物理量与单位

一个物理量(physical quantity)有两个部分:一个数字(它的大小(magnitude))和一个单位(unit)。单独一个数字什么也说明不了。你还必须说明测量的是什么、用的是哪个单位。

例子:"长度是 1.5"是不完整的。"长度是 1.5 m"才是一个物理量。

作估算

你应当能够估算(estimate)本大纲中各物理量的大小。第一卷通常以一道这样的题开始。记住这些粗略的数值:

• 成年人的质量(mass):$\sim 70\ \text{kg}$;一辆汽车:$\sim 1000\ \text{kg}$;一个苹果:$\sim 0.1\ \text{kg}$
• 成年人的重力(weight):$\sim 700\ \text{N}$;一个苹果:$\sim 1\ \text{N}$
• 成年人的身高:$\sim 1.7\ \text{m}$;房间的高度:$\sim 3\ \text{m}$
• 步行速率:$\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$;快速路上的汽车:$\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• 声音在空气中的速率:$\sim 340\ \text{m s}^{-1}$;光在真空(vacuum)中的速率:$3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• 自由落体(free fall)的加速度(acceleration):$g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• 水的密度(density):$1000\ \text{kg m}^{-3}$;空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$;钢:$\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• 大气压强(atmospheric pressure):$\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• 室温:$\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• 电热水壶的功率:$\sim 2\ \text{kW}$;一个人爬楼梯的功率:$\sim 300\ \text{W}$
• 可见光的波长:$\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$;原子的直径:$\sim 10^{-10}\ \text{m}$;原子核的直径:$\sim 10^{-15}\ \text{m}$

一个好的估算要有正确的数量级(order of magnitude,正确的十的幂)。对于人来说,70 kg 是个好的猜测;7 kg 就不是。

要估算一个不在表中的量,就用表中的量把它拼出来。一辆行驶中的汽车的动能是 $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$。一个人站立时对地面的压强是 $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$。往下做之前,一定先检查十的幂是否合理。

基本单位

SI 制中有七个基本量(base quantities);其中五个在本主题中用到。你必须知道这五个和它们的单位:

• 质量(mass)——千克,$\text{kg}$
• 长度(length)——米,$\text{m}$
• 时间——秒,$\text{s}$
• 电流(current)——安培(ampere),$\text{A}$
• 温度(temperature)——开尔文(kelvin),$\text{K}$

本大纲中其他所有单位都由这五个构成。

导出单位

导出单位(derived unit)是由基本单位相乘或相除得到的。你应当能够把本大纲中任何一个量用基本单位表示出来。

从定义某个单位的方程来构建它:

• 速率(speed)= 距离 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-1}$
• 加速度= 速度(velocity)的变化 / 时间,所以它的单位是 $\text{m s}^{-2}$
• 力(force)= 质量 × 加速度,所以它的单位是 $\text{kg m s}^{-2}$。牛顿(newton)是 $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$。
• 功(work)和能量(energy)= 力 × 距离,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。焦耳(joule)是 $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。
• 功率(power)= 能量 / 时间,所以单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。瓦特(watt)是 $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。
• 压强(pressure)和应力(stress)= 力 / 面积,所以单位是 $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。帕斯卡(pascal)是 $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。

当题目要求某个量的 SI 基本单位时,把每个有名称的单位换成它的基本单位,然后化简。例子:瓦特的 SI 基本单位是 $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。

检查单位是否一致

当一个方程两边有相同的基本单位时,它就是量纲一致的(homogeneous)。用大白话说:两边的单位相符。

把每一边都写成基本单位再比较。以方程 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 为例:

• 左边:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第一项:$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右边第二项:$\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

两边都得到 $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$,所以单位相符。

要小心:单位相符并不证明整个方程是正确的。它仍可能有错误的数字,或漏掉一个因子 2。但如果单位不相符,这个方程就一定是错的。

例题。 下落小球受到的阻力由 $F = kv^{2}$ 给出,其中 $v$ 是速率。求常量 $k$ 的 SI 基本单位。

整理得 $k = F / v^{2}$。用基本单位表示,$F$ 是 $\text{kg m s}^{-2}$,$v^{2}$ 是 $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$,所以

选择题常问"哪个方程可能是正确的?"。检查每个选项的基本单位;只有量纲一致的方程才可能正确。纯数(如 2、$\pi$ 或 $\tfrac{1}{2}$)没有单位,所以它从不影响这个检查。

词头

词头(prefix)是加在单位前面的一个字母,用来把它按十的幂放大或缩小。你必须知道这些:

要把带词头的单位换成基本单位,就把词头换成它的因子,然后化简。例子:把 $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ 换成 $\text{N m}^{-2}$:

对像 $\text{mm}^{2}$ 这样的平方单位要格外小心:因子也必须平方。

每一次测量(measurement)都有一些不确定度(uncertainty)——我们从来无法完全确定这个数值。一个好的实验者知道不确定度来自哪里,对它作出合理的估计,并把它一直带到最终答案中。

