง: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. สภาวะสมดุลลิมิตด้วย $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, ดังนั้น $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. หารด้วย $\cos^2\theta$ และใช้ $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• แยกตัวแปร $a(t)$ จาก $v$ แล้วหา $s$ ด้วยค่าคงที่จากเงื่อนไขเริ่มต้น; จัดการระยะทางรวมผ่านจุดกลับทิศทาง; หา $\mathbf r(t)$ เพื่อความเร็วแบบเวกเตอร์และใช้แรงกระแทกเป็น $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• สร้างตารางจุดศูนย์กลางมวล (น้ำหนักมวล/พื้นที่/ความยาว) พร้อมระยะทางที่มีเครื่องหมายสำหรับชิ้นส่วนด้านตรงข้ามและรูที่มีค่าลบ; ใช้ผลลัพธ์เรื่องลวดและแผ่นบางในสมุดบันทึก; หามุมแขวนโดยใช้ตรีโกณมิติที่จุดแขวนบวกมุมใด ๆ ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• ใช้นิยามงาน-พลังงานและการอนุรักษ์พลังงานกล, โดยคำนวณงานต้านทานตามระยะทางบนทางลาดและ $P = Fv$ ทั้งสองทาง
• แก้ปัญหาการชนโดยตรงด้วยโมเมนตัม + ค่าคืนตัว; ระบุความเร็วทั้งสอง; คำนวณการสูญเสีย $(1-e^2)$ และแรงกระแทกต่อวัตถุ; เชื่อมโยงการสะท้อนผนังและการชนครั้งที่สองด้วยแผนภาพที่มีเครื่องหมาย
• สำหรับวัตถุแข็งเกร็ง: หาโมเมนต์รอบจุดหมุนที่ไม่ทราบค่าเพื่อตัดตัวแปร, แยกองค์ประกอบ, และสรุปปัญหาสภาวะสมดุลลิมิตให้อยู่ในสมการของ $\tan\theta$