FP3 · Further Pure Mathematics 3

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เพิ่มเติม 3 (FP3, ข้อสอบ WFM03/01, 1 ชั่วโมง 30 นาที, 75 คะแนน, การประเมินผลครั้งแรก เดือนมิถุนายน 2020) เป็นหน่วยบริสุทธิ์สุดท้าย: P1–P4 และ FP1 เป็นเรื่องสมมติและอาจถูกทดสอบได้ มันเพิ่มค่า ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและอินเวอร์สของพวกมัน, วงรีและไฮเปอร์โบลาพร้อมจุดโฟกัสและไดเร็กทริกซ์ เทคนิคการหาอนุพันธ์และอินทิเกรตที่เหลืออยู่ (สูตรลดรูป, ความยาวส่วนโค้ง, ปริผิวนับหมุน), ผลคูณเวกเตอร์กับเส้นตรงและระนาบในสามมิติ, และ matrix algebra up to eigenvalues and diagonalisation. This reference covers all of it, with the มิถุนายน 2025 ข้อสอบเป็นแกนหลักในการแสดงวิธีทำ

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ FP3 (สมมติว่ารู้แล้ว ไม่สอนซ้ำ):

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก สร้างขึ้นจากเอกซ์โพเนนเชียล: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ และ $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, พร้อม $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. กราฟของ $\cosh$ คือ catenary, Even with minimum $(0, 1)$; $\sinh$ เป็น odd function through origin; $\tanh$ เป็น odd และ trapped between the เส้นประ $y = \pm 1$. อัตลักษณ์สองตัวที่ต้องหาคำตอบตามต้องการคือ $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ และ $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; ผลรวมไปเป็นผลคูณ อัตลักษณ์เหล่านี้สะท้อนรูปแบบตรีโกณมิติ

ตัวอย่างวิธีทำ — อัตลักษณ์จากนิยาม (WFM03 มิถุนายน 2025 ข้อ1). แสดงว่า $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. จากด้านซ้าย:

จับคู่ $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ กับ $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ และทำเช่นเดียวกันสำหรับพจน์ $4x$ — ทุกขั้นตอนคือการบันทึกบัญชีกับ $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$ ซึ่งจึงเป็นเหตุผลที่คะแนนต้องการ รูปแบบเอกซ์โพเนนเชียลก่อนการตัดทอนใดๆ จากนั้นแก้ $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: ค่า เอกลักษณ์ทำให้ $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$ ลดรูปลง และ $\cosh$ ไม่เคยเป็นศูนย์ ดังนั้น $\cosh 5x = 4$, ซึ่งให้ $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ และ $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

นิยามเลขชี้กำลังให้ $2\cosh x + \sinh x = 2$, ดังนั้น นิยามของเอกซ์โพเนนเชียลให้ $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$ ดังนั้น $3e^x + e^{-x} = 4$ นั่นคือ $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$ นั่นคือ $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$ และ $x = 0$ หรือ $x = -\ln 3$ ตรวจสอบทั้งสองในสมการเดิม — ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองเลย

ฟังก์ชันผกผันมีอยู่เป็นฟังก์ชันเดียวเพราะ $\sinh$ และ $\tanh$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และ $\cosh$ เป็น one-to-one for $x \ge 0$; their graphs are reflections in $y = x$ of the restricted originals. เทียบเท่าลอการิทึม ต้องสามารถพิสูจน์ได้ ไม่ใช่แค่การนำมากล่าว:

รูปแบบการพิสูจน์ (arsinh). ตั้ง $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: แล้ว $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, ดังนั้น $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (รากติดลบถูกปฏิเสธเนื่องจาก $e^x > 0$) และ $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$ โครงสร้างกำลังสองใน$e^x$ แบบเดียวกันนี้แก้สมการไฮเปอร์บอลิกผสมทุกชนิดได้แม่นยำ สมการไฮเปอร์บอลิกผสมทุกชนิดได้อย่างถูกต้อง

