Уравнения окружности, дуги и тригонометрия единичной окружности
Введено| English | Значение |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | радиан |
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательная |
Решение перед ответом
- Квадрат радиуса, равный 25, означает радиус 5. Знаки в уравнении (x-2)²+(y+3)² указывают центр в точке (2,-3).
- Ваша цель: найти центр и радиус окружности методом выделения полного квадрата.
Прочитайте соотношение
- Окружность с центром (h,k) и радиусом r задаётся уравнением (x-h)²+(y-k)²=r². Для развёрнутого уравнения выделите полные квадраты по переменным x и y, перенеся балансировочные константы в правую часть. Полученное значение правой части должно быть положительным для существования реальной ненулевой окружности. Не путайте радиус с его квадратом.
- Преобразуйте центральный угол и вычислите длину дуги и площадь сектора.
Centre and radius of (x+1)²+(y-4)²=9:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The centre signs follow x-h,y-k and radius is √9.
Используйте определяющее правило
- Центральный угол θ в радианах дает длину дуги rθ и площадь сектора r²θ/2. В градусах используйте долю θ/360 полной окружности или площади. Полный оборот равен 2π радиан=360°. Формулы rθ и r²θ/2 требуют использования радиан; подстановка градусов без перевода дает неверный масштаб.
- Используйте касательную, вписанный угол и связи единичной окружности.
Radius 4 with central angle π/2 gives arc length:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
rθ=4·π/2=2π.
Проверьте условия
- Касательная в точке окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Определите фактическую общую дугу и центр перед применением этих утверждений. Хорда не является касательной и не обязательно перпендикулярна радиусу, если дополнительные условия этого не устанавливают.
- Используйте касательную, вписанный угол и связи единичной окружности.
x²+y²-4x+6y-12=0 преобразуется в (x-2)²+(y+3)²=25, откуда центр (2,-3), радиус 5. Для радиуса 6 и центрального угла π/3 длина дуги равна 2π, а площадь сектора — 6π. Вписанный угол на той же дуге в 60° равен 30°. При угле 150° косинус равен -√3/2, а синус равен 1/2, поскольку точка находится во второй четверти.
180 degrees equals ____ radians.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A half-turn is π radians.
Применяйте формат задания
- На единичной окружности точка под углом θ имеет координаты (cos θ, sin θ), поэтому cos²θ+sin²θ=1. Знаки зависят от четверти. Для острых взаимно дополнительных углов выполняется sin θ=cos(90°-θ). Используйте специальные треугольники для точных значений: при угле 30° синус равен 1/2, а косинус равен √3/2; при угле 45° оба значения равны √2/2.
- Используйте касательную, вписанный угол и связи единичной окружности.
Проверьте единицы измерения (градусы/радианы), знаки центра и является ли угол центральным или вписанным перед применением формулы.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Найдите центр и радиус окружности, выделяя полный квадрат ⟦number⟧
The angle between a tangent and its radius at contact is 90 degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tangent-radius perpendicular theorem applies at the contact point.
Сохраняйте различия
- радиан — Мера угла, равная отношению длины дуги к радиусу.
- касательная — прямая, пересекающая окружность в точке и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку.
- Найдите центр и радиус окружности, выделив полный квадрат.
- Преобразуйте центральный угол и вычислите длину дуги и площадь сектора.
- Используйте касательную, вписанный угол и связи единичной окружности.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.