系统误差和随机误差

系统误差(systematic error)使每个读数都朝同一方向改变相同的量。你无法通过重复测量来发现它。常见原因:

• 零点误差(zero error,当真值为零时刻度不指零)
• 校准(calibration)误差(刻度本身就是错的)
• 视差(parallax,你的眼睛总是偏在刻度的一侧)

系统误差使准确度(accuracy)变差,但它不改变精密度(precision)。

随机误差(random error)使读数在真值上下无规律地跳动。原因包括你读刻度时有多仔细、条件在变化,以及仪器(instrument)能显示的最小步长。如果你把测量重复许多次并取平均值(mean,平均数),随机误差会部分相互抵消。

随机误差使精密度变差。但只要重复足够多次,平均值仍可以是准确的。

在图像上,这两种误差看起来不同。系统误差把每个点移动相同的量,所以最佳拟合直线保持斜率不变,但不再通过原点:截距(intercept)改变了。随机误差使各点散布在直线的上下两侧;从散点中间画出的最佳拟合直线仍能给出可靠的斜率。

精密度和准确度

精密度是重复读数彼此有多接近。精密的读数彼此聚得很近。

准确度是一个读数(或若干读数的平均值)与真值有多接近。

一组读数可以是:

• 精密且准确——彼此接近且靠近真值
• 精密但不准确——彼此接近,但偏离真值(存在系统误差)
• 准确但不精密——分散,但平均值靠近真值
• 两者都不是——分散且偏离真值

当题目给出一张重复读数的表格时,分别看分散程度(精密度)和平均值(准确度)。

估计一次读数的不确定度

在合并不确定度之前,你需要给每个原始读数一个合理的不确定度:

• 模拟刻度上的单次读数:最小分度(division)的一半(米尺读到 $1\ \text{mm}$,所以一次读数为 $\pm 0.5\ \text{mm}$)。一个长度需要两次读数,两端各一次,所以它的不确定度为 $\pm 1\ \text{mm}$。
• 数字仪表:所显示的最后一位 $\pm 1$(显示 $2.47\ \text{s}$ 的秒表为 $\pm 0.01\ \text{s}$)。
• 手动计时的测量:你的反应时间(reaction time)比显示位数更重要。留出约 $\pm 0.1$ 到 $0.2\ \text{s}$,并且计时多个振动周期而不是一个,这样同一个不确定度就被所有周期分摊。
• 重复读数:不确定度是极差的一半(half the range)。三次计时 $2.42$、$2.48$ 和 $2.45\ \text{s}$ 的平均值是 $2.45\ \text{s}$,极差是 $0.06\ \text{s}$,所以 $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$。

要诚实。如果影子的边缘很难看清,它位置的不确定度就是好几毫米,不管刻度有多细。对于一个很难读的读数,考官不接受把"最小分度"当作它的不确定度。

导出量的不确定度

一个测量常写成 $x \pm \Delta x$。这里 $\Delta x$ 是绝对不确定度(absolute uncertainty)。百分比不确定度(percentage uncertainty)是

导出量(derived quantity)是你从测得的值算出来的量。它的不确定度由几条简单规则求得:

• 相加或相减——把绝对不确定度相加。若 $y = a + b$ 或 $y = a - b$,则 $\Delta y = \Delta a + \Delta b$。
• 相乘或相除——把百分比不确定度相加。若 $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$,则
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• 乘方——把百分比不确定度乘以那个幂。若 $y = a^{n}$,则 $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$。

例题。 一个球的直径(diameter)测得为 $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$。球的体积(volume)是 $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$,所以 $V \propto d^{3}$($V$ 与 $d$ 的立方成正比)。

$d$ 的百分比不确定度是

因为 $V \propto d^{3}$,$V$ 的百分比不确定度是它的三倍,约为 $1.14\%$。体积是 $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$。所以绝对不确定度是 $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$。最终答案是 $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$。

两个值是否一致? 实验题常问两个算出的常量值是否支持所提出的关系。不要只说"它们很接近"。算出它们之间的百分比差异(percentage difference),

其中 $\bar{k}$ 是 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的平均值;再把它与 $k$ 的百分比不确定度(或题目给出的判据,常为 10%)比较。如果差异更小,两个值在不确定度范围内一致,关系得到支持。如果更大,则不一致。

有效数字

当你写下一个计算出的量时,给它与你所用的最不精密的测量相同数目的有效数字(significant figures)——在本大纲中通常是两位或三位。有效数字太多会让答案看起来比实际更精确。太少则丢失有用的信息。

实验卷会要求你说明理由(justify)为什么选这个位数。要点出原始读数:"$a$ 给到 2 位有效数字,因为 $L$ 和 $t$ 各自都是测到 2 位有效数字。"只写"因为原始数据"这句话本身拿不到分。在结果表格中,每一行按该行中最不精密的原始读数来判断;不要强迫每一行都用相同的位数。

图像上的不确定度

第五卷要求你把不确定度带到图像里:

