Torque and Rotational Dynamics · ⁨โมเมนต์และพลวัตการหมุน⁩

AP Physics C: Mechanics · Topic 5 · ⁨หัวข้อ 5⁩

View Slides · ⁨ดูสไลด์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

Video lesson for this topic · ⁨บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้⁩ Open the video page · ⁨เปิดหน้าวิดีโอ⁩

5.1

Rotational Kinematics · ⁨จลนศาสตร์การหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.1.A: Describe the rotation of a system with respect to time using angular displacement, angular velocity, and angular acceleration.

5.1.A.1 Angular displacement is the measurement of the angle, in radians, through which a point on a rigid system rotates about a specified axis.
- Equation: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i A rigid system is one that holds its shape but in which different points on the system move in different directions during rotation. A rigid system cannot be modeled as an object.
- 5.1.A.1.ii One direction of angular displacement about an axis of rotation—clockwise or counterclockwise—is typically indicated as mathematically positive, with the other direction becoming mathematically negative.
- 5.1.A.1.iii If the rotation of a system about an axis may be well described using the motion of the system's center of mass, the system may be treated as a single object. For example, the rotation of Earth about its axis may be considered negligible when considering the revolution of Earth about the center of mass of the Earth–Sun system.
5.1.A.2 Angular velocity is the rate at which angular position changes with respect to time.
- Equation: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
5.1.A.3 Angular acceleration is the rate at which angular velocity changes with respect to time.
- Equation: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
5.1.A.4 Angular displacement, angular velocity, and angular acceleration around one axis are analogous to linear displacement, velocity, and acceleration in one dimension and demonstrate the same mathematical relationships.
- 5.1.A.4.i For constant angular acceleration, the mathematical relationships between angular displacement, angular velocity, and angular acceleration can be described with the following equations:
  - $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii Graphs of angular displacement, angular velocity, and angular acceleration as functions of time can be used to find the relationships between those quantities.

Boundary statement: AP Physics C: Mechanics expects students to be able to mathematically manipulate the magnitudes of angular displacement, angular velocity, and angular acceleration using vector conventions. However, the directions of said vectors will not be assessed on the exam.

Descriptions of the directions of rotational kinematics quantities for a point or rigid body are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.1.A: อธิบายการหมุนของระบบเทียบกับเวลาโดยใช้การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม

5.1.A.1 การกระจัดเชิงมุมคือขนาดของมุมในหน่วยเรเดียน ที่จุดหนึ่งบนระบบแข็งหมุนรอบแกนที่กำหนด
- สมการ: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i ระบบแข็งคือระบบที่รักษารูปทรงไว้ได้แต่จุดต่างๆ บนระบบเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่แตกต่างกันระหว่างการหมุน ระบบแข็งไม่สามารถจำลองเป็นวัตถุเดี่ยวได้
- 5.1.A.1.ii ทิศทางหนึ่งของการกระจัดเชิงมุมรอบแกนหมุน—ตามทเข็มนาฬิกาหรือทวนทเข็มนาฬิกา—มักถูกกำหนดให้เป็นค่าบวกทางคณิตศาสตร์ โดยทิศทางอีกด้านจะเป็นค่าลบทางคณิตศาสตร์
- 5.1.A.1.iii หากการหมุนของระบบรอบแกนสามารถอธิบายได้ดีด้วยการเคลื่อนที่ของศูนย์กลางมวลของระบบ ระบบสามารถพิจารณาเป็นวัตถุเดียวได้ ตัวอย่างเช่น การหมุนของโลก حولตัวเองอาจถูกละเลยเมื่อพิจารณาถึงการโคจรของโลกรอบศูนย์กลางมวลของระบบโลก-ดวงอาทิตย์
5.1.A.2 ความเร็วเชิงมุมคืออัตราที่ตำแหน่งเชิงมุมเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา
- สมการ: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
5.1.A.3 ความเร่งเชิงมุมคืออัตราที่ความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา
- สมการ: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
5.1.A.4 การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมรอบแกนหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับการกระจัดเชิงเส้น ความเร็ว และ ความเร่ง ในหนึ่งมิติ และแสดงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์เดียวกัน
- 5.1.A.4.i สำหรับความเร่งเชิงมุมคงที่ ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมสามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้:
  - $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii กราฟของการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมในฐานะฟังก์ชันของเวลาสามารถใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านั้นได้

คำจำกัดขอบเขต: AP Physics C: Mechanics คาดหวังให้นักเรียนสามารถจัดการทางคณิตศาสตร์ด้วยขนาดของการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมโดยใช้กฎเวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม ทิศทางของเวกเตอร์ดังกล่าวจะไม่ถูกทดสอบในการสอบ

คำอธิบายทิศทางของปริมาณจลนศาสตร์การหมุนสำหรับจุดหรือวัตถุแข็งเกร็งจำกัดอยู่แค่การหมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแกนหมุนที่กำหนด

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Rotation mirrors linear motion with angular quantities, defined as derivatives:

$$\omega=\frac{d\theta}{dt},\qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}.$$

