S3 · Statistics 3

สถิติ 3 (S3, ข้อสอบ WST03/01, 1 ชั่วโมง 30 นาที, 75 คะแนน, ประเมินครั้งแรก มิถุนายน 2020) เป็นหน่วยสุดท้ายของสถิติ: S1–S2 ถือว่ามีความรู้แล้ว หนังสือเล่มนี้มีตารางปกติและ ตารางคี-สแควร์ รวมถึงค่าวิกฤตของสเปียร์แมน เอกสารนี้ครอบคลุมชุดข้อมูลรวม ของตัวแปรปกติ, วิธีการสุ่มตัวอย่าง, ตัวประมาณค่า และการแจกแจงของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, ช่วงความเชื่อมั่นและ การทดสอบสมมติฐาน สำหรับค่าเฉลี่ย (หนึ่งและสองกลุ่ม), ความเหมาะสมของการจัดรูปแบบและ contingency tables, and rank correlation with its test.

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ S3 (ไม่มีในหนังสือ):

ตัวแปรปกติที่เป็นอิสระต่อกันจะรวมกันเป็นปกติ: บวกค่าเฉลี่ย, บวก กำลังสอง ของสัมประสิทธิ์ คูณกับความแปรปรวน สำหรับ $3S$ เมื่อ $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — ค่าเฉลี่ยเพิ่มขึ้นสามเท่า แต่ความแปรปรวนเพิ่มเก้าเท่า ผลต่างมีวิธีคิดเหมือนกัน: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, และ $P(|C_1 - C_2| > c)$ เป็นสองเท่าของด้านเดียว ความน่าจะเป็นด้วยความสมมาตร

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ (WST03 มิถุนายน 2025 ข้อ8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ เป็นอิสระต่อกัน (กก.). (ก) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (ข) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (ค) เมื่อ $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, เหตุการณ์ $T < 30P_1 + 190$ จัดรูปใหม่เป็น $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — ซึ่งเป็นปกติที่มีค่าเฉลี่ย $504 + 125 - 435 = 194$ และมี ความแปรปรวน $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, ดังนั้น $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

การสุ่มแบบง่าย ให้สมาชิกทุกคน (และทุกชุดตัวอย่างที่มีขนาด $n$) โอกาสเท่ากัน; ใช้ตัวเลขสุ่มบนกรอบตัวอย่าง การสุ่มแบบมีระบบ เลือกสมาชิกทุก $x$ คนเริ่มจากจุดเริ่มต้นแบบสุ่ม — สำหรับ 20 จาก 360, $x = 18$; มัน หลีกเลี่ยงการเลือกบุคคลตามความชอบส่วนตัว แต่รูปแบบเป็นระยะในรายการอาจทำให้ตัวอย่างบิดเบี้ยว และสมาชิกในกลุ่มเดียวกันอาจมี ปรากฏร่วมกันได้เลย (ระยะห่างถูกล็อกไว้) การสุ่มแบบแบ่งชั้น แบ่งตาม ชั้นและตัวอย่างตามสัดส่วน — มักมีประโยชน์เมื่อกลุ่มแตกต่างกันแต่ค่าภายในแต่ละกลุ่มมีความคล้ายคลึงกัน การสุ่มแบบกำหนดโควตา เติมโควตาที่กำหนดโดยผู้สัมภาษณ์โดยไม่ใช้กรอบตัวอย่าง — ถูกแต่ เสี่ยงต่อการถูกกระทบด้วยอคติของผู้ตอบคำถาม รู้ข้อดีและข้อเสียอย่างละหนึ่งข้อของแต่ละวิธี

สถิติไม่ประกอบด้วยพารามิเตอร์ประชากรที่ไม่ทราบค่า ตัวประมาณค่าจะไม่มีอคติหากค่าคาดหวังเท่ากับพารามิเตอร์; อคติคือส่วนต่าง: $\bar X$ สำหรับ $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ สำหรับ $\sigma^2$ ($n-1$ คือการแก้ไข) อคติมี $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$ ทั้งในเครื่องหมายและขนาด สำหรับข้อมูลอิสระจากการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างสอดคล้องกับ $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: ตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นจะลดค่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย $\sigma/\sqrt n$ down.

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว (WST03 มิถุนายน 2025 Q6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, ดังนั้น $R$ ลำเอียงด้วย ความลำเอียง $\tfrac\mu4$. ให้ $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ และ $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ ไม่ลำเอียงทั้งสอง: ค่าคาดหวัง บังคับให้ $a - b = 2$ และ $14a + 6b = 20$, ดังนั้น $a = 1.6$, $b = -0.4$.

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว — การคืนค่าพารามิเตอร์ (WST03 มิถุนายน 2025 Q7). ให้ $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ และ $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: ค่า z คือ $-0.4$ และ $2.1$, ดังนั้น $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ และ $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) และ $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; แล้ว $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

ช่วงความเชื่อมั่น สำหรับ $\mu$ (ความแปรปรวนทราบ) คือ $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ กับ $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (แบบด้านเดียว 95% จุดวิกฤต), $2.5758$ (99%). การตีความ: กระบวนการนี้จับ $\mu$ ได้ใน 95% ของตัวอย่าง — ไม่ใช่ "ความน่าที่จะ μ อยู่ภายในคือ 0.95". ค่าสถิติการทดสอบ $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; เมื่อความแปรปรวนไม่ทราบและ $n$ มีขนาดใหญ่ แทนที่ $s$ (ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง also licenses non-Normal ประชากรภายใต้การสุ่มตัวอย่างอิสระจากประชากรเดียวกันที่มีความแปรปรวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์เมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอ) สรุปผลการวิจัยโดยอ้างอิงหลักฐานในบริบท

