IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP ตัวอย่างชุดข้อสอบ

โมเมนตัมเชิงเส้น

AP Physics C: กลศาสตร์ · หัวข้อ 4

ดูสไลด์ ฝึกฝน
บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้ เปิดหน้าวิดีโอ
7:00

โมเมนตัมเชิงเส้น

รถหยุดในการชน ด้วยถุงลม ผู้ขับขี่เดินออกจากเกิดเหตุได้ โดยไม่มีถุงลม พวกเขาไม่ได้ ในทั้งสองกรณีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเหมือนกันเป๊ะ — จากเต็ม...

การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ

4.1

โมเมนตัมเชิงเส้น
หลักสูตร

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.1.A: อธิบายโมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุหรือระบบ

  • 4.1.A.1 โมเมนตัมเชิงเส้นนิยามได้จากสมการ $\vec{p} = m\vec{v}$
  • 4.1.A.2 โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์และมีทิศทางเดียวกับความเร็ว
  • 4.1.A.3 โมเมนตัมสามารถใช้วิเคราะห์การชนและการระเบิดได้
    • 4.1.A.3.i การชนเป็นแบบจำลองของการมีปฏิสัมพันธ์ที่แรงกระทำระหว่างวัตถุที่เกี่ยวข้องในระบบมีค่ามากกว่าแรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อวัตถุนั้นมากduring การมีปฏิสัมพันธ์
    • 4.1.A.3.ii เนื่องจากพิจารณาเฉพาะสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายของการชน จึงสามารถใช้แบบจำลองวัตถุเพื่อวิเคราะห์การชนได้
    • 4.1.A.3.iii การระเบิดเป็นแบบจำลองของการมีปฏิสัมพันธ์ที่แรงภายในระบบทำให้วัตถุภายในระบบเคลื่อนที่ออกห่างจากกัน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

โมเมนตัมเชิงเส้น คือมวลคูณความเร็ว:

$$\vec{p}=m\vec{v}.$$

มันเป็น เวกเตอร์ ชี้ตามแนวความเร็ว และเป็น ปริมาณ สำคัญสำหรับการวิเคราะห์ การชน และ ระเบิด กลุ่มวัตถุสามารถพิจารณาเป็นระบบเดียวที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วของ จุดศูนย์กลางมวล ของมัน:

$$\vec{v}_{\text{cm}}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i},$$

ดังนั้นโมเมนตัมรวมของระบบคือมวลรวมคูณ $\vec{v}_{\text{cm}}$ – การบันทึกข้อมูลเท่าหนึ่งวัตถุสำหรับจำนวนชิ้นส่วนใดๆ

4.2

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมและแรงกระแทก
หลักสูตร

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.2.A: อธิบายแรงกระแทก (Impulse) ที่ส่งให้กับวัตถุหรือระบบ

  • 4.2.A.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเท่ากับแรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อระบบนั้น
    • สมการ: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt}$
  • 4.2.A.2 แรงกระแทก (Impulse) นิยามว่าคืออินทิกรัลของแรงที่กระทำต่อบริบทหรือระบบในช่วงเวลาหนึ่ง
    • สมการ: $\vec{J} = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_{\text{net}}(t)\,dt$
  • 4.2.A.3 แรงกระแทกเป็นปริมาณเวกเตอร์และมีทิศทางเดียวกับแรงสุทธิที่กระทำต่อระบบ
  • 4.2.A.4 แรงกระแทกที่ส่งให้กับระบบโดยแรงภายนอกสุทธิมีค่าเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟของแรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อระบบเมื่อพิจารณาเป็นฟังก์ชันของเวลา
  • 4.2.A.5 แรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อระบบมีค่าเท่ากับความชันของกราฟโมเมนตัมของระบบเมื่อพิจารณาเป็นฟังก์ชันของเวลา

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.2.B: อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระแทกที่กระทำต่อบริบทหรือระบบกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของบริบทหรือระบบนั้น

  • 4.2.B.1 การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมคือผลต่างระหว่างโมเมนตัมสุดท้ายและโมเมนตัมเริ่มต้นของระบบ
    • สมการ: $\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
  • 4.2.B.2 ทฤษฎีบทแรงกระแทก-โมเมนตัมเชื่อมโยงแรงกระแทกที่ส่งไปยังบริบทกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของบริบทนั้น
    • 4.2.B.2.i แรงกระแทกที่กระทำต่อบริบทมีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของบริบทนั้น
      • สมการ: $\vec{J} = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_{\text{net}}(t)\,dt = \Delta\vec{p}$
    • 4.2.B.2.ii กฎข้อที่สองของนิวตันเกี่ยวกับการเคลื่อนที่เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทแรงกระแทก-โมเมนตัมเมื่อใช้กับระบบที่มีมวลคงที่
      • สมการ: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} = m\dfrac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$
    • 4.2.B.2.iii ทฤษฎีบทแรงกระแทก-โมเมนตัมยังอธิบายพฤติกรรมของระบบซึ่งมีความเร็วคงที่แต่มีมวลเปลี่ยนแปลงตามเวลา
      • สมการ: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} = \dfrac{dm}{dt}\vec{v}$

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

กฎข้อที่สองของนิวตันแท้จริงแล้วคือข้อความเกี่ยวกับโมเมนตัม:

$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$

ซึ่งลดรูปเหลือ $m\vec{a}$ เมื่อมวลคงที่ – และจัดการกับ มวลที่เปลี่ยนแปลง เมื่อมันไม่คงที่ (กรณีพิเศษ $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อความเร็วคงที่ เช่น โซ่ถูกกองลงบนเครื่องชั่ง หรือทรายตกลงบนสายพานที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่; จรวดไม่เข้าข่าย เพราะมันเร่งตัว) อิมพัลส์ ที่แรงกระทำคืออินทิกรัลตามเวลาของมัน, และ ทฤษฎีบทอิมพัลส์-โมเมนตัม บอกว่ามันเท่ากับผลต่างโมเมนตัม:

$$\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}_{\text{net}}\,dt=\Delta\vec{p}.$$

อิมพัลส์เป็นเวกเตอร์ตามแนวแรงสุทธิ อ่านจากกราฟได้ทั้งสองแบบ:

  • บนกราฟแรง–เวลา, อิมพัลส์คือ พื้นที่ ภายใต้เส้นโค้ง
  • บนกราฟโมเมนตัม–เวลา, แรงสุทธิคือ ความชัน ที่แต่ละช่วงเวลา
แรงกระแทกคือพื้นที่ใต้กราฟแรง–เวลา เท่ากับแรงเฉลี่ยคูณกับเวลาสัมผัส
แรงกระแทกคือพื้นที่ใต้กราฟแรง–เวลา เท่ากับแรงเฉลี่ยคูณกับเวลาสัมผัส

การกระจาย $\Delta p$ เดียวกันไปยังช่วงเวลานานกว่า会降低แรง – นั่นคือเหตุผลที่ถุงลม,โซนบดบังแรงกระแทก, และการลงจอดแบบนุ่มนวลทำงานได้,以及เมื่อคุณงอเข่าเมื่อลงจอด

ตัวอย่างวิธีทำ. แรงแปรผันตามเวลา $F(t)=10t\ \text{N}$ กระทำต่อวัตถุ $2.0\ \text{kg}$ เป็นเวลา $2.0\ \text{s}$. อิมพัลส์คือ $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, ดังนั้นความเร็วเปลี่ยนไป $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$

คำศัพท์ ฝึกฝน
English ไทย
Linear momentum/ˈlɪnɪə məʊˈmentəm/ โมเมนตัมเชิงเส้น
vector/ˈvektə/ เวกเตอร์
collisions/kəˈlɪʒnz/ การชนกัน
explosions/ekˈspləʊʒnz/ การระเบิด
center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ ศูนย์กลางมวล
impulse/ˈɪmpʌls/ สัญญาณ
impulse–momentum theorem/ˈɪmpʌls məʊˈmentəm ˈθɪərəm/ ทฤษฎี impulse–momentum
slope/sləʊp/ ความชัน
4.3

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น
หลักสูตร
Learning ObjectiveEssential Knowledge

4.3.A
Describe the behavior of a system using conservation of linear momentum.

