Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Применять масштабирование длин, площадей и объемов к подобным фигурам
- Использовать углы при параллельных прямых и суммы углов треугольника для нахождения неизвестных величин
- Различать подобие и равенство фигур, а также достаточность информации
Прerequisites: сумма углов треугольника; теорема Пифагора; единицы длины/площади/объема.
Объясните и выберите метод
Для подобных фигур с коэффициентом масштабирования длин k соответствующие длины масштабируются как k, площади — как k², объемы — как k³. Эти законы применяются, когда все соответствующие размеры изменяются одновременно. Цилиндр, у которого увеличен только радиус, а высота фиксирована, имеет объем, увеличившийся в четыре раза, а не в восемь. Укажите, какие именно размеры масштабируются, прежде чем выбирать степень.
Используйте правильные геометрические меры: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную перпендикулярно основанию; объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Площадь поверхности складывает открытые грани, тогда как объем измеряет заключенное пространство. Наклонная длина (боковая) автоматически не является высотой, необходимой для формулы площади. Прикрепляйте квадратичные или кубические единицы к результату.
Вертикальные углы равны. Для параллельных прямых, пересекаемых секущей, соответственные и накрест лежащие углы равны, а односторонние внутренние углы в сумме дают 180°. Сумма внутренних углов треугольника составляет 180°; его внешний угол равен сумме двух удаленных внутренних углов. Эти правила зависят от указанной или отмеченной параллельности, а не от внешнего вида чертежа.
Подобные треугольники имеют равные соответственные углы и пропорциональные соответственные стороны; равные треугольники additionally имеют равные соответственные длины. Два угла устанавливают подобие, но не равенство размеров. Сохраняйте соответствие при записи отношения. Расположение сторона–сторона–угол (ССУ) не гарантирует равенство универсально, в то время как сторона–угол–сторона (СУС) включает угол между двумя сторонами.
Коэффициент подобия $k$ изменяет каждую соответствующую длину. $A_2=k^2A_1$ и $V_2=k^3V_1$ для подобных фигур. Если $k=3/2$ и $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, то $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Изменение только одного измерения не оправдывает данные правила подобия.
Worked example. Two similar solids have edge ratio 2:3, so surface-area ratio is 4:9 and volume ratio 8:27. A triangular garden with base 12 m and perpendicular height 5 m has area 30 m². If a triangle has interior angles 48° and 67°, its third is 65° and the adjacent exterior angle is 115°=48°+67°.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Подобные контейнеры имеют площади поверхностей 96 и 216 квадратных сантиметров. Объём меньшего контейнера составляет 160 кубических сантиметров. Найдите объём большего контейнера.
Обоснование. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Объём вычисляется через куб: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Прямое использование отношения площадей даст неверный объём.
Практика 2
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один катет — 5 см. Найдите второй катет, площадь треугольника и синус угла, противолежащего катету 5 см.
Обоснование. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Практика 3
Два внутренних угла треугольника равны 42° и 73°. Найдите третий угол и прилежащий к нему внешний угол. Позволят ли только эти углы определить все длины сторон?
Обоснование. Третий угол равен $180-42-73=65$ градусам. Прилежащий к нему внешний угол равен $180-65=115$ градусам, что также равно $42+73$. Углы определяют форму, но не масштаб; подобные треугольники могут иметь разные длины сторон.
Тренировка 4
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один соответственный угол равен 68°. Найдите ему соответствующий угол и смежный угол на второй прямой. Объясните, какое из данных условий оправдывает каждый шаг.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
Ограничения и дальнейшее применение
Используйте k² или k³ только при масштабировании всей фигуры целиком; не делайте вывод о параллельности прямых или наличии перпендикулярной высоты по наброску без отметок.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.