วงรี $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ มีรูปแบบพารามิเตอร์ $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; ไฮเปอร์โบลา $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ มี $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ และยังมี $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (กิ่งด้านขวา) ค่า ความเยื้องศูนย์กลาง $e$ เชื่อมโยงทุกอย่างเข้ากับคุณสมบัติ โฟกัส-ไดเรกทริกซ์ $PS = e\cdot PN$ (ระยะถึงจุดโฟกัส = $e$ × ระยะถึงไดเร็กทริกซ์): สำหรับวงรีที่ไม่ใช่รูปวงกลมที่มี $a>b>0$, $b^2 = a^2(1 - e^2)$ โฟกัส $(\pm ae, 0)$, ไดเรกทริกซ์ $x = \pm\dfrac ae$; สำหรับไฮเปอร์โบลา $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ โดยใช้สูตรโฟกัสและไดเรกทริกซ์แบบเดียวกัน

03 ให้ค่า 2025 และ 9 $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, ดังนั้น $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ และ $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; โฟกัสอยู่ที่ $(\pm\sqrt{113}, 0)$

แทนค่า $y = mx + c$ ลงในรูปทรงสามมิติและบังคับให้ดีคริมินานต์เป็นศูนย์ จะได้เงื่อนไขเส้นสัมผัส $c^2 = a^2m^2 + b^2$ สำหรับวงรี, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ สำหรับไฮเปอร์โบลา (ดังนั้น $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ จำเป็นต้องใช้อันนั้น) ที่จุดพารามิเตอร์ ให้หาอนุพันธ์แทน — ไม่มี ต้องการค่าดิสคริมิแนนต์. ปัญหาโลคัส ทบทวน FP1: ระยะทางไปยังโฟกัส จุดกึ่งกลาง หรืออัตราส่วนคงที่

ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นสัมผัส เส้นปกติ และวงกลมโฟกัส (WFM03 มิถุนายน 2025 Q9b–e). ที่จุด $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ บน H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, ดังนั้นเส้นสัมผัสคือ

ตัดแกน $y$ ที่ $Q = (0, -7\cot\theta)$; เส้นปกติที่กำหนดให้ $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ ตัดที่ $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. วงกลมที่มี $QR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (ปลาย $q, r$ อยู่บน แกน $y$) มีสมการ $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, ซึ่งประกอบด้วยจุด $(x, 0)$ ก็ต่อเมื่อ $x^2 = -qr$. ที่นี่ $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ สำหรับ ทุก $\theta$, และ $113 = (\sqrt{113})^2$ คือกำลังสองของระยะทางโฟกัส พอดี — ดังนั้นโฟกัสทั้งสอง $(\pm\sqrt{113}, 0)$ อยู่บนวงกลม การตัด $\theta$ ออกคือหัวใจสำคัญของโจทย์

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, และจากฟังก์ชันผกผัน: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — แต่ละข้อพิสูจน์ได้โดยการกลับ $y = f(x)$ และ หาอนุพันธ์โดยนัย, และใช้ได้เฉพาะในช่วงนิยามเท่านั้น

ตัวอย่างวิธีทำ — อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันในช่วงนิยามจำกัด (WFM03 มิถุนายน 2025 Q4). สำหรับ $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ กับ $x > 0$:

ซึ่ง $x > 0$ เปลี่ยน $\sqrt{x^2}$ ให้เป็น $x$ — เงื่อนไขช่วงนิกำลังทำงานอย่างแท้จริง. ตั้งค่า สูตร ลดรูป แสดง $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ผ่าน $x = 1$ (หรือ $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$): ทำอินทิเกรตโดย

ผลลัพธ์มาตรฐานสอดคล้องกับอนุพันธ์. จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ก่อนสำหรับตัวส่วนรากที่สอง, และ จัดการฟังก์ชันผกผันด้วยการอินทิเกรตแบบแยกส่วน — เลือก $u$ เป็นฟังก์ชันผกผันและ $1$ เป็นส่วนที่เหลือ:

ตัวอย่างวิธีทำ — ทั้งสองเทคนิค (WFM03 มิถุนายน 2025 Q2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: เนื่องจาก $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, อินทิกรัลคือ $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (หาอนุพันธ์เพื่อยืนยันคำตอบ). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

ใช้ $a>0$ ด้านล่าง; พหุนามอินทิกรัล inverse-cosh ที่แสดง ใช้ branch $x>a$. ต้องจำอินทิกรัลสี่แบบให้แม่น, แต่ละแบบผ่าน $x = a\sinh t$ (หรือ $x = a\tan t$, การแยกประเภท $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. สูตรลดรูปแสดง $I_n$ ผ่าน $I_{n-1}$ (หรือ $I_{n-2}$): ทำอินทิกรัลด้วย โดยให้รากเป็น $v$, จากนั้นเขียนอินทิกรักรากที่เหลือโดยใช้นิยามของ $I_n$. ความยาวเส้นโค้ง และ พื้นผิวหมุน ต้องใช้ $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ และ $S = 2\pi\displaystyle\int |y|\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (พารามิเตอร์, $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ กับ $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ สำหรับ $S$).

