Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Восстанавливать центр и радиус окружности методом выделения полного квадрата
- Преобразовывать центральные углы и вычислять длину дуги и площадь сектора
- Использовать свойства касательной, вписанного угла и единичной окружности
Предварительные требования: выделение полного квадрата; радиус; радианы; соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Объясните и выберите метод
Окружность с центром (h,k) и радиусом r удовлетворяет уравнению (x-h)²+(y-k)²=r². Для развернутого уравнения выделите полные квадраты относительно x и y и добавьте компенсирующие константы в правую часть. Полученное значение правой части должно быть положительным для существования реальной невырожденной окружности. Держите радиус отдельно от его квадрата.
A central angle θ in radians gives arc length rθ and sector area r²θ/2. In degrees, use the fraction θ/360 of the full circumference or area. A full turn is 2π radians=360°. The formulas rθ and r²θ/2 require radians; inserting degrees without conversion gives a wrong scale.
Касательная в точке окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом. Определите фактическую общую дугу и центр перед применением этих утверждений. Хорда не является касательной и не обязательно перпендикулярна радиусу, если дополнительные условия не устанавливают это.
On the unit circle, a point at angle θ has coordinates (cos θ,sin θ), so cos²θ+sin²θ=1. Signs depend on quadrant. For acute complementary angles, sin θ=cos(90°-θ). Use special triangles for exact values: at 30° the sine is 1/2 and cosine √3/2; at 45° both are √2/2.
Выделите полные квадраты в обоих слагаемых уравнения окружности. $x^2+y^2+6x-8y=0$ превращается в $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. Центр находится в $(-3,4)$, а радиус равен 5. Arc length is $s=r\theta$ only for radian angle $\theta$.
Worked example. x²+y²-4x+6y-12=0 becomes (x-2)²+(y+3)²=25, giving centre (2,-3), radius 5. For radius 6 and central angle π/3, arc length is 2π and sector area 6π. An inscribed angle on that same 60° arc is 30°. At 150°, cosine is -√3/2 and sine 1/2 because the point is in quadrant II.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Найдите центр и радиус окружности $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. Лежит ли точка $(7,-1)$ на ней?
Reasoning. Complete squares to get $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Centre $(4,-1)$, radius 3. Substitution of $(7,-1)$ gives $3^2+0^2=9$, so it is on the circle.
Практика 2
A sector has radius 8 cm and angle 135°. Find its angle in radians, arc length and area. An inscribed angle elsewhere on the circle intercepts this same arc; find it.
Reasoning. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radians. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. The inscribed angle is half the central angle: 67.5 degrees.
Практика 3
A unit-circle point is in quadrant III and has $y=-1/2$. Find its $x$-coordinate and one angle between 0° and 360°.
Reasoning. $x^2+y^2=1$ gives $x^2=3/4$. Quadrant III requires $x<0$, so $x=-\sqrt3/2$. The point is at 210 degrees, with reference angle 30 degrees.
Ограничения и дальнейшее применение
Проверьте единицы измерения (градусы/радианы), знаки центра и является ли угол центральным или вписанным перед применением формулы.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.