Here $\theta$ is angular displacement 角位移 in radians 弧度, $\omega$ the angular velocity 角速度, and $\alpha$ the angular acceleration 角加速度. (AP works with their magnitudes and signs; the 3D vector directions are not assessed.) For constant $\alpha$, the kinematic equations are the linear ones re-lettered:

$$\omega=\omega_0+\alpha t,\qquad \Delta\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2,\qquad \omega^2=\omega_0^2+2\alpha\,\Delta\theta.$$

Worked example. A fan blade slows from $30\ \text{rad/s}$ to rest with $\alpha=-6.0\ \text{rad/s}^2$: it takes $t=5.0\ \text{s}$ and turns through $\Delta\theta=\dfrac{0-30^2}{2(-6.0)}=75\ \text{rad}$ – about $12$ revolutions.

ไทย

การหมุนมีลักษณะคล้ายกับการเคลื่อนที่เชิงเส้น โดยใช้ปริมาณเชิงมุม ซึ่งนิยามได้ว่าเป็นอนุพันธ์:

$$\omega=\frac{d\theta}{dt},\qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}.$$

ที่นี่ $\theta$ คือ การเปลี่ยนตำแหน่งเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียน, $\omega$ คือ ความเร็วเชิงมุม, และ $\alpha$ คือ ความเร่งเชิงมุม. (ใน AP จะพิจารณาเพียงขนาดและเครื่องหมาย; ทิศทางของเวกเตอร์ 3 มิติจะไม่ถูกทดสอบ) สำหรับ $\alpha$ ที่คงที่ สมการจลนศาสตร์จะเป็นสมการเชิงเส้นที่เปลี่ยนตัวอักษรใหม่:

$$\omega=\omega_0+\alpha t,\qquad \Delta\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2,\qquad \omega^2=\omega_0^2+2\alpha\,\Delta\theta.$$

หนึ่งเรเดียนคือมุมที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี — หนึ่งเรเดียนคือมุมที่มีความยาวส่วน弧เท่ากับรัศมี

ตัวอย่างวิธีทำ. ใบพัดพัดลมชะลอตัวจาก $30\ \text{rad/s}$ เป็นหยุดนิ่ง ด้วย $\alpha=-6.0\ \text{rad/s}^2$: ใช้เวลา $t=5.0\ \text{s}$ และหมุนไปได้ทั้งหมด $\Delta\theta=\dfrac{0-30^2}{2(-6.0)}=75\ \text{rad}$ – ประมาณ $12$ รอบ

5.2

Connecting Linear and Rotational Motion · ⁨การเชื่อมโยงการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่เชิงมุม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.2.A: Describe the linear motion of a point on a rotating rigid system that corresponds to the rotational motion of that point, and vice versa.

5.2.A.1 For a point at a distance $r$ from a fixed axis of rotation, the linear distance $s$ traveled by the point as the system rotates through an angle $\Delta\theta$ is given by the equation $\Delta s = r\Delta\theta$.
5.2.A.2 Derived relationships of linear velocity and of the tangential component of acceleration to their respective angular quantities are given by the following equations:
- $s = r\theta$
- $v = r\omega$
- $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 For a rigid system, all points within that system have the same angular velocity and angular acceleration.

Boundary statement: AP Physics C: Mechanics expects students to be able to mathematically manipulate the magnitudes of angular displacement, angular velocity, and angular acceleration using vector conventions. However, the directions of the vectors will not be assessed on the exam.

Descriptions of the directions of rotational kinematics quantities for a point or rigid body are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.2.A: อธิบายการเคลื่อนที่เชิงเส้นของจุดบนระบบแข็งที่กำลังหมุนซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดนั้น และในทางกลับกัน

5.2.A.1 สำหรับจุดที่อยู่ที่ระยะ $r$ จากแกนหมุนคงที่ ระยะทางเชิงเส้น $s$ ที่จุดนั้นเคลื่อนที่ขณะระบบหมุนผ่านมุม $\Delta\theta$ ให้โดยสมการ $\Delta s = r\Delta\theta$
5.2.A.2 ความสัมพันธ์ที่ได้มาของความเร็วจงเส้นและองค์ประกอบแนวสัมผัสของความเร่งเทียบกับปริมาณเชิงมุมที่เกี่ยวข้องให้โดยสมการต่อไปนี้:
- $s = r\theta$
- $v = r\omega$
- $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 สำหรับระบบแข็ง จุดทั้งหมดภายในระบบมีความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมเท่ากัน

คำจำกัดขอบเขต: AP Physics C: Mechanics คาดหวังให้นักเรียนสามารถจัดการทางคณิตศาสตร์ด้วยขนาดของการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมโดยใช้กฎเวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม ทิศทางของเวกเตอร์จะไม่ใช่ส่วนที่วัดผลในการสอบ

คำอธิบายทิศทางของปริมาณจลนศาสตร์การหมุนสำหรับจุดหรือวัตถุแข็งเกร็งจำกัดอยู่แค่การหมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแกนหมุนที่กำหนด

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

A point at radius $r$ from the axis moves along its arc with

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha,$$

so points farther out move faster. A rotating point generally has two acceleration components at once: the tangential acceleration 切向加速度 $a_t=r\alpha$ (speeding up along the arc) and the centripetal acceleration 向心加速度 $a_c=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2$ (turning, towards the axis). They are perpendicular, so $a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}$.