ตัวอย่างวิธีทำ — สร้างสูตรลดรูป (WFM03 มิถุนายน 2025 Q5). เมื่อมี $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, ดึง $u = x^n$ ออกมาและ $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

ใช้ $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ เพื่อเปิดเผย $I_n$ และ $I_{n-1}$. รวบรวม: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. เริ่มด้วย $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ และ $I_1 = 6$ (ด้วยการแทนค่าโดยตรง), แล้ว $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, และ $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, ทำให้ได้ $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

Worked example — a surface with a sinh substitution (WFM03 June 2025 Q7). Rotating $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, ผ่าน $2\pi$ รอบแกน $x$ (ห้ามใช้เครื่องคิดเลข): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. ด้วย $2\sin 2x = \sinh\theta$, ดังนั้น $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, อินทิกรัลจะกลายเป็น $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ ระหว่าง $0$ และ $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$ ดังนั้น $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — ตัวประกอบ $\cos 2x$ ตัดกันพอดี จึงเป็นเหตุผลที่มีการแทนค่านี้

ผลคูณเวกเตอร์ $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ คือ ตั้งฉากกับตัวประกอบทั้งสอง และมี $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลคูณสเกลาร์สามตัว $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ คือปริมาตรของทรงสี่หน้า skewed ที่มีเครื่องหมาย; ค่าศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์ทั้งสามอยู่บนระนาบเดียวกัน เส้นตรง: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ หรือ $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; ระนาบ: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ หรือ $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ พร้อม $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$ ระยะจากจุดไปยังระนาบ: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; ระยะสั้นสุด ระหว่าง เส้นตรงที่ไม่ตัดกันและไม่ขนาน: โปรเจกชันความเบี่ยงเบนระหว่างจุดอ้างอิง onto ปกติร่วม $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

ตัวอย่างวิธีทำ — จากระนาบสู่เส้นตรงสู่ระยะ (WFM03 มิถุนายน 2025 Q8). สำหรับ $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: ปกติคือ $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$ และการแทนค่าจุดอ้างอิงจะได้ $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. ตัดกับ $\Pi_2: x - y + z = 7$: ทิศทางของเส้นตรงคือ $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ และจุดหนึ่ง การแก้ระบบสมการทั้งสองคือ $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, ดังนั้น $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. เส้นตรงที่ผ่าน $A(2,1,3)$ และ $B(3,0,2)$ มีทิศทาง $(1,-1,-1)$; นอร์มอลร่วมคือ $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, และระยะทางสั้นที่สุดคือ

ดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์สขยายไปยัง $3\times3$: กัดขวางตามแถวหรือคอลัมน์ใดก็ได้ (เครื่องหมาย $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, ซึ่งอะดจูกาตคือ ทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์. เมทริกซ์เอกฐาน ($\det = 0$) ไม่มีอินเวอร์สและ ลดมิติลง. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ และ $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. ค่าเฉพาะ $\lambda$ ที่มี เวกเตอร์เฉพาะ $\mathbf v$ เป็นไปตาม $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — ตามแถวทีละแถว, แต่ละ องค์ประกอบของ $\mathbf{Av}$ เท่ากับ $\lambda$ คูณด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ $\mathbf v$ (ไม่ใช่ $\lambda$ เอง) หากมี $\mathbf v\ne\mathbf0$, ใช้องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ $v_i$ ใดๆ และคำนวณ $\lambda=(\mathbf{Av})_i/v_i$, รวมถึง $\lambda=0$; ถ้าไม่อย่างนั้น ให้แก้ $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ แล้วแทนค่ากลับ. สำหรับเมทริกซ์สมมาตร $\mathbf A$, เวกเตอร์เฉพาะสำหรับค่าเฉพาะที่แตกต่างกันจะเป็นตั้งฉากกัน, และเมทริกซ์ตั้งฉาก $\mathbf P$ ของ เวกเตอร์เฉพาะที่ปรับหน่วยแล้ว ทำให้เป็นเมทริกซ์แนวทแยง: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

ตัวอย่างแบบฝึกหัด — ค่าเฉพาะจากเวกเตอร์เฉพาะที่กำหนดให้ (WFM03 มิถุนายน 2025 ข้อ3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ มีเวกเตอร์เฉพาะ $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. แถว 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, ดังนั้น $\lambda = 3$. แถว 2: $3 + 2a + b$ ต้องเท่ากับ $\lambda\times 2 = 6$, และแถว 3: $a + 2 + b$ ต้องเท่ากับ $\lambda\times 1 = 3$. ดังนั้น $2a + b = 3$ และ $a + b = 1$: การลบ, $a = 2$ และ $b = -1$. ด้วย $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: รอยตามเส้นทแยงมุมคือ $2$ และ, ขยาย ตามแถว 1, $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. ค่า eigenvalue ที่เหลือ จึงรวมกันเป็น $2 - 3 = -1$ และคูณกันได้ $\tfrac{-6}3 = -2$: คือ $1$ และ $-2$. เวกเตอร์เฉพาะ: สำหรับ $\lambda = 1$, แก้สมการ $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ ได้ $-\,y + 4z = 0$ และ $3x + y - z = 0$, ดังนั้น $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; สำหรับ $\lambda = -2$, $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ ให้ $3x - y + 4z = 0$ และ $2x + y + z = 0$, ดังนั้น $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (ตรวจสอบทั้งแถวแล้ว) รอยตามเส้นทแยงมุมและ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นการตรวจสอบอิสระ: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ และ $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

ตัวอย่างวิธีทำ — เมทริกซ์เอกฐานและอินเวอร์สพร้อมพารามิเตอร์ (WFM03 มิถุนายน 2025 ข้อ6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, ดังนั้น $\mathbf A$ เป็นเอกฐานเมื่อ $k = -\tfrac98$. โคแฟกเตอร์transpose (adjugate) ให้

ตรวจสอบความถูกต้องของตำแหน่ง (1,1) ของผลคูณ: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, ซึ่งตัดกับดีเทอร์มิแนนต์เพื่อให้ได้ $1$ ✓.

• นิยาม $\cosh, \sinh, \tanh$ จากเอกซ์โพเนนเชียล; พิสูจน์เอกลักษณ์หลัก; แก้สมการผสมผ่าน $e^x$ สี่จตุภาคด้วยคำตอบที่แม่นยำ $\ln$
• สันนิษฐานรูป $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$ log; แยกตัวประกอบอินเวอร์สโดยเคารพโดเมน
• ใช้พารามิเตอร์วงรีและไฮเปอร์โบลา; แปลงระหว่าง $b^2 = a^2(1-e^2)$ และ $a^2(e^2-1)$; วางจุดโฟกัสและไดเร็กทริกซ์; หาเส้นสัมผัส/เส้นตั้งฉากที่จุดพารามิเตอร์และผ่าน $y = mx + c$ เงื่อนไข $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$
• แยกตัวประกอบและอินทิเกรตฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและอินเวอร์ส รวมถึงใช้วิธีแยกตัวประกอบสำหรับอินทิกรานประเภท $\int\operatorname{arcosh}$
• รู้จักอินทิกรัลมาตรฐานสี่แบบของ surd/rational; สร้างสูตรลดระดับด้วยการแยกตัวประกอบและทำซ้ำ; คำนวณความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ผิวหมุนอย่างแม่นยำ
• คำนวณ $\mathbf a\times\mathbf b$ และ $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ พร้อมความหมายของพื้นที่และปริมาตร; เปลี่ยนแปลงระหว่างรูปแบบระนาบและเส้นตรง; หาระยะห่างจากจุดถึงระนาบและเส้นตรงไม่ขนานกัน.
• คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $3\times3$, หาค่าผกผันโดยวิธีโคแฟกเตอร์, จัดการกรณีมีค่าเป็นศูนย์, หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (ทำให้มีขนาดหนึ่งเมื่อโจทย์กำหนด) และทำใหเมทริกซ์สมมาตรเป็นรูปทแยงมุมด้วย $\mathbf P$ ที่ตั้งฉาก