ตัวอย่างวิธีทำ — ตัวอย่างสองกลุ่มที่มีช่องว่าง (WST03 มิถุนายน 2025 ข้อ4). กระรอกสีเทา ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) และกระรอกแดง ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ ที่ระดับ 5%:

ดังนั้นปฏิเสธ H₀ — ค่าเฉลี่ยสีเทามากกว่า 200 กรัมเหนือสีแดง ตัวอย่างคู่ที่เป็นอิสระมีขนาดใหญ่ ดังนั้นความแปรปรวนของตัวอย่างจึงประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรที่ไม่ทราบค่าในการทดสอบโดยประมาณนี้; สิ่งนี้ไม่ได้ระบุว่า $\sigma^2=s^2$ เท่ากันเป๊ะๆ

การทดสอบความเหมาะสมของการจัดเรียง เปรียบเทียบจำนวนนับที่สังเกตได้กับค่าที่คาดไว้จากโมเดล: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. องศาอิสระ = (เซลล์ − 1) − (พารามิเตอร์ที่ประมาณ จากข้อมูล): ตัวแปรทวินามที่มี p̂ ประมาณจะสูญเสีย自由度 หนึ่งหน่วยเพิ่มเติม รวมเซลล์ท้ายwhose ความถี่ที่คาดไว้ ต่ำกว่า 5 ก่อนสิ่งอื่นใด ตารางความถ่วง ทดสอบความสัมพันธ์ระหว่างสอง จำแนกประเภทด้วย $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ และ $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

ตัวอย่างวิธีทำ — การปรับแต่งแบบทวินาม (WST03 มิถุนายน 2025 Q5). ลูกศรเพศชายใน 250 ลิตเตอร์ ของ 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, ให้ค่า expected frequencies $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$. Class $r$ มีส่วนร่วม $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, ดังนั้นเมื่อใช้ $\sum = 5.70$ ที่กำหนดให้สำหรับส่วนที่เหลือ, $X^2 = 10.95$ บน degrees of freedom $6 - 1 - 1 = 4$; ค่า critical 5% 9.488 ถูกเกิน — ปฏิเสธ: แบบจำลองทวินามไม่เหมาะสม

ตัวอย่างวิธีทำ — ความสัมพันธ์ (WST03 มิถุนายน 2025 ข้อ3). ประเภทเครื่องยนต์ × ปัญหาครั้งแรก timing (250 รถ, 3×3): เซลล์ diesel/เดือน 1–6 มี $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; ด้วย 7.444 สำหรับอีกแปด cells, $X^2 = 12.325 > 9.488$ บน 4 df — หลักฐานของความสัมพันธ์ระหว่างประเภทเครื่องยนต์ และเมื่อปัญหาเริ่มต้นขึ้น

Spearman's rank correlation coefficient วัด agreement แบบ monotonic ระหว่างการจัดอันดับสองชุด; ทดสอบ $\text{H}_0\colon\rho = 0$ เทียบกับตารางและสรุปเป็น คำพูดเกี่ยวกับการจัดอันดับ

Spearman's rank correlation coefficient $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ measures monotonic agreement between two ลำดับการจัดอันดับ (ไม่พิจารณากรณีเท่ากัน) ทดสอบ $\text{H}_0\colon \rho = 0$ เทียบกับทางเลือกแบบหางเดียวหรือสองหาง โดยใช้ตารางค่าวิกฤต; สรุปผลในบริบท ("ไม่มีหลักฐานเพียงพอของความสอดคล้องเชิงบวกระหว่างผู้ตัดสิน") evidence of positive agreement between the judges").

ตัวอย่างวิธีทำ (WST03 มิถุนายน 2025 ข้อ2). ผู้ตัดสิน 2 คนจัดอันดับ 10 การแสดง: ผลต่างของ อันดับให้ $\sum d^2 = 66$ ดังนั้น $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$. ที่ระดับหางเดียว 1% ค่าวิกฤต คือ 0.7455: $0.6 < 0.7455$ ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ — ไม่มีหลักฐานเพียงพอของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างการจัดอันดับของผู้ตัดสิน

• รวมตัวแปรปกติที่เป็นอิสระ (กำลังสองของสัมประสิทธิ์คูณด้วยความแปรปรวน); จัดการผลต่างและ |ผลต่าง| ด้วยสมมาตร
• ชื่อบทวิธีสุ่มตัวอย่างทั้งสี่ชนิดพร้อมให้เหตุผลประกอบ; คำนวณระยะห่างแบบมีระบบและพิจารณาคุณสมบัติที่คำนวณไม่ได้
• ตรวจสอบสถิติเพื่อหาพารามิเตอร์, คำนวณค่าความคาดหวังของความเบี่ยงเบน, แก้สมการของตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติแบบจับคู่
• ใช้ SE σ/√n; อนุมาน (μ, σ) จากความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ยตัวอย่างสองค่า; คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับ X̄
• สร้างและตีความช่วงความเชื่อมั่นโดยใช้ z; ทำการทดสอบหนึ่งตัวอย่างและสองตัวอย่างด้วยการแทนที่ความแปรปรวน โดยระบุทฤษฎีบทลิมิตกลางไว้
• คำนวณความถี่ที่คาดหวัง (จากโมเดลหรือตารางสลับกลุ่ม), รวมเซลล์ที่มีค่าต่ำ, หักพารามิเตอร์ที่ประมาณออกจากองศาอิสระ, เปรียบเทียบกับตาราง χ²
• คำนวณ Spearman's rₛ จากอันดับและทดสอบกับตารางโดยระบุสมมติฐานด้วยสัญลักษณ์และสรุปผลเป็นคำพูด