ไทย

จุดอยู่ที่ระยะ $r$ จากแกนนอนจะเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งด้วย

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha,$$

ดังนั้นจุดที่อยู่ห่างจากแกนมากขึ้นจะเคลื่อนที่เร็วขึ้น จุดที่กำลังหมุนโดยทั่วไปจะมีองค์ประกอบการเร่ง สอง อย่างพร้อมกัน: ความเร่งสัมผัส $a_t=r\alpha$ (เพิ่มความเร็วตามส่วนโค้ง) และ ความเร่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง $a_c=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2$ (เปลี่ยนทิศทาง เข้าหาแกน) ทั้งสองตั้งฉากกัน ทำให้ $a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}$

เมื่อรัศมีหมุนผ่านมุมหนึ่ง จุดจะเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งด้วยความเร็ว v

Watch lesson · ⁨ดูบทเรียน⁩

5.3

Torque · ⁨แรงบิด⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.3.A: Identify the torques exerted on a rigid system.

5.3.A.1 Torque results only from the force component perpendicular to the position vector from the axis of rotation to the point of application of the force.
5.3.A.2 The lever arm is the perpendicular distance from the axis of rotation to the line of action of the exerted force.

Learning Objective 5.3.B: Describe the torques exerted on a rigid system.

5.3.B.1 Torques can be described using force diagrams.
- 5.3.B.1.i Force diagrams are similar to free-body diagrams and are used to analyze the torques exerted on a rigid system.
- 5.3.B.1.ii Similar to free-body diagrams, force diagrams represent the relative magnitude and direction of the forces exerted on a rigid system. Force diagrams also depict the location at which those forces are exerted relative to the axis of rotation.
5.3.B.2 The torque exerted on a rigid system about a chosen pivot point by a given force is described by $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
- 5.3.B.2.i The cross-product between two vectors, $\vec{A}$ and $\vec{B}$, results in a vector quantity of magnitude $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$.
- 5.3.B.2.ii The direction of the vector resulting from the cross-product of vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$ is perpendicular to both vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$ and therefore is normal to the plane defined by vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$.
- 5.3.B.2.iii The direction of the vector resulting from the cross-product of vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$ can be qualitatively determined by applying the appropriate right-hand rule.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.3.A: ระบุแรงบิดที่กระทำต่อระบบแข็ง

5.3.A.1 แรงบิดเกิดจากองค์ประกอบของแรงที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งจากแกนหมุนไปยังจุดที่แรงกระทำเท่านั้น
5.3.A.2 ค้างคาว (lever arm) คือระยะทางตั้งฉากจากแกนหมุนไปยังเส้นกระทำของแรงที่ exerted

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.3.B: อธิบายโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็ง

5.3.B.1 โมเมนต์แรงสามารถอธิบายได้โดยใช้แผนภาพแรง
- 5.3.B.1.i แผนภาพแรงคล้ายกับแผนภาพวัตถุอิสระ (free-body diagrams) และใช้เพื่อวิเคราะห์โมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็ง
- 5.3.B.1.ii คล้ายกับแผนภาพวัตถุอิสระ แผนภาพแรงแสดงขนาดสัมพัทธ์และทิศทางของแรงที่กระทำต่อระบบแข็ง นอกจากนี้แผนภาพแรงยังแสดงตำแหน่งที่แรงเหล่านั้นถูกกระทำเมื่อเทียบกับแกนหมุน
5.3.B.2 โมเมนต์แรง (Torque) ที่กระทำต่อระบบแข็งเกร็งรอบจุดหมุนที่เลือกโดยแรงที่กำหนด สามารถอธิบายได้ด้วย $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
- 5.3.B.2.i ผลคูณข้ามระหว่างเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาด $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$
- 5.3.B.2.ii ทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้จากผลคูณข้ามของเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้ง $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ ดังนั้นจึงตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$
- 5.3.B.2.iii ทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้จากผลคูณข้ามของเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ สามารถกำหนดแบบคุณภาพได้โดยการประยุกต์ใช้กฎมือขวาที่เหมาะสม

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The principle of moments (torque)

Torque 力矩 is the turning effect of a force – the rotational cause, as force is the translational cause. It is a vector product 矢量积:

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},\qquad \tau=rF\sin\theta=F\,r_\perp,$$

where $r_\perp$, the moment arm 力臂, is the perpendicular distance from the axis to the force's line of action. More force, applied farther from the axis, more perpendicular: more torque. A force pointing straight at (or away from) the axis has zero torque. In a plane, give counterclockwise and clockwise torques opposite signs and add.

As a vector product, $\vec\tau=\vec r\times\vec F$ points perpendicular to the plane of $\vec r$ and $\vec F$, with its direction fixed by the right-hand rule 右手定则: curl your right fingers from $\vec r$ toward $\vec F$ and your thumb points along $\vec\tau$ – out of the page for a counterclockwise turn, into it for a clockwise one. The same rule gives the direction of angular momentum $\vec L=\vec r\times\vec p$.

ไทย

หลักการของโมเมนต์ (แรงบิด)

แรงบิด (Torque) คือผลจากการหมุนของแรง – เป็นสาเหตุของการหมุน เหมือนที่แรงเป็นสาเหตุของการเคลื่อนที่เชิงเส้น มันคือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์:

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},\qquad \tau=rF\sin\theta=F\,r_\perp,$$

ซึ่ง $r_\perp$, หรือ แขนของแรง, คือระยะตั้งฉากจากแกนไปยังแนวกระทำของแรง ยิ่งใช้แรงมาก ยึดให้ห่างจากแกน越多 และตั้งฉาก越多 แรงบิดจะยิ่งมาก แรงที่ชี้ตรงเข้าไปใน (หรือออกจาก) แกน จะมีแรงบิดเป็นศูนย์ ในระนาบ ให้กำหนดให้แรงบิดทวนเข็มและตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายตรงข้าม แล้วบวกกัน

ในฐานะผลคูณเชิงเวกเตอร์, $\vec\tau=\vec r\times\vec F$ ชี้ ตั้งฉากกับระนาบ ของ $\vec r$ และ $\vec F$ โดยทิศทางกำหนดโดย กฎมือขวา: ม้วนนิ้วขวาจาก $\vec r$ ไปยัง $\vec F$ แล้วหัวแม่มือจะชี้ตาม $\vec\tau$ – ออกหน้ากระดาษสำหรับการหมุนทวนเข็ม, เข้าหากระดาษสำหรับการหมุนตามเข็ม กฎเดียวกันนี้ใช้กำหนดทิศทางการเคลื่อนที่เชิงมุม $\vec L=\vec r\times\vec p$ ได้เช่นกัน

แรงบิดของแรงขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากจากแกน

ชุดเฟือง: แรงบิดและโมเมนต์ความเฉื่อยเชื่อมโยงกันผ่านอัตราทดเฟือง

Explore · ⁨สำรวจ⁩

Balance torques on a beam · ⁨ปรับสมดุลแรงบิดบนคาน⁩

Torque is force times perpendicular distance, $\tau=Fd$. The beam is in rotational equilibrium when the torques on each side are equal. · ⁨แรงบิด คือ แรงคูณด้วยระยะตั้งฉาก $\tau=Fd$ คานจะอยู่ใน สภาวะสมดุลหมุน เมื่อแรงบิดทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน⁩

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
angular displacement/ˈæŋɡjʊlə dɪˈspleɪsmənt/	การกระจัดเชิงมุม
radians/ˈreɪdɪənz/	เรเดียน
angular velocity/ˈæŋɡjʊlə vəˈlɒsɪti/	ความเร็วเชิงมุม
angular acceleration/ˈæŋɡjʊlə əkˌseləˈreɪʃn/	ความเร่งมุม
tangential acceleration/tænˈdʒenʃl əkˌseləˈreɪʃn/	ความเร่งสัมผัส
centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/	ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง
Torque/tɔːk/	โมเมนต์แรงบิด
vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/	ผลคูณเวกเตอร์
moment arm/ˈməʊmənt ɑːm/	แขนงแรงบิด
right-hand rule/raɪt hænd ruːl/	กฎมือขวา

Watch lesson · ⁨ดูบทเรียน⁩

5.4

Rotational Inertia · ⁨ความเฉื่อยต่อการหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.4.A: Describe the rotational inertia of a rigid system relative to a given axis of rotation.

5.4.A.1 Rotational inertia measures a rigid system's resistance to changes in rotation and is related to the mass of the system and the distribution of that mass relative to the axis of rotation.
5.4.A.2 The rotational inertia of an object rotating a perpendicular distance $r$ from an axis is described by the equation $I = mr^2$.
5.4.A.3 The total rotational inertia of a collection of objects about an axis is the sum of the rotational inertias of each object about that axis.
- Equation: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
5.4.A.4 For a solid that can be considered as a collection of differential masses, $dm$, the solid's rotational inertia can be calculated using the equation $I = \int r^2\, dm$, where $r$ is the perpendicular distance from $dm$ to the axis of rotation.

Learning Objective 5.4.B: Describe the rotational inertia of a rigid system rotating about an axis that does not pass through the system's center of mass.

5.4.B.1 A rigid system's rotational inertia in a given plane is at a minimum when the rotational axis passes through the system's center of mass.
5.4.B.2 The parallel axis theorem uses the following equation to relate the rotational inertia of a rigid system about any axis that is parallel to an axis through its center of mass:
- Equation: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to use calculus in the derivations of the rotational inertia of thin rods of uniform or nonuniform density about an arbitrary axis perpendicular to the rod, as well as derivations of the rotational inertia of a thin cylindrical shell, disk, or rigid bodies that can be considered to be made up of coaxial rings or shells about an axis that passes through their centers (e.g., annular rings).

Students should have a qualitative understanding of the factors that affect rotational inertia; for example, how rotational inertia is greater when mass is farther from the axis of rotation, which is why a hoop has more rotational inertia than a solid puck of the same mass and radius.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.4.A: อธิบายความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งเมื่อเทียบกับแกนหมุนที่กำหนด

5.4.A.1 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนวัดความต้านทานของการเปลี่ยนแปลงการหมุนของระบบแข็ง และมีความสัมพันธ์กับมวลของระบบและการกระจายตัวของมวลนั้นเมื่อเทียบกับแกนหมุน
5.4.A.2 โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่หมุนในระยะตั้งฉาก $r$ จากแกนหมุน สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ $I = mr^2$
5.4.A.3 โมเมนต์ความเฉื่อยรวมของกลุ่มวัตถุรอบแกนใด ๆ คือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละวัตถุรอบแกนนั้น
- สมการ: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
5.4.A.4 สำหรับวัตถุแข็งที่พิจารณาเป็นกลุ่มของมวลดิฟเฟอเรนเชียล $dm$ โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุสามารถคำนวณได้จากสมการ $I = \int r^2\, dm$ โดยที่ $r$ คือระยะตั้งฉากจาก $dm$ ไปยังแกนหมุน

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.4.B: อธิบายความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งที่หมุนรอบแกนที่ไม่ผ่านศูนย์กลางมวลของระบบ

5.4.B.1 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งในระนาบหนึ่งๆ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อแกนหมุนผ่านศูนย์กลางมวลของระบบ
5.4.B.2 theorem แกขนอนขนานใช้สมการต่อไปนี้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งรอบแกนใดๆ ที่ขนานกับแกนที่ผ่านศูนย์กลางมวล:
- สมการ: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

คำจำกัดขอบเขต: AP Physics C: Mechanics คาดหวังให้นักเรียนใช้แคลคูลัสเพียงในการพิสูจน์หาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอหรือไม่สม่ำเสมอรอบแกนwhateverที่วางตั้งฉากกับแท่ง รวมถึงการพิสูจน์หาโมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกระบอกบาง จาน หรือวัตถุแข็งเกร็งที่พิจารณาว่าเป็นวงแหวนหรือเปลือก Playoff รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง (เช่น วงแหวนรูปแฉก)

นักเรียนควรมีความเข้าใจแบบคุณภาพเกี่ยวกับปัจจัยที่มีผลต่อโมเมนต์ความเฉื่อย เช่น โมเมนต์ความเฉื่อยจะมากขึ้นเมื่อมวลอยู่ห่างจากแกนหมุน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมห่วงจึงมีโมเมนต์ความเฉื่อยมากกว่าดิสก์ทึบที่มีมวลและรัศมีเท่ากัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Rotational inertia 转动惯量 $I$ measures resistance to angular acceleration – the rotational analog of mass, but it depends on where the mass sits. For point masses, $I=\sum m_ir_i^2$; for a continuous body,

$$I=\int r^2\,dm.$$

Mass far from the axis dominates, because of the $r^2$.

Worked example (rod). A uniform rod (mass $M$, length $L$) about its centre: with linear density 线密度 $\lambda=M/L$, $dm=\lambda\,dx$, so $I=\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,\frac{M}{L}\,dx=\frac{1}{12}ML^2$. AP also expects nonuniform rods: if $\lambda(x)=cx$ on $[0,L]$, first find $M=\int_0^L cx\,dx=\tfrac12cL^2$, then $I=\int_0^L x^2(cx)\,dx=\tfrac14cL^4=\tfrac12ML^2$ about the light end.

Worked example (disk from rings). A solid disk is a nest of rings: a ring at radius $r$ of width $dr$ has $dm=\dfrac{M}{\pi R^2}\,2\pi r\,dr$, so

$$I=\int_0^R r^2\,dm=\frac{2M}{R^2}\int_0^R r^3\,dr=\tfrac12MR^2.$$

The same coaxial-shell method handles cylindrical shells and annular rings.

The parallel-axis theorem 平行轴定理 shifts any known $I$ to a parallel axis a distance $d$ away:

$$I'=I_{\text{cm}}+Md^2.$$

For the rod about one end: $I=\tfrac1{12}ML^2+M\big(\tfrac{L}{2}\big)^2=\tfrac13ML^2$.

ไทย

โมเมนต์ความเฉื่อย (Rotational inertia) $I$ วัดความต้านทานต่อการเร่งเชิงมุม –相当于มวลแต่มีความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่เชิงเส้น แต่มันขึ้นอยู่กับว่า มวลอยู่在哪里. สำหรับมวลจุด, $I=\sum m_ir_i^2$; สำหรับวัตถุต่อเนื่อง,

$$I=\int r^2\,dm.$$

มวลที่อยู่ห่างจากแกนมีอิทธิพลมากกว่า เนื่องจาก $r^2$

ตัวอย่างวิธีทำ (คาน). คานสม่ำเสมอ (มวล $M$, ความยาว $L$) หมุนรอบจุดกึ่งกลาง: ด้วย ความหนาแน่นเชิงเส้น $\lambda=M/L$, $dm=\lambda\,dx$, ดังนั้น $I=\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,\frac{M}{L}\,dx=\frac{1}{12}ML^2$. ใน AP ยังคาดหวังคานที่ไม่สม่ำเสมอ: ถ้า $\lambda(x)=cx$ บน $[0,L]$, หา $M=\int_0^L cx\,dx=\tfrac12cL^2$ ก่อน, แล้วหาค่า $I=\int_0^L x^2(cx)\,dx=\tfrac14cL^4=\tfrac12ML^2$ รอบปลายเบาที่สุด

ตัวอย่างวิธีทำ (ดิสก์จากวงแหวน). ดิสก์ทึบคือกลุ่มวงแหวนซ้อนกัน: วงแหวนที่รัศมี $r$ มีความกว้าง $dr$ จะมี $dm=\dfrac{M}{\pi R^2}\,2\pi r\,dr$, ดังนั้น

$$I=\int_0^R r^2\,dm=\frac{2M}{R^2}\int_0^R r^3\,dr=\tfrac12MR^2.$$

วิธีเปลือกทรงกลมร่วมแกนเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับเปลือกทรงกระบอกและวงแหวนรูปแฉนงได้

ทฤษฎีบทแกนขนาน ย้ายค่า known $I$ ไปยังแกนขนานที่ห่างออกไป $d$:

$$I'=I_{\text{cm}}+Md^2.$$

สำหรับคานที่หมุนรอบปลายด้านหนึ่ง: $I=\tfrac1{12}ML^2+M\big(\tfrac{L}{2}\big)^2=\tfrac13ML^2$

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
Rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/	ความเฉื่อยในการหมุน
linear density/ˈlɪnɪə ˈdensɪti/	ความหนาแน่นเชิงเส้น
parallel-axis theorem/ˈpærəlel ˈæksɪs ˈθɪərəm/	ทฤษฎีบทแกนขนาน
rotational equilibrium/rəʊˈteɪʃənl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	สมดุลการหมุน
static equilibrium/ˈstætɪk ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	สมดุลสถิต

Watch lesson · ⁨ดูบทเรียน⁩

5.5

Rotational Equilibrium · ⁨สมดุลเชิงมุม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.5.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity remains constant.

5.5.A.1 A system may exhibit rotational equilibrium (constant angular velocity) without being in translational equilibrium, and vice versa.
- 5.5.A.1.i Free-body and force diagrams describe the nature of the forces and torques exerted on an object or rigid system.
- 5.5.A.1.ii Rotational equilibrium is a configuration of torques such that the net torque exerted on the system is zero.
  - Equation: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii The rotational analog of Newton's first law is that a system will have a constant angular velocity only if the net torque exerted on the system is zero.
5.5.A.2 A rotational corollary to Newton's second law states that if the torques exerted on a rigid system are not balanced, the system's angular velocity must be changing.

Boundary statement: AP Physics C: Mechanics does not expect students to simultaneously analyze rotation in multiple planes.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.5.A: อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้ความเร็วเชิงมุมของระบบคงที่

5.5.A.1 ระบบอาจอยู่ในสภาวะสมดุลการหมุน (ความเร็วเชิงมุมคงที่) โดยไม่ได้อยู่ในสภาวะสมดุลการเคลื่อนที่ และการเคลื่อนที่ก็反之亦然
- 5.5.A.1.i แผนภาพวัตถุอิสระและแผนภาพแรงอธิบายลักษณะของแรงและโมเมนต์แรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบแข็ง
- 5.5.A.1.ii สมดุลการหมุนคือสภาวะของโมเมนต์แรง使得ผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบเป็นศูนย์
  - สมการ: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii รูปแบบการหมุนของกฎข้อแรกของนิวตันระบุว่าระบบจะมีความเร็วเชิงมุมคงที่ก็ต่อเมื่อผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อ系统是ศูนย์
5.5.A.2 บทสรุปของการหมุนของกฎข้อที่สองของนิวตันระบุว่าหากโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็งไม่สมดุล ความเร็วเชิงมุมของระบบจะต้องมีการเปลี่ยนแปลง

คำจำกัดขอบเขต: AP Physics C: Mechanics ไม่คาดหวังให้นักเรียนวิเคราะห์การหมุนในหลายระนาบพร้อมกัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Newton's first law has a rotational form: with zero net torque, angular velocity is constant – an object in rotational equilibrium 转动平衡 either does not rotate or rotates steadily. Full static equilibrium 静平衡 needs both $\sum F=0$ and $\sum\tau=0$ (about any axis). The standard move for beams and ladders: put the axis at the point where an unknown force acts, so that force drops out of the torque equation.

Worked example. A uniform $20\ \text{kg}$ beam, $4.0\ \text{m}$ long, is pivoted at its left end and held horizontal by a vertical rope at its right end. A $40\ \text{kg}$ child sits $1.0\ \text{m}$ from the pivot. Torques about the pivot: $T(4.0)=20g(2.0)+40g(1.0)$, so $T=\dfrac{392+392}{4.0}=196\ \text{N}$. Then vertical force balance gives the pivot's upward push: $F_p=(60)(9.8)-196=392\ \text{N}$. Choosing the pivot as the axis removed $F_p$ from the torque equation entirely.

ไทย

กฎข้อหนึ่งของนิวตันมีรูปแบบการหมุน: เมื่อไม่มีแรงบิดสุทธิ ความเร็วเชิงมุมจะคงที่ – วัตถุใน สมดุลเชิงหมุน จะไม่หมุน หรือหมุนด้วยความเร็วคงที่ สมดุลสถิตสมบูรณ์ ต้องมีทั้ง $\sum F=0$ และ $\sum\tau=0$ (รอบ แกนใดก็ได้) วิธีมาตรฐานสำหรับคานและบันได: วางแกนไว้ที่จุดที่แรงที่ไม่ทราบค่ากระทำ เพื่อให้แรงนั้นหายไปจากสมการแรงบิด

เมื่อสมดุล แรงบิดตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิการอบแกนจะเท่ากัน

ตัวอย่างวิธีทำ. คาน $20\ \text{kg}$ สม่ำเสมอ, ยาว $4.0\ \text{m}$, ถูกยึดหมุนรอบปลายซ้ายและรับแรงดึงด้วยเชือกแนวตั้งที่ปลายขวา เด็กน้ำหนัก $40\ \text{kg}$ นั่งอยู่ที่ระยะ $1.0\ \text{m}$ จากจุดหมุน แรงบิดรอบจุดหมุน: $T(4.0)=20g(2.0)+40g(1.0)$, ดังนั้น $T=\dfrac{392+392}{4.0}=196\ \text{N}$. จากนั้นการสมดุลแรงแนวตั้งจะได้แรงดันขึ้นจากจุดหมุน: $F_p=(60)(9.8)-196=392\ \text{N}$. การเลือกจุดหมุนเป็นแกนทำให้ $F_p$ หายไปจากสมการแรงบิดโดยสิ้นเชิง

เครื่องชั่งคาน: สมดุลเชิงหมุนเมื่อแรงบิดตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาเท่ากัน

Explore · ⁨สำรวจ⁩

Find the balance point · ⁨หาค่าสมดุล⁩

For rotational equilibrium the total clockwise torque equals the total anticlockwise torque. Move the forces and distances until the beam balances. · ⁨สำหรับ สภาวะสมดุลหมุน แรงบิดตามนัยรวมต้องเท่ากับแรงบิดทวนนัยรวม เคลื่อนย้ายแรงและระยะทางจนกว่าคานจะสมดุล⁩

Watch lesson · ⁨ดูบทเรียน⁩

5.6

Newton's Second Law in Rotational Form · ⁨กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบการหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.6.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity changes.

5.6.A.1 Angular velocity changes when the net torque exerted on the object or system is not equal to zero.
5.6.A.2 The rate at which the angular velocity of a rigid system changes is directly proportional to the net torque exerted on the rigid system and is in the same direction. The angular acceleration of the rigid system is inversely proportional to the rotational inertia of the rigid system.
- Equation: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 To fully describe a rotating rigid system, linear and rotational analyses may need to be performed independently.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.6.A: อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้ความเร็วเชิงมุมของระบบเปลี่ยนแปลง

5.6.A.1 ความเร็วเชิงมุมจะเปลี่ยนเมื่อผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบไม่เท่ากับศูนย์
5.6.A.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของระบบแข็งแปรผันตรงกับโมเมนต์แรงสุทธิที่กระทำต่อระบบแข็งและมีทิศทางเดียวกัน ความเร่งเชิงมุมของระบบแข็งแปรผกผันกับความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็ง
- สมการ: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 เพื่ออธิบายระบบแข็งที่กำลังหมุนอย่างสมบูรณ์ อาจจำเป็นต้องทำการวิเคราะห์แบบเส้นตรงและการวิเคราะห์แบบการหมุนแยกต่างหาก

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

A net torque produces angular acceleration in proportion to the rotational inertia:

$$\alpha=\frac{\sum\tau}{I}\qquad\Big(\text{more generally }\sum\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}\Big).$$

Solve rotational dynamics exactly like translational dynamics, with $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$ – free-body diagram, equations, solve.

Worked example (massive pulley). Masses $m_1=4.0\ \text{kg}$ and $m_2=2.0\ \text{kg}$ hang from a rope over a pulley 滑轮 of rotational inertia $I=0.50\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ and radius $R=0.20\ \text{m}$. Three Newton's-law equations, one per body:

$$m_1g-T_1=m_1a,\qquad T_2-m_2g=m_2a,\qquad (T_1-T_2)R=I\alpha=\frac{Ia}{R}.$$

Adding them (with $I/R^2=12.5\ \text{kg}$): $a=\dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2}=\dfrac{19.6}{18.5}=1.1\ \text{m/s}^2$. Then $T_1=m_1(g-a)=35\ \text{N}$ and $T_2=m_2(g+a)=22\ \text{N}$. The tensions must differ – otherwise nothing would spin the pulley. (If a problem says the pulley is light, then $I\approx0$ and the tensions become equal again.)

Exam skill. Rotational FRQs score the setup: separate free-body diagrams for each mass and the pulley, the string constraint $a=R\alpha$ stated, and the sign convention consistent. The single most common error is assuming one tension throughout a rope that passes over a massive pulley.

ไทย

แรงบิดสุทธิทำให้เกิดการเร่งเชิงมุมแปรผันตรงกับโมเมนต์ความเฉื่อย:

$$\alpha=\frac{\sum\tau}{I}\qquad\Big(\text{more generally }\sum\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}\Big).$$

แก้โจทย์พลศาสตร์การหมุนเหมือนพลศาสตร์การเคลื่อนที่เชิงเส้นเป๊ะๆ โดยมี $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$ – วาดแผนภาพวัตถุอิสระ, ตั้งสมการ, แก้

รอกที่มีมวล: แรงตึงเชือกทั้งสองข้างต่างกันเพราะรอกต้องการแรงบิดสุทธิ

ตัวอย่างวิธีทำ (รอกที่มีมวล). มวล $m_1=4.0\ \text{kg}$ และ $m_2=2.0\ \text{kg}$ แขวนด้วยเชือกพาดผ่าน รอก ที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย $I=0.50\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ และรัศมี $R=0.20\ \text{m}$. มีสมการกฎของนิวตัน 3 สมการ, 1 ต่อวัตถุ:

$$m_1g-T_1=m_1a,\qquad T_2-m_2g=m_2a,\qquad (T_1-T_2)R=I\alpha=\frac{Ia}{R}.$$

เมื่อรวมกัน (ด้วย $I/R^2=12.5\ \text{kg}$): $a=\dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2}=\dfrac{19.6}{18.5}=1.1\ \text{m/s}^2$. จากนั้น $T_1=m_1(g-a)=35\ \text{N}$ และ $T_2=m_2(g+a)=22\ \text{N}$. แรงตึง ต้อง แตกต่างกัน – มิฉะนั้นกลอกล้อจะไม่หมุน (หากโจทย์ระบุว่ากลอกล้อมีมวลน้อยมาก那么 $I\approx0$ และแรงตึงจะเท่ากันอีกครั้ง)

ทักษะการสอบ. FRQ ด้านการหมุนให้คะแนนที่การจัดตั้ง: แยก Free-body diagrams สำหรับแต่ละมวล และ กลอกล้อ, ข้อจำกัดของเชือก $a=R\alpha$ ถูกระบุไว้, และการกำหนดเครื่องหมายมีความสอดคล้องกัน. ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการสันนิษฐานว่าแรงตึงเท่ากันตลอดทั้งเส้นเชือกที่ผ่านบน กลอกล้อที่มีมวล

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
pulley/ˈpʊli/	รอก

Watch lesson · ⁨ดูบทเรียน⁩

5.6

Exam tips · ⁨ข้อแนะนำสำหรับการสอบ⁩

English

Use the rotational analogues: $\theta,\omega=\tfrac{d\theta}{dt},\alpha=\tfrac{d\omega}{dt}$, with the constant-$\alpha$ equations mirroring linear kinematics.
Convert between linear and angular with $v=r\omega$ and $a_t=r\alpha$ (plus centripetal $a_c=\tfrac{v^2}{r}=\omega^2 r$).
Keep radians throughout and fix a positive sense of rotation.
Relate torque to angular acceleration through $\tau=I\alpha$.
Draw the rotation axis — the moment arm is the perpendicular distance to it.

ไทย

ใช้ตัวแทนของการหมุน: $\theta,\omega=\tfrac{d\theta}{dt},\alpha=\tfrac{d\omega}{dt}$, กับสมการคงที่-$\alpha$ ที่สะท้อนจลนศาสตร์เชิงเส้น.
แปลงระหว่างเชิงเส้นและมุมด้วย $v=r\omega$ และ $a_t=r\alpha$ (บวกกับ $a_c=\tfrac{v^2}{r}=\omega^2 r$ แนวเข้าศูนย์กลาง).
รักษารadian ตลอดและกำหนดทิศทางบวกของการหมุนให้ชัดเจน.
เชื่อมโยงโมเมนต์แรงกับการเร่งเชิงมุมผ่าน $\tau=I\alpha$.
วาดแกนหมุน – ระยะแขนโมเมนต์คือระยะตั้งฉากไปยังมัน

Interactive lessons on this topic · ⁨บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที⁩

Past Papers · ⁨ข้อสอบย้อนหลัง⁩

More topics in AP Physics C: Mechanics · ⁨หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Physics C: Mechanics⁩