Hyperbolic functions and inverse relations
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| hyperbolic cosine/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈkəʊsaɪn/ | คอสائنซ์ไฮเพอร์โบลิก |
การเติบโตและการลดลงสามารถทำให้กราฟสมมาตรได้อย่างไร?
- สายเคเบิลที่ห้อยลงมีรูปร่างโค้งซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผสมผสานการเติบโตและการลดลงอย่างสมมาตร
- บทเรียนนี้ศึกษา โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก: ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- นิยาม sinh x=(e^x-e^(-x))/2 และ cosh x=(e^x+e^(-x))/2. สมบัติของพวกเขาคือ cosh²x-sinh²x=1.อนุพันธ์คือ sinh prime=cosh และ cosh prime=sinh.
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Which identity do hyperbolic functions satisfy?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Directly from the definitions: (eˣ+e⁻ˣ)²/4 - (eˣ-e⁻ˣ)²/4 = 1. The MINUS sign distinguishes it from the circular identity cos²+sin²=1.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ที่ x=ln2, e^x=2 และ e^(-x)=1/2 ดังนั้น cosh x=1.25 และ sinh x=0.75.ผลต่างกำลังสองของพวกเขาคือ 1.5625-0.5625=1. ในการหาฟังก์ชันกลับของ y=sinh x ให้แก้สมการกำลังสองใน e^x และเลือกรากที่เป็นบวก
Hyperbolic functions and inverse relations
Define sinh x=(e^x-e^(-x))/2 and cosh x=(e^x+e^(-x))/2
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find cosh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^(ln2)=2 and e^(-ln2)=1/2. Their half-sum is 1.25.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- สมบัติไฮเปอร์โบลิกมีเครื่องหมายลบ cosh ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนอินพุตจริงทั้งหมด; ฟังก์ชันกลับที่ใช้ทั่วไปใช้ x≥0. สมตรีตรีโกณมิติวงกลมปกติไม่สามารถแทนที่โดยไม่แก้ไขได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
สมบัติสำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกคือ cosh²x+sinh²x=1. ข้ออ้างนี้เป็นเท็จ อธิบายว่านิยามหรือสมมติฐานใดที่มันละเมิด
Find sinh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Their half-difference is (2-1/2)/2=0.75.
The identity for hyperbolic functions is cosh²x+sinh²x=1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The hyperbolic identity has a minus sign. cosh is not one-to-one on all real inputs; its usual inverse uses x≥0. Ordinary circular-trigonometric identities cannot be substituted unchanged.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ใช้นิยามเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อพิสูจน์สมบัตินี้และแก้สมการ ระบุข้อจำกัดของโดเมนสำหรับฟังก์ชันกลับก่อนที่จะหาอนุพันธ์หรืออินทิกรัล
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find cosh²(ln2)-sinh²(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.25²-0.75²=1, agreeing with the hyperbolic identity.
Match each hyperbolic function to its exponential form.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cosh is the even part and sinh the odd part of eˣ; their derivatives swap them, mirroring - but not copying - sine and cosine.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์เพิ่มเติม; หน่วย FP3 อย่างเป็นทางการ การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นถูกระบุในการทบทวนขอบเขต; ไม่ใช่ข้อกำหนดการชำระเงินเพิ่ม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2. เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์