  • 4.3.A.1 A collection of objects with individual momenta can be described as one system with one center-of-mass velocity.
    • 4.3.A.1.i For a collection of objects, the velocity of a system's center of mass can be calculated using the equation
      • Equation: $\vec{v}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum \vec{p}_i}{\sum m_i} = \dfrac{\sum (m_i \vec{v}_i)}{\sum m_i}$
    • 4.3.A.1.ii The velocity of a system's center of mass is constant in the absence of a net external force.
  • 4.3.A.2 The total momentum of a system is the sum of the momenta of the system's constituent parts.
  • 4.3.A.3 In the absence of net external forces, any change to the momentum of an object within a system must be balanced by an equivalent and opposite change of momentum elsewhere within the system. Any change to the momentum of a system is due to a transfer of momentum between the system and its surroundings.
    • 4.3.A.3.i The impulse exerted by one object on a second object is equal and opposite to the impulse exerted by the second object on the first. This is a direct result of Newton's third law.
    • 4.3.A.3.ii A system may be selected so that the total momentum of that system is constant.
    • 4.3.A.3.iii If the total momentum of a system changes, that change will be equivalent to the impulse exerted on the system.
      • Equation: $\vec{J} = \Delta\vec{p}$
  • 4.3.A.4 Correct application of conservation of momentum can be used to determine the velocity of a system immediately before and immediately after collisions or explosions.

Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to quantitatively analyze collisions and interactions in one or two dimensions. Three-dimensional collisions may be analyzed qualitatively.

4.3.B
Describe how the selection of a system determines whether the momentum of that system changes.

  • 4.3.B.1 Momentum is conserved in all interactions.
  • 4.3.B.2 If the net external force on the selected system is zero, the total momentum of the system is constant.
  • 4.3.B.3 If the net external force on the selected system is nonzero, momentum is transferred between the system and the environment.

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

แรงภายในเกิดเป็นคู่ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน, ดังนั้นมันหักล้างกันในระบบใดๆ: มันสามารถย้ายโมเมนตัม ระหว่าง ส่วนย่อยแต่ไม่สามารถเปลี่ยนรวมได้ โมเมนตัมจะเข้าสู่หรือออกจากระบบผ่านแรงภายนอกสุทธิเท่านั้น ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). ดังนั้น, เมื่อ ไม่มีแรงภายนอกสุทธิ, โมเมนตัมรวมจะ คงที่:

$$\sum\vec{p}_{\text{before}}=\sum\vec{p}_{\text{after}}.$$

โมเมนตัมคงที่ในทุกการชน, ไม่ว่ารุนแรงเพียงใด – เลือกระบบที่ใหญ่พอที่แรงการชนจะเป็นแรงภายใน 应用的守恒定律แยกตามแต่ละแกน; AP ต้องการคำคำนวณเชิงปริมาณในหนึ่งหรือสองมิติ

การชนแบบตรงหน้า: โมเมนตัมรวมก่อนเท่ากับโมเมนตัมรวมหลัง
การชนแบบตรงหน้า: โมเมนตัมรวมก่อนเท่ากับโมเมนตัมรวมหลัง

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว (ระเบิด). เปลือกหอย $6.0\ \text{kg}$ ที่หยุดนิ่งแตกออกเป็นชิ้น $2.0\ \text{kg}$ ที่เคลื่อนที่ไปทางตะวันออกด้วยความเร็ว $9.0\ \text{m/s}$ และอีกชิ้น $4.0\ \text{kg}$. โมเมนตัมรวมยังคงเป็นศูนย์ ดังนั้นชิ้นที่มีมวลมากกว่าจึงเคลื่อนที่ไปทางตะวันตกด้วยความเร็ว $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. พลังงานจลน์มาจากพลังงานที่สะสมไว้ (เคมีหรือสปริง) – กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมไม่จำเป็นต้องมีการอนุรักษ์พลังงานจลน์

สำรวจ

ชนรถเข็นสองคันและรักษาโมเมนตัมไว้

ในการชนใดๆ โมเมนตัมรวม $\sum mv$ ก่อนเท่าหลัง ตั้งค่ามวลและความเร็วแล้วตรวจสอบการบัญชีโมเมนตัม

4.4

การชนแบบยืดหยุ่นและไม่ยืดหยุ่น
หลักสูตร

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.4.A: อธิบายว่าปฏิกิริยาระหว่างวัตถุเป็นการชนแบบยืดหยุ่นหรือไม่ยืดหยุ่น

  • 4.4.A.1 การชนแบบยืดหยุ่นระหว่างวัตถุคือการชนที่พลังงานจลน์เริ่มต้นของระบบเท่ากับพลังงานจลน์สุดท้ายของระบบ
  • 4.4.A.2 ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์สุดท้ายของแต่ละวัตถุภายในระบบอาจต่างจากพลังงานจลน์เริ่มต้นของวัตถุนั้นๆ
  • 4.4.A.3 การชนแบบไม่ยืดหยุ่นระหว่างวัตถุคือการชนที่พลังงานจลน์รวมของระบบลดลง
  • 4.4.A.4 ในการชนแบบไม่ยืดหยุ่น บางส่วนของพลังงานจลน์เริ่มต้นไม่ได้กลับคืนมาเป็นพลังงานจลนอีกต่อไป แต่ถูกแปลงโดยแรงที่ไม่อนุรักษ INTO เป็นรูปพลังงานอื่น
  • 4.4.A.5 ในกรณีการชนแบบไม่ยืดหยุ่นเต็มที่ วัตถุจะติดกันและเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเดียวกันหลังจากการชน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

การอนุรักษ์โมเมนตัมในการชน

ทุกการชนรักษามomentump; พวกมันแตกต่างกันในสิ่งที่เกิดขึ้นกับ พลังงานจลน์:

ประเภท momentum kinetic energy
การชนยืดหยุ่น conserved total conserved (individual shares may change)
การชนไม่ยืดหยุ่น conserved decreases – some becomes heat, sound, deformation
การชนไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ conserved largest possible loss – the objects stick and share one velocity

กลยุทธ์: ต้อง เขียน conservation of momentum ก่อนเสมอ; เพิ่มสมการพลังงานจลน์ก็ต่อเมื่อโจทย์บอกว่า "elastic". ข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์สองอย่างของการชนยืดหยุ่น: มวลเท่ากันในการชน 1 มิติที่ยืดหยุ่นจะแลกเปลี่ยนความเร็ว简单的, และในกรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางมวล วัตถุแต่ละชิ้นจะกลับทิศทางความเร็วของตัวเอง

ตัวอย่างวิธีทำ. รถ $1000\ \text{kg}$ ที่ $20\ \text{m/s}$ ชนรถ $1500\ \text{kg}$ ที่หยุดนิ่งและล็อคเข้าด้วยกัน – การชนไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์. Momentum: $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. Kinetic energy ลดจาก $2.0\times10^5\ \text{J}$ เหลือ $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$: ประมาณ $60\%$ หายไป, แม้ว่าจะมีmomentumคงที่เป๊ะๆ

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว (2D). ปุกเคลื่อนที่ไปทางตะวันออกด้วยความเร็ว $4.0\ \text{m/s}$ ชนกับปุกอื่นที่เหมือนกันซึ่งหยุดนิ่ง; หลังการชนแบบเฉียง, ปุกหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $2.0\ \text{m/s}$ ในมุม $60^\circ$ เหนือเส้นตะวันออก. อนุรักษ์แกนแต่ละแกน: ตะวันออก-ตะวันตก, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, ดังนั้น $v_x=3.0\ \text{m/s}$; เหนือ-ใต้, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, ดังนั้น $v_y=1.7\ \text{m/s}$. ปุกตัวที่สองเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, ประมาณ $30^\circ$ ใต้เส้นตะวันออก

การชนแบบเฉี่ยว, แยกตามแกนตั้งฉากสองแกน
การชนแบบเฉี่ยว, แยกตามแกนตั้งฉากสองแกน

ทักษะการสอบ ในข้อ FRQ ให้ใช้ เงื่อนไข ในการอธิบาย ไม่ใช่แค่คำคม: "แรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อระบบสไลด์สองชิ้นเป็นศูนย์ระหว่างเกิดการชน ดังนั้นโมเมนตัมรวมจึงคงที่" หากถามว่าการชนนั้นยืดหยุ่นหรือไม่ ให้ คำนวณ พลังงานจลน์ก่อนและหลังการชนแล้วเปรียบเทียบ – อย่าเพิ่งสมมติ

Newtons cradle: ลูกบอลเหล็กห้าลูกแขวนเรียงกัน
ลูกตุ้มนิวตันแสดงถึงการส่งผ่านโมเมนตัมและพลังงานจลน์ผ่านการชนที่ยืดหยุ่นเกือบสมบูรณ์
สำรวจ

เปรียบเทียบการชนแบบยืดหยุ่นและไม่ยืดหยุ่น

โมเมนตัมถูกอนุรักษ์เสมอ แต่ พลังงานจลน์ จะถูกอนุรักษ์เฉพาะใน การชนแบบยืดหยุ่น เท่านั้น ในการชนที่ไม่ยืดหยุ่น รถเข็นจะติดกันและพลังงานบางส่วนจะกลายเป็นความร้อน

คำศัพท์ ฝึกฝน
English ไทย
conserved/kənˈsɜːvd/ คงที่
kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ พลังงานจลน์
elastic collision/ɪˈlæstɪk kəˈlɪʒn/ การชนแบบยืดหยุ่น
inelastic collision/ɪnɪˈlæstɪk kəˈlɪʒn/ การชนแบบไม่ยืดหยุ่น
deformation/ˌdiːfɔːˈmeɪʃn/ การเปลี่ยนรูป
perfectly inelastic collision/ˈpɜːfektlɪ ɪnɪˈlæstɪk kəˈlɪʒn/ การชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์
4.4

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
  • แรงกระแทก (Impulse) เท่ากับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, และคือพื้นที่ใต้กราฟแรง–เวลา
  • โมเมนตัมถูกอนุรักษ์ เมื่อแรงภายนอกสุทธิเป็นศูนย์ – เป็นหลักการพื้นฐานที่ใช้ได้เสมอในการวิเคราะห์การชน
  • แยกแยะระหว่างการชนแบบ ยืดหยุ่น (พลังงานจลน์คงที่) กับ ไม่ยืดหยุ่น (พลังงานจลน์ลดลง); ในกรณีการชนแบบ ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุจะติดกันและเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเดียวกัน
  • ใช้หลักการอนุรักษ์แยกตามแต่ละองค์ประกอบ (แกน x และ y) ในระบบ 2 มิติ
  • เชื่อมโยงกับจุดศูนย์กลางมวล: โมเมนตัมรวม $=M\vec v_{cm}$

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

ข้อสอบย้อนหลัง

หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Physics C: กลศาสตร์

เข้าสู่ระบบหรือสร้างบัญชี

IGCSE, A-Level & AP