• 画每个点时加上误差棒(error bar),它的长度表示该值的绝对不确定度。
• 先过各点画出最佳拟合直线(line of best fit),再画最差可接受直线(worst acceptable line):仍能穿过每一个误差棒的最陡(或最平)的直线。
• 斜率的不确定度是两条直线斜率之差,$\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$。截距的不确定度用同样的方法求。
• 当你画的是对数时,$\ln x$ 的绝对不确定度是 $\Delta x / x$($\lg x$ 的则是 $0.434\,\Delta x / x$)。对 $x$ 的最大值和最小值分别算。

斜率的百分比不确定度随后会按上面的规则,传递到你由它算出的任何量中。

标量(scalar)只有大小。矢量(vector)既有大小又有方向。

大纲中的例子:

• 标量:质量、时间、温度、能量、功、功率、距离、速率、压强、密度、电荷(electric charge)
• 矢量:位移(displacement)、速度、加速度、力(包括重力)、动量(momentum)

快速判断:如果问"朝哪个方向?"是有意义的,那么这个量就是矢量。你不能问"温度朝哪个方向?",所以温度是标量。你可以问"速度朝哪个方向?",所以速度是矢量。

矢量的相加与相减

矢量画成一个箭头:箭头的方向给出该量的方向,箭头的长度(按比例画)给出它的大小。

要把两个共面(coplanar,在同一平面内)的矢量相加,把它们首尾相接地画。合矢量(resultant)从第一个箭头的尾指向第二个箭头的头。

要求 $\vec{X} - \vec{Y}$,就加上 $\vec{Y}$ 的反向:$\vec{X} + (-\vec{Y})$。$\vec{Y}$ 的反向与 $\vec{Y}$ 大小相同但指向相反。

如果两个矢量成直角(90°),合矢量的大小是

它的方向由 $\tan\theta = Y / X$ 得到。

例题。 一名游泳者以 $1.2\ \text{m s}^{-1}$ 朝北横渡一条向东流、流速 $0.5\ \text{m s}^{-1}$ 的河。求合速度的大小和方向。

这两个速度互相垂直,所以

方向为 $\tan\theta = 0.5/1.2$,得 $\theta \approx 23°$,即北偏东。

如果两个矢量大小都为 $F$、它们之间夹角为 $2\alpha$,合矢量大小为 $2F\cos\alpha$,并沿着把这个夹角平分的那条线。

例题。 两个 $6.0\ \text{N}$ 的力作用在一个物体上,两力之间夹角为 $60°$。求合力。

这里 $2\alpha = 60°$,所以 $\alpha = 30°$,$R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$,方向沿两力正中间的那条线。用分解法得到同样的答案:每个力沿这条线的分量都是 $6.0\cos 30°$,而它们垂直于这条线的分量相互抵消。

对于夹角为其他角度的两个矢量,要么按比例作图(scale drawing)画出矢量三角形并量出合矢量,要么把两个矢量都分解成互相垂直的分量,把分量相加,再用 $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ 合成。

例题。 一个球以 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向东运动,被击打后以 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向北运动。求它的速度变化。

速度变化是矢量相减:$\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$。先画 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向北,再加上初速度的反向矢量,即 $5.0\ \text{m s}^{-1}$ 向西。两者互相垂直,所以 $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$,指向西北。速率没有变,但速度变了。这就是为什么一定有力作用在球上(主题 3)。

把矢量分解为互相垂直的部分

任何矢量都能分解成两个垂直(perpendicular,成直角)的分量(components)。通常这两个是水平(horizontal)和竖直(vertical),或沿着与横过某个表面。对于与水平方向成 $\theta$ 角的矢量 $\vec{v}$:

选择能让问题最简单的方向。在斜坡(斜面(inclined plane))上,把重力分解成沿斜坡的一部分和与斜坡成直角的一部分:

其中 $\theta$ 是斜坡与水平方向的夹角。

每当你需要知道一个矢量有多少作用在某个方向上时,就把它分解为分量。例如:一个力沿斜坡作用的那部分,或者一个球被抛出后速度的水平与竖直部分。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 给每个答案都写上单位,并检查量纲一致性——方程两边必须有相同的基本单位。
• 区分随机误差(靠重复和取平均来减小)和系统误差(重复无法消除的零点或校准误差)。
• 合成不确定度:相加/相减时把绝对不确定度相加,相乘/相除时把百分比不确定度相加(并把百分比乘以任何幂)。
• 区分精密度(分散小)和准确度(接近真值)。
• 把一个矢量分解为互相垂直的分量($F\cos\theta$、$F\sin\theta$);用首尾相接或用分量来把矢量相加。

常见错误

• 把 5 cm 代成 5,把 20 g 代成 20。先换算词头:0.05 m,0.020 kg。
• 把 $T^{2}$ 的百分比不确定度写成与 $T$ 的相同。平方使它加倍;开平方使它减半。
• 把百分比不确定度和绝对不确定度当成同一个数。
• 对一个很难读的读数,把"最小分度"报作它的不确定度。
• 对一个定义给出两个答